第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介
§7.1欧氏几何的公理体系简介
一、希尔伯特的公理体系简介
1、原始概念
点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理
公理Ⅰ结合公理（共八条）
Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；
1
Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；
2
这两条公理的二个直接推论是：
推论1o：两个不同的点确定唯一直线；
推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；
3
Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。每个平面上至少4
有一个点；
5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理
5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上
所有点都在这个平面上；
7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共
点；
8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）
1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；
3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；
4Ⅱ：
（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；
顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）
1Ⅲ：
设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
2Ⅲ：若AB B A =''，且AB B A =''''，则B A B A ''''=''；
3Ⅲ：设B 点介于A 、C 之间，B '介于A '、B '之间，如果B A AB ''=且C B BC ''=，那么C A AC ''=；
4Ⅲ：设∠XOY 是给定的一个非平角的角，X O ''是从O '点出发的一条射线，α'是X O ''所在直线引出的半平面，则在α'上有且仅有一条从O '出发的射线Y O ''，使得Y O X XOY '''∠=∠。对于每个角∠XOY ，都有XOY XOY ∠=∠和YOX XOY ∠=∠；
5Ⅲ：设A 、B 、C 是不共线的三点，A '、B '、C '也是不共线的三点，若C A AC B A AB ''=''=,且C A B BAC '''∠=∠，那么C B A ABC '''∠=∠。
有了这组公理，线段的长短、角的大小才有了比较的基础和根据。 公理Ⅳ 平行公理
Ⅳ：通过不在已知直线上的一点至多可以引一条与该已知直线平行的直线；
这条公理是判定几何体系是否为欧氏几何的标准。我们后面介绍的几种几何就是由这条公理的其他变异所产生的。
公理Ⅴ 连续公理
1Ⅴ：
（阿基米德公理）设AB 、CD 是给定的两条线段，且AB ＞CD ，那么存在正整数m ，使得m ·CD ≤AB ＜(m+1)CD ；
2Ⅴ：
（康托公理）设在直线a 上给定无穷条线段1(=i B A i i 、2、…、n 、…），其中线段11++i i B A 的点全属于线段i i B A ，并且不同于端点。如果对于任意小的线段PQ ，总存在自然数n 使PQ B A n n <，那么在这条直线上有且仅有唯一一点C 属于所有的线段。
阿基米德公理又叫做度量公理。前面的合同公理只能在两条线段之间比较，但线段本身却没有数值上的大小标志，有了阿基米德公理，任意线段的长度都可以度量（只要给出度量的单位），而康托公理又反过来保证任何已知长度的线段都可以作出。因此两条连续公里奠定了线段长度的度量理论的基础。
综上所述，希尔伯特的公理体系如下表所示：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????理定部
全出推
连续公理平行公理合同公理顺序公理结合公理理公念系关何几有所释解两角相等两线段相等合同关系—点介于两点之间—顺序关系点在平面上点在直线上结合关系基本关系平面直线点基本元素概本基系体理公特伯尔希
欧几里得的几何体系经过希尔伯特整理之后变成了一套严密完备的逻辑系统，解决了欧几里得《几何原本》逻辑不够严密，许多推理依赖直观，体系残缺的毛病。近代公理法要求在建立几何学时，必须把一些不能定义的基本概念（称为元词）挑选出来，这些概念的相互关联在一些不加证明的基本命题（公理）中予以确定；一切新的概念一定要用基本概念或已经定义过的概念来下定义；一切提出的几何命题无论其本身如何明显，必须要么能够用已有的公理、定理证出，要么就宣布为公理。在构成几何学时，只能纯粹按逻辑规则进行，绝不容许诉诸直觉或默契。图形直观只能启迪思路却不能取代逻辑证明。否则会导致荒谬的结果。
例：证明“任何三角形都是等腰三角形”。
设BC边的垂直平分线交∠A的平分线于E点，再过E分别作AB、AC的垂线，垂足依次为F、G，如右图（图1）所示：由于E在BC的中垂线上知
EB = EC
由于E在∠A的平分线上知
EF = EG
所以△BEF≌△CEG，△AEF≌△
AEG
于是BF = CG AF = AG
从而AB = AF + BF = AG + CG =AC
即三角形ABC是等腰三角形。
任意三角形岂能都是等腰三角形！上面的证明应该是错误的，但考察起来却又根据图形步步有根据，没有逻辑上的错误。那么问题出在何处？
再仔细观察图形，并重新准确作图，我们会发
现，交点E 不在三角形ABC 的内部。就是这个图
形上的错误导致了结论的荒谬。
在图2中，尽管还有BF = CG AF = AG
但 AB = AF + BF = AG + CG = AC + 2CG
所以 AB ＞AC 。 也许有人会说，我把图形画准确不就可以避免这种错误了
吗？这种说法也站不住脚。首先当两个图象的差异比较小时，
我们很难把图形作准确，所谓准确只是相对而言；其次即使
图型是准确的，我们的眼睛有时也会欺骗我们。请看图3，两条竖直的线段看上去似乎上面开口要略为大一些，实际上这两条线段是平行的！
图2
E
B
图3图
4
还有，单凭图形的直观去看问题，有时也会失之片面。有人根据图4的三个图形的相交、相切和相离的多种情形而总结出
两个圆组成的图形只有一条对称轴
其实不然，决定对称的重要因素却在于半径是否相等，圆心是否重合。再看图5就可以知道上面的结论的片面性。
二、非欧几何简介
对于欧氏几何，历史上争论得最早，经历时间最长的是欧几里得的《几何原本》公理体系中的“第五公设”：同一平面内的两条直线与
第三条直线相交。若其中一侧的两个内角之和小于两直角，那么该两直线必在这一侧相交。
由于这条公理叙述上比较复杂，公理应该是比较简单明了的，从结构上看它更象一个定理，因此引起许多人的质疑：它应不应该算作公理？于是人们便去寻求它的证明，但始终未能成功，时间长达两千多年。
到了19世纪初期，俄罗斯喀山大学的年轻数学家罗巴切夫斯基
（3）图5
根据前人总是从正面突破而失败的教训出发，另劈路径，从反面下手。他在保留欧几里得《几何原本》其它公理公设，却用与第五公设相反的结论代替第五公设，试图从中导致矛盾。
第五公设可以等价地叙述为：“在同一平面内，过已知直线外一点只能作一条直线与已知直线不相交”。罗巴切夫斯基从否定唯一性着手，提出“在同一平面内，过已知直线外一点可以作不止一条直线与已知直线不相交”。在这样的假定之下，罗巴切夫斯基进行了严格的逻辑推导，不但没有产生预想的矛盾，反而得到一整套前后连贯，逻辑严密的几何系统。这个结果使罗巴切夫斯基认识到，一种不同于欧几里得几何的几何体系是存在的。随着罗巴切夫斯基几何的产生，一种新的几何体系——非欧几何诞生了。
1、罗巴切夫斯基几何的几何模型
罗巴切夫斯基为了实现“在同一平面内，过已知直线外一点可以作不止一条直线与已知直线不相交”的假设，设计了如下的模型：如图：CD⊥直线AB，M是直线AB上的点，当点M沿射线DB 移动到无穷远时得到直线CE，当点M沿射线DA移动到无穷远时得
到直线CF ，于是得到四个角形区域。过C 点位于E FC F EC '∠'∠,内部的直线与直线AB 都不相交。
在罗巴切夫斯基几何里，三角形的内角和不再是常数180o ，而是小于180o 的变数，内角和的大小与三角形的形状有关；在罗巴切夫斯基几何里不存在相似形，但仍然可以讨论全等形。在研究宏观宇宙时，用罗巴切夫斯基几何比用欧几里得几何作工具更能准确刻画宏观宇宙的位置关系和数量关系。
法国数学家庞加莱在一种叫做“伪球面”的曲面上实现了罗巴切夫斯基几何的全部结论，由于伪球面的一种截面曲线是双曲线，因此，罗巴切夫斯基几何又叫做双曲几何。
2、黎曼几何的几何模型
第五公设“唯一性”的反面除了“在同一平面内，过已知直线外一点可以作不止一条直线与已知直线不相交”这种情况外，还有一种就是“一条都没有”，即：“在同一平面内，过已知直线外一点作的任何直线与已知直线都相交”。德国数学家黎曼从“一条都没有”的假设出发，又推出一种新的几何——黎曼几何。
首先，黎曼把球面看作平面，球面上的大圆曲线看作直线，那么我们知道，球的任何两条大圆所在的平面都过球心，所以球的任何两条大圆都相交。
在黎曼几何里，三角形的内角和也不是常数180o ，而是大于180o 的变数，内角和的大小与三角形的形状仍然有关；在黎曼几何里也不存在相似形，一样也可以讨论全等形。在作大地测量时用黎曼几何作
工具比用欧几里得几何更方便，这就是球面几何。
如果不涉及第五公设或希尔伯特的公理体系中的平行公理，也可以推出一部分几何结论，这些结论在每一种几何中都是成立的。这部分几何就叫做绝对几何。
§7.2初中平面几何定理概述
一、三角形
定理7.2.1：等腰三角形的两个底角相等。
注意：“等腰三角形的定义是有两条边相等的三角形叫等腰三角形”。
推论：等边三角形的三个角相等。
定理7.2.2：两个三角形满足下列条件之一，则它们全等。
⑴：两边及其夹角对应相等（记为SAS）；
⑵：两角及其夹边相等（记为ASA）；
⑶：三边对应相等（记为SSS）。
这三条定理在初中平面几何中通常作为公理处理。
此外，三角形全等还有下面两个定理
定理7.2.3：两个三角形的两个内角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
定理7.2.4：在一个三角形中，等角对等边；等边对等角。较大的角对较大的边；较大的边对较大的角；
定理7.2.5：等角的邻补角相等；等角的补角相等。对顶角相等。
定理7.2.6：三角形的每个外角等于不相邻的两个内角之和。
定理7.2.7：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。
定理7.2.8：三角形的内角和等于180o。
定理7.2.9：三角形的三边的垂直平分线交于同一点(这个点称为三角形的外心——外接圆圆心,如图1)，这个点到三顶点的距离相等；
三角形的三内角平分线交于同一点（这个点称为三角形的内心——内切圆圆心,如图2），这个点到三边的距离相等；
三角形的三条高线交于同一点（这个点称为三角形的垂心，如图
3）；
三角形的三条中线交于同一点（这个点称为三角形的重心，如图
4），这个点分三条中线自顶点起成2∶1的两段；
三角形的每条边所对应的两条外角平分线以及对角的平分线交于同一点（这个点称为三角形的旁心——旁切圆圆心，三角形一共有三个旁心，如图5）。
图图
4
31
图
定理7.2.10：两个三角形在满足
下列条件之一时，它们相似：
①两个角相等；
②有一个角相等以及该角的两边
对应成比例；
③三边对应成比例。
定理7.2.11：如果a 、b 、c
依次
是直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c b a =+。
这个定理在我国通常称为勾股定理，在国外叫做毕达歌拉斯定理。
定理7.2.12：两个直角三角形满足下列条件之一，则它们全等。 ①两条直角边或一条直角边及斜边对应相等；
②一条直角边及所对锐角对应相等；
③一条直角边及所邻锐角对应相等；
④斜边及一锐角对应相等。
定理7.2.13：直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等。
定理7.2.14：如图6，在直角三角形
ABC 中，CD ⊥斜边AB ，D 为垂足，那么：
①AC 2 = AD ·AC ；BC 2 = BD ·AB
②CD 2 = AD ·BD 。
这个定理通常叫做射影定理。
二、平行线与成比例的线段
定理7.2.15：两直线被第三条直线所截，若满足下列条件之一，则该两条直线平行：
①同位角相等；
②内错角或外错角相等；
③同旁内角或同旁外角互补。
定理7.2.16：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 图6D A
B
定理7.2.17：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
定理7.2.18：平行于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行。
定理7.2.19：两个角的两边平行，则这
两个角相等或互补；两个角的两边互相垂
直，则这两个角相等或互补（图6）。 定理7.2.20：一组平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 定理7.2.21：连接三角形任意两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半；过三角形一边中点并且平行与另一边的直线一定平分第三边。
这个定理叫做中位线定理，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理7.2.22：E 、F 分别是三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，并且EF ∥BC ，那么AE ∶BE ∶AB = AF ∶CF ∶AC 。
定理7.2.23：如图7，
设三角形ABC 的角C
的内角平分线交AB 边
于D 点、角C 的外角平分线交AB 的延长线于E 点，那么AD ∶BD = AC ∶BC ；AE ∶BE = AC ∶BC 。
三、多边形
图7D
E B
定理7.2.24：平行四边形有下列性质：
①对边相等；
②对角相等；
③对角线互相平分。
定理7.2.25：具有下列性质之一的四边形必定是平行四边形： ①对边相等；
②对角相等；
③对角线互相平分；
④一组对边平行并且相等。
定理7.2.26：连接梯形两腰中点的线段平行于梯形两底，并且等于两底之和的一半。
定理7.2.27：等腰梯形的两条对角线相等；对角线相等的梯形是等腰梯形。
定理7.2.28：凸n 边形的内角和为0180)2(?-n 。
四、圆与直线
定理7.2.29：在同一个圆中，
①同弧圆周角等于圆心角的一半；
②同弧的圆周角相等；
③半圆上的圆周角是直角。
定理7.2.30：在一个圆中，
①垂直与弦的直径平分此弦及其所对的弧；
②等弦对等圆心角，较大的弦对较大的圆心角；
③等弦对等劣弧，较大的弦对较大的劣弧。
定理7.2.31：圆的切线垂直于过切点的半径。
定理7.2.32：从圆外一点引圆的两条切线等长。
定理7.2.33：圆的弦切角等于它所包含的弧所对的圆周角。
定理7.2.34：一个凸四边形满足下列条件之一，那么这个四边形内接于一个圆：
①每个外角等于不相邻的内对角；
②内对角互补；
③一条边的两个端点与对边的视角相等。
定理7.2.35：一个凸四边形如果两组对边的和相等，则这个四边形外切于一个圆。
定理7.2.36：设AB 、CD 是同一个圆上相交与E 点的两条弦，那么： DE CE EB AE ?=?
定理7.2.37：设P 是圆外一点，PT 是圆
O 的切线，PAB 是圆的割线（如图8），那
么：2PT PB PA =?
定理7.2.38：设P 是圆外一点，PAB 和
PCD 是圆O 的两条割线（如图9），那么：PD PC PB PA ?=? 定理7.2.39：每个正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，而且这两圆同心。
P
P
欧几里得几何学的公理体系
欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
物理学的公理体系
物理学的公理体系 基于目前整个物理学逻辑体系的不完备性，给出了物理学公理假设及其七个推论，并由此构成了物理学的公理体系。物理学公理体系的建立意味着物理学逻辑体系框架的建设完成。 【关键词】 物理学公理 ---度规，物理学公理的第一推论--- 物理单位（量纲）的时空数值，物理学公理的第二推论--- 度规物理量，物理学公理的第三推论--- 完备物理常数定理，物理学公理的第四推论--- 物理单位（量纲）的时空组态，物理学公理的第五推论--- 时空组态和时空数值的互易性，物理学公理的第六推论--- 物理量的的时空结构，物理学公理的第七推论--- 物理单位（量纲）时空组态计算法则。 【正文】 迄今为止物理学尚没有公理，自然就没有形成其公理体系，只存在着基本物理单位和导出物理单位基础概念和大量散落分布于诸物理学分支学科中的定义，原理，定律，定理等。尽管存在着一些横跨诸分支学科的普适性很大的基本物理学原理，也被人们普遍认为是普适性的真理，但在逻辑上它们还不是公理，而属于基于基本物理单位和导出物理单位基础物理概念的推论。 物理学发展在目前遇到了很大的困难并处于长期徘徊不前困境，一方面在向全球理论物理学家们暗示需要对他们正在使用的方法论作进一步的考究，另一个情况则显得更加紧迫和严重，那就是物理学基本逻辑体系的完善性建设问题。 由于物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的定义）现在被发现并不是对它们指称的物理实在所固有存在形式（时空结构）的全面反映，因而导致了以它们为基础概念而创立的各种常规物理概
念均无法切入到其指称的各类存在所固有的存在形式之上（时空结构），因而造成了以上述基础物理概念和常规物理概念为基础而建立起来的所有物理学理论从根本上不具有对其欲认识的客观现象及其变化规律给出本质性物理学描述能力，而只能停留在它们的表象层面上给出已有的和将要给出的较好的物理学描述。 但宇宙及其所属各类存在原本是一体的，具有固有的，不可分割和逻辑一致的内在联系。对它们的表象性认识是无法穷尽的，而且表象性的认识往往会产生假象，这些认识假象混杂在正确的表象认识之中鱼目混珠，真假难辨，很容易让人们对宇宙的认识产生模糊甚至混乱。这种模糊和混乱认识局面的理论根本原因就在于非本质性的物理概念以及以其为基础而建立起来的物理学理论无法统一地对宇宙诸表象性认识的众多和繁杂结果进行本质性的筛选，精化，提炼并最终得到实证。 这样，实现对物理学最基础概念的深化认识，将它们在客观中的固有存在形式准确地以物理学概念反映出来，便成为21世纪物理学家们和人类对宇宙实施正确认识的当务之急和头等大事。这在理论上等效于开创性地建设一个可以准确地，完整地并具有实证性地反映宇宙基本存在形式的物理学逻辑公理体系。 目前物理学的逻辑体系不完备，缺少公理体系。物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的符号系统）尚没有实现对其所属物理实在的逻辑形式的全称指称表述。物理学理论的这个逻辑缺陷从根本上制约
数学初中几何公理定理
数学初中几何公理定理 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
初中数学公理和定理 一、公理（不需证明） 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类： 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行；
（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点 的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质： （1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平 移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即 对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称： (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称： （1）具有旋转对称的所有性质： （2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 四、三角形：
数学的公理化
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
欧式几何
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
几何公理法简介
第6章几何公理法简介 6.6 几何公理体系的三个基本问题 任何公理体系中，包括初等几何公理体系，都有三个基本问题： ①无矛盾性问题（即和谐问题）； ②最少个数问题（即独立性问题）； ③完备性问题． 第一个问题要求公理体系的各个公理以及经过一串推导得出的命题不能相互矛盾，首先要求公理之间不相矛盾．这显然是必要的条件． 证明公理体系的和谐性常用模型法．公理法是抽象的，它所考虑的对象（几何元素点、直线、平面）以及对象之间的关系或运算（几何上讲的接合、顺序、合同），都是不加定义的，但要满足公理的要求．设给定一组公理，在某些对象间建立了确定性质的相互关系．从所采用的公理，可以对这些对象的这些性质作逻辑推理，而完全不必理睬它们其它一切可能的性质，只要公理中没有提到． 所以一个已知公理体系的对象可以是任意种类的事物，而且在公理中说到的它们之间的关系，可以有任何具体意义，只要公理的要求得到满足． 给定一组公理，具体挑选一组事物使这组公理得到满足，就说给这组公理做了一个实现或解释．实现这些公理的对象的集合，构成这公理体系的一模型． 一个公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这公理体系就是和谐的． 举一具体的例．我们给第一组公理I1-8造一个模型． 取一个四面体，约定将它的顶点叫做“点”，棱叫做“直线”，面叫做“平面”．在这个实现里，构成几何元素的集合是四点、六直线、四平面． 正象在任何实现里一样，此刻应将接合性具体叙述出来．我们约定，跟四面体ABCD的顶点例如A所代表的“点”相接合的“直线”就是含顶点A的棱，跟“点”A接合的“平面”就是四面体含顶点A的面；跟“直线”AB接合的“平面”就是四面体含棱AB的面．容易验明，在这个模型里，公理I1-8全部满足． 这四面体模型的存在表明八条接合公理是和谐的． 这个模型的存在，还给我们带来一个更宝贵的信息，即从第一组接合公理不能推出几何元素的个数是无穷的．因为四面体模型只有4+6+4=14个元素却已实现了它．初等几何公理体系的和谐性证明是相对的，即有条件的。一般的几何基础书上介绍平面几何公理I1-8，II-V的和谐性证明时，是给出一个笛卡尔实现．结论是： 倘若实数的算术是和谐的，则公理I-V是和谐的． 第二个基本问题是公理的独立性问题．如果公理体系中有一个公理可从其余公理推导出来，它就不是独立的，可以把它从公理表中挪走，减少一个公理．试证第五公设的过程就是这样一个过程．但是为了简化演绎过程，有时也多列上一条公理．例如近年的中学几何课本就把三角形全等的三条定理都当作公理用． 还须注意，一种几何可以用不同的公理体系作为基础，所以去掉多余的公理（如果有的话）以后，一般说来，可以得到不同的最少个数的体系．因此，最少个数的公理体系决不是唯一的． 一组公理的独立性，虽非必要的，却是我们所期望的．设一组公理含有n个和谐的公理
欧几里德几何
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
初中几何所有的公理及其定理
初中几何所有的公理及其定理、推论 1 .过两点有且只有一条直线 2 .两点之间线段最短 3. 同角或等角的补角相等 4 .同角或等角的余角相等 5 .过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 .直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 .平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8. 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9. 在同一平面内如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 10. 同位角相等，两直线平行 11. 内错角相等，两直线平行 12. 同旁内角互补，两直线平行 13.两直线平行，同位角相等 14. 两直线平行，内错角相等 15. 两直线平行，同旁内角互补 16. 定理：三角形两边的和大于第三边 17. 推论：三角形两边的差小于第三边 18. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 19. 推论1：直角三角形的两个锐角互余 20. 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 21. 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
22. 全等三角形的对应边、对应角相等 23.全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等 24.边角边公理(SAS) ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 25 .角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 26 .推论(AAS) ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 27. 边边边公理(SSS) ：有三边对应相等的两个三角形全等 28. 斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 29. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 30. 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 31. 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 32. 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 33. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一） 34. 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 35. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（等角对等边） 36. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 37. 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 38. 推论3：有两个角等于60°的三角形是等边三角形 39. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 40 .直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 41. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
几何学公理化
几何学公理化 除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。 从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。 到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。这个重任就落在了欧几里得的肩上。 1.欧几里得的贡献 欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。 欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。在他之前，也曾有人设想过如此计划。但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。 《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。在第一卷中，欧氏列出了23个“定义”，接着是5条“公设”和5条“公理”（现代数学并不区分公设和公理，都以公理称之），然后循序渐进地用推理、证明、演绎的方法推导出了全书所有的命题。这就是《原本》一书为何直到现代依然被认为是研究几何学的入门书的最主要的原因：得益于其严密的逻辑与演绎。 然而，正是在看似严密的逻辑推理之下的欧氏几何公理体系中，却存在着非常严重的漏洞。虽然在漫长的历史长河中，不断地有人诟病于它，但它的影响却是一直到两千年之后才反映出来，也由此铸成了一场几何学的革命。 2.第五公设的尴尬
欧氏几何介绍
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
几何公理法简介
几何公理法简介 欧几里得是古希腊最伟大的一位几何学家．他是柏拉图派的学生，曾在埃及的亚历山大城教过数学，并且是希腊的亚历山大学派的创始人． 欧几里得在他的千古不朽的名著《几何原本》（以后简称为《原本》）中，不仅非常详尽地搜集了当时人们所知道的一切几何学方面的资料，而且还把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法，编排成为一个系统的理论体系．他把几何学依照亚里斯多德所说的严密科学理论的要求建筑在几个最初的假设（定义、公设、公理）上，由这些假设利用逻辑推理导出后面的一切定理．不仅如此，欧几里得还示范式地规定了几何证明的方法，主要是分析法、综合法和归谬法．因此，欧几里得的《原本》不但在完善和充实上大大地超过了在它以前的所有几何学著作，并且在以后的两千余年间依然没有一部几何著作可以和它比美．虽然十九世纪二十年代，俄国伟大的数学家尼·伊·罗巴切夫斯基（1792～1856年）有了新的发现，使几何学发生了革命，但直到现在，中学几何教科书中的叙述方法，仍与《原本》没有多大的实质性的差别． 欧几里得《原本》的基本结构是定义、公设和公理的系统．《原本》共有十三卷，其中1、2、3、4、6、11、12、13卷属于几何本身，其余则讲比例（用几何方式来叙述）和算术（属代数学的内容）．第一卷，包括三角形全等的条件、三角形的边角关系、平行线的理论以及三角形、多边形面积相等的理论．第二卷，叙述了如何把多边形变成等积的正方形．第三卷，叙述了圆的性质．第四卷，讨论了圆的内接和外切多边形．第六卷，论述了相似多边形．在最后三卷中，叙述了立体几何的理论． 《原本》的每卷里，首先给要建立相互关系的一些重要概念下了定义．例如在第一卷里，首先列举了23个定义．为便于以后分析研究，在这里我们摘引最先的八个． 定义： 1.点是没有部分的． 2.线是有长度而没有宽度的． 3.线的界限是点． 4.直线是这样的线，它上面的点是一样放置着的．
几何公理和公理系统
几何公理和公理系统 1．几何公理 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定． 在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止．因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理． 数学区别于其他学科的主要特征之一是它的推理论证的演绎性质．为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，但数学却不行．三角形内角之和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实性是经事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的．几何的其他命题也是如此． 公理是怎样选定的呢?有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一直线”这条公理；有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理．公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲的空想．譬如罗氏平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏平行公理的出现做了必要的准备．这就是为什么到19世纪才产生罗氏几何的原因．理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前头，“虚数”和“非欧几何”等等都是这样．判断一个理论或公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果如何而定．只有实践才是检验真理的惟一标准．2．几何公理系统 用公理化方法建立一门几何学演绎体系时，最根本的是确立该几何学的公理体系． 作为一门集合学基础的原始概念和全部公理称该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间． 例1欧几里得几何学中的几种不同的公理系统． （1）希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年～1943年，德国人）给出的公理系统． 希尔伯特公理系统纲要：
高观点下的几何学练习题及参考答案
《高观点下的几何学》练习题参考答案 一 一、填空题。 1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。 2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。 3．仿射变换把矩形变成平行四边形 4．仿射变换把平行线变成平行线 5．仿射变换把正三角形变成三角形 二、简答题。 1．试给一个罗氏几何的数学模型。 答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型 在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。 罗氏平面几何的原始概念解释成： 罗氏点：圆内的点； 罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。 结合关系：圆内原来的点和线的结合关系； 介于关系：圆内弦上三点的介于关系； 运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。 罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。 2．试给一个黎曼几何的数学模型 答：黎曼几何的（F.KLein）模型 黎曼几何的原始概念解释成： 黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点； 黎氏直线：球面上的大圆； 黎氏平面：改造后的球面。 黎氏点与黎氏直线的基本关系： (1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线； (2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线； (3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。 黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。 3．简述公理法的基本思想。 答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。 4．简述公理系统的独立性 答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理
《初等几何研究》作业
《初等几何研究》作业 一．填空题 1．对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作 . 2．第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是 . 3．罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是 . 4．合同变换包括变换、变换和变换。 5．锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 . 6．解作图问题的常用方法有：、、、等. 7．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性. 8．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论. 9．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： . 10．几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法. 11．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 . 12．请写出两条作图公法： . 13．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。 14．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。 15．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。 16．不过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。 17．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。 18．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。
19．数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20．常用的几何变换有 等. 21．罗氏平行公理是： . 22．几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等. 23．等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 . 24．尺规可作图的充要条件是 . 25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应. 27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 . 29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二．问答题 1．在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2．定义线段长度的两个条件是什么？ 3．以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？ 4．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？ 8．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？ 在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。 设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。 10．巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 11．第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ A B C D 1 2 3 4 5 6
《公理化体系》
公理化方法 公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。 简介 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会
科学部门，并在其中起着重要作用． 历史发展 产生 公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统． 亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑． 公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性
立体几何公理定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ????⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ??=???=? 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）
公理法
公理法 选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”． 两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展． 1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点． 希尔伯特公理体系的主要思想包含： （1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象． （2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系． （3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质． 希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点： 第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中． 第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出． 第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题． 欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系． 公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．