河北省2021届高三数学第一次模拟考试试题理

河北省保定市2020届高三数学第一次模拟考试试题理

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x>2或x<－1}，B ＝{x|－1≤x ≤4}，则A∩B＝

A.{x|2

B.{x|－1

C.{x|2

D.{x|－1≤x ≤4}

2.若复数z ＝2020

11i i

+-，则z ＝ A.－1＋i B.1－i C.－2＋i D.2－i

3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n⊥β，则

A.l //m

B.m//n

C.n⊥l

D.m⊥n

4.已知a 与b 均为单位向量，若b ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱?”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为 A.76钱 B.56钱 C.13钱 D.23

钱 6.在△ABC 中，内角A.B.C 所对的边分别是a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，若△ABC 外接圆的半径为1，则b ＝

A.32 7.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为

A.28 3π

π C.

π D.7π

8.如图所示的程序框图中，若输入的x∈(－1，6)，则输出的y∈

A.(0，7)

B.(0，

) C.[0，7] D.[0，

]

9.抛掷一枚质地均匀的硬币，记a n＝

第次正面向上

第次反面向上

，S n为数列{a n}的前n项和，则|S3|＝1且S10＝4的概率为

256

128

10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若点A，B，C，O 满足：①AB BC

=(λ≠0)；②A，

B，O确定一个平面：③

398

OB a OA a OC

=+，则S100＝

A.29

B.40

C.45

D.50

11.抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，点P满足OP OF

=(O为坐标原点)，若过点O作互相垂直的两弦OA、OB，则当弦AB过点P时，λ的所有可能取值的集合为

A.{4}

B.{3}

C.{

，4，3) D.{

，3，4}

12.设函数f(x)＝

log x，若常数A满足：对?x1∈[2，22020]，?唯一的x2∈[2，22020]，使得f(x1)，A，f(x2)成等差数列，则A＝

A.－1010.5

B.－1011

C.－2019.5

D.2020

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若2a＝10。b＝log510，则

a b

+=。

14.设函数f(x)＝2sinxsin(x＋

＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝。

15.Rt △ABC 中，∠A＝2 ，BC ＝6，以BC 的中点为圆心，以1为半径的圆，分别交BC 于点P 、Q ，则|AB|2＋|AP|2＋|AQ|2＋|AC|2＝。

16.若f(x)是定义在R 上的函数，且对任意x∈R 都有f(x ＋4)≤f(x)＋4，f(x ＋2)≥f(x)＋2，且f(－1)＝0，则f(101)＝。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3。

(1)若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤60°；

(2)若cos2A ＝－

13(A 为锐角)，sinC ＝13

，求△ABC 中AB 边上的高h 。 18.(12分)

如图，四边形ABCD 为矩形，△ABE 和△BCF 均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠BCF＝∠DAE ＝90°，EA//FC 。

(1)求证：ED//平面BCF ；

(2)设BC AB

＝λ，问是否存在λ，使得二面角B －EF －D 的余弦值为33?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由。

19.(12分)

习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来。”

其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代。

“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：

“seize the day and live it to the full 。”

(1)求上述英语译文中，e ，i ，t ，a 四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“>”连接)

(2)在上面的句子中随机取一个单词，用X 表示取到的单词所包含的字母个数，写出X 的分布列，并求出其数学期望；

(3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率。

20.(12分)

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F(c ，0)，，且经过点(1，点M 为椭圆上的动点。

(1)求M 到点D(1，0)的最短与最长距离；。

(2)设直线l ：y ＝x ＋n 与椭圆C 相交于A 、B 两点，则是否存在点，m)，使得△ABP 的内切圆恰好为x 2＋y 2＝1?并说明理由。

21.(12分)

已知函数F(x)＝－2me x (x ＋1)(m≠0)。

(1)若m>0，求函数F(x)的最大值；

(2)设f(x)＝F(x)＋x 2＋3x ，若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式lnx －ax ＋1>f(a)恒成立，求实数m 的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡。上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：222x cos y sin αα

==+???，(α为参数)，M 是C 1上的动点，点P 满

足2OP OM =，且其轨迹为C 2。

(1)求C 2的直角坐标方程；

(2)在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE 与C 1、C 2的交点分别为A 、B(均异于O)，求线段AB 中点Q 的轨迹的极坐标方程。

23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知a，b，c为正数，f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|。

(1)若a＝b＝c＝1，求函数f(x)的最小值；

(2)若f(0)＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c＋c3a＋a3b>abc。

数学理科答案

一、选择题

C．B．C．D. D. C. A. C. B.D. A.A．

二、填空题

13．1； 14.；15. 56； 16.102.

三、解答题

17.（12分）

解：(1) 证明：因为成等比数列，所以……………………1分

而（当且仅当时取等号）

又因为B为三角形的内角，所以B……………………4分

(2) 在中，因为，所以．………………6分

又因为，

所以由正弦定理，解得……………………8分

法1：由得.

由余弦定理，得.

解得或（舍）………………………………………10分所以AB边上的高.…………………12分

法2:由得．……………………6分

又因为,所以……………………7分

所以…9分

或(舍)

【或：因为，且，所以C为锐角，…………………6分

又因为所以……………………7分

…10分】

所以AB边上的高.…………………12分

法3：等面积法也可。（酌情给分）

18.（12分）

解：（1）因为AD∥BC, 所以AD∥平面BCF

因为EA∥FC，所以EA∥平面BCF……………………2分

所以平面ADE∥平面BCF

故ED∥平面BCF………………………………………4分

(2)以D为原点，建立空间直角坐标系，如图.

因为∠BAE=∠DAE=90°，所以EA⊥平面ABCD，又因为EA∥FC，所以FC⊥平面ABCD 设AB=a,BC=b,则D(0,0,0),F(0,a,b),E(b,0,a),B(b, a , 0) ……………………6分

则(b,0,a), (0,a,b)

设平面DEF的法向量为

则由

取x=1，因为，则……8分

设平面BEF的法向量为

(0,-a，a)(-b，0,b)

则由，取………………9分

因为二面角B-EF-D的余弦值为，所以

即，由于，

所以不存在正实数，使得二面角B-EF-D的余弦值为……………………12分

19.（12分）

解（1）e,i,t,a四个字母出现的频率分别为

其大小关系为：e出现的频率 t出现的频率i出现的频率a出现的频率…………4分

（2）X分布列为：

………………6分

其数学期望为

……………………8分

（3）满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：

①从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个数为…………………………………………10分

②从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为

故所求的概率为……………………12分

20.（12分）

解：（1）依题意得所以

所以椭圆的方程为………………………………2分

设M(x0,y0)到点D的距离为d，则

因为二次函数的对称轴为直线x=2

所以，该函数在[2,2]上单调递减，所以当

所以M到点D的最短与最长距离分别为………………………………5分

（2）假设存在点,使得的内切圆恰好为

设因为直线AB与圆相切，

………………………………6分

，

联立得，

………………………………7分

法1：因为AO为的角平分线，所以——————————————————9分

所以

所以直线BP的方程为为

因为圆心到直线BP的距离为

所以此时BP不是圆的切线————11分， BP也不是圆的切线

综上所述：P不存在. ————12分

所以，直线AP的方程为

由原定O到直线AP的距离为1得

解得m=0或………………………………8分

当m=0时，P（），此时直线BP的效率为

所以直线BP的方程为

因为圆心到直线BP的距离为

所以此时BP不是圆的切线………………………………10分

P（），此时直线BP的效率为

所以直线BP的方程为，与直线AB重合，故舍去…………………11分

， BP也不是圆的切线

综上所述：P不存在. ………………………………12分21.（12分）

解：(1)由，所以x=-2，……………………1分

因为,所以在（-∞，-2）上，F（x）递增；在（-2，+∞）递减

所以函数F（x）只有最大值，其最大值为，无最小值……………3分

(2)

所以 , 即………………4分

由于

因为对任意的，，不等式恒成立，

故只需

即原式等价于对任意的，恒成立…………6分

法1:记，

则．

且．

①当时，，即时，单调递减.

∴，只需，解得，∴．………………8分

②当时，令得，或（舍去）

（ⅰ）当时，，当时，；

当时，，∴

解得，∴．……………………10分

（ⅱ）当时，则，又因为

【或：因为，所以，所以】，

所以，则在上单调递增，

∴，

综上，的取值范围是．………………12分

法2：当a=-1时，显然m≠0时恒成立……………………………7分

………………9分

令

综上，的取值范围是．………………12分

22. (10分)

解:（1）法1：设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，

所以……………………2分

从而的参数方程为（为参数）

消去参数得到所求的直角坐标方程为……………………4分

法2：由得，

即C1的直角坐标方程为：……………………2分

设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以M的坐标适合上述方程

即，化简得所求的直角坐标方程为…………4分

（2）因为，代入上式得的直角坐标方程得，其极坐标方程为，……………………6分同理可得曲线的极坐标方程为……………………7分

设Q（），A（），B（），

则AB的中点Q的轨迹方程为

即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为……………………10分23．(10分）

解：（1）因为，

所以……………………1分

法1:由上可得:

……………………3分

所以，当x=-1时，函数的最小值为2……………………4分

……………2分

当且仅当,即x=-1时取得最小值2…………………4分（2）证明：因为，，c为正数，所以要证

即证明就行了……………………6分

法1:因为

…8分

又因为即且，，不全相等，

所以

即………………10分

法2:因为()(

……………………8分

又因为即且，，不全相等，

所以

即………………10分

河北省2021届高三数学第一次模拟考试试题 理

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