勾股定理培优提高训练

勾股定理培优提高训练

一、知识要点

1、勾股定理

勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .

勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.

勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.

勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.

二、基本知识过关测试

1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .

2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S A= .

3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .

4.如图.在△ABC中，CD⊥AB于D，AB=5，CD

=BCD=30°，则AC= .

5.

的线段.

6.在下列各组数中①5，12，13；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a；⑤a2+1，a2-1，2a(a＞1)；⑥m2-n2，2mn，m2+n2(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组.

7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是 .

第2题图第3题图第4题图第7题图

8.如图，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=1

4

BC，试判断△AEF的形状.

B A

D

C

B A D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

三、综合.提高.创新

【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？

（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.

（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，P A +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.

【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .

E

D

C B

A

F

E

D

C

B

A

P

M

C

A

D '

E

D

C

B A

【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.

（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.

【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BC

，求AC 的长.

【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE

=AB .

C

B

A

D

C

B

A

C

B

A

D

C

B

A

E

D

C B

【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证： （1）

222

111a b h +=； （2）a +b ＜c +h ；

（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.

【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：P A 2-PB 2=PD 2 -PC 2.

（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .

变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).

D C

B

A

P

D

C

B A

D

C

B

A

M B

A

（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.

变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.

（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.

变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.

P C

B A

P

C B

A

P

C

B

A

P C

A

【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.

（2）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明.

变式一:将（2）中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.

变式二：如图，△AEF 中∠EAF =45°，AG ⊥EF 于G ，且GF =2，GE =3，求S △AEF .

F

E

D A F

E A

B

C

E A

G F

E A