与圆有关的计算题例题

与圆有关的计算

板块一与圆有关的面积和长度计算

设的半径为，圆心角所对弧长为，

弧长公式：

扇形面积公式：

圆柱体表面积公式：

圆锥体表面积公式：(为母线)

常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：

①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法

如图，已知的半径，，则所对的弧的长为() A．B．C．D．

O

⊙R n?l

π

180

n R

l=

2

1

π

3602

n

S R lR

==

扇形

2

2π2π

S R Rh

=+

2

ππ

S R Rl

=+l

O

⊙6

OA=90

AOB

∠=°AOB

∠AB 2π3π6π12π

如图，边长为1的菱形绕点旋转，当两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于()

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

已知正六边形的边长为，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为(结果保留)．

矩形ABCD 的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．

如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为() A ．10cmB ．35cm C ．45cmD ．25cm

ABCD A B C ，

AEF EF BC 6

π4

π3

π2

π1cm 1cm cm

π86AB AD ==，

ABCD l l 11

1

1

A B C

D .π.π.π

如图，在中，，，点为中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点在旋转过程中所经过的路程为．(结果保留)

如图，已知半圆的直径厘米，点是这个半圆的三等分点，求弦和围成的阴影部分面积．(结果用表示)

将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为cm2．

一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是cm2．

如图7，在中，分别以为直径画半圆，则

A

1

A

2

A Rt ABC

△90

BAC

∠=6

BC=D BC ABD

△A

120AB D''

△D

π

12

AB=C D

，

AC AD

，CDπ

ABC

△B A BC

''

△A B C'

、、

90

BCA

∠=°4cm

30AB

BAC?=

∠=，

Rt ABC

?9042

C AC BC

∠=?==

，，AC BC

，

B

A

C

D

图中阴影部分的面积为．(结果保留)

如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积于。

如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，连结． (1)求证：；

(2)若图中阴影部分的面积是，，求的长．

(09河南)

，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．

π1y x

=90?OAB OCD AC BD ，

AC BD =2

34

cm π2cm OA =OC 45?AOB CDEF C OA D E 、OB F AB

如图，已知点均在已知圆上，，平分，，

四边形的周长为．图中阴影部分的面积为___________．

如果矩形纸片的两条邻边分别为和，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱的底面半径．

圆柱的侧面展开图是一个矩形，如右图所示，对角线，，求圆柱的底面积．

A B C D 、、、AD BC ∥AC BCD ∠120ADC ∠=?ABCD

10C

18cm 30cm 8AC =30CAB ∠=?30?D

C

B

A

如图已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( ) A ． B ．C ．D ．

某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为______________．

如果圆锥的底面半径是，母线长是，那么这个圆锥侧面展开图圆心角的度数是__________．

圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为( )． A ．B ．C ．D ．

若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度

数是_____度．

AOB 12024πcm 26πcm 29πcm 212π

cm O

B

A

6cm

120°6cm 120 cm 41636π48π72π144π13

一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为__________．

小华为参加毕业晚会演出，准备制作一顶圆锥形纸帽，纸帽的底面半径为，母线长为，制作这个纸帽需要纸板的面积至少为．(结果保留)

如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后

利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为()

A ．3

B ．4

C ．

D ．

圆锥的母线长是，底面半径长是

，是底面圆周上一点，则从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线长是____________．

已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是()

9cm 30cm 2

cm πcm cm cm 21cm 62cm 3cm 1cm M M M O M P OM P P OM

如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm ．母线长为10cm ．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且cm ，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为cm

已知在中，，把绕直线旋转一周得到一个圆锥，其表面积为，把绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________

在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，圆心角为90°的扇形薄铁片围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时(接缝忽略不计)，甲认为圆锥的高就等于扇形的圆心到弦的距离(如图)，乙说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来．

半径为的弧长等于半径为的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是______________．

若一扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为_____________．

EF ()OE OF OF A 2FA =E

A ABC ?6890A

B A

C A ==∠=?，

，Rt ABC ?AC 1

S Rt ABC ?AB 2

S 1

S 2

S O AB OC 5212π120?

一个扇形的半径为，圆心角为，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．

如图，在中，，若以为直径的圆交于点，

则阴影部分的面积是______________．

设矩形的长与宽的和为，以为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有()

A ．最小值

B ．最大值

C ．最大值

D ．最小值学科网

板块四正多边形与圆

正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：

⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：

60cm 150?Rt ABC ?902BAC AB AC ∠=?==，AB BC

D ABCD 2AB 4π4π2π2π

⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；

⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．

正多边形的有关计算

⑴正边形的每个内角都等于；

⑵正边形的每一个外角与中心角相等，等于；

⑶设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为，

则

若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．

在半径为的圆中有一内接多边形，若它的各边长均大于

，则这个多边形的边数必为___________．

下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，错误的命题是_____________．

n n 2n n n n n ()2180n n

-??n 360n

?n n

a R n

r n

P n

S 2

221801801112sin cos 4

2

2

n

n

n

n

n n n

n n

n n

a R r R R r a P na S n r a r P n

n

??===+==??=?，，，，11120?n

正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为，则等于____________．

的内接多边形周长为，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是() A

B

如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为____________．

一个圆内接正六边形的边长为，那么这个正六边形的边心距为

_________．

已知圆内接正六边形面积为

n R n 2

3

R n O ⊙3O ⊙ 3.4ABCD O ⊙PQRS PQRS ABCD 2

已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．

如图，有一个圆和两个正六边形．的个顶点都在圆周上，的

条边都和圆相切(我们称分别为圆的内接正六边形和外切正六边形)．

⑴设的边长分别为，圆的半径为，求及的值； ⑵求正六边形的面积比的值．

如图，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点． ⑴求弦的长．

⑵若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．

2O

B

A

D

C

E O 1

2

T T ，1

T 62

T 6O 12

T T ，

O 12

T T ，a b ，O r :r a :r b 12T T ，12

:S S T 2

T 1

O

ABCD P CD AP E DE Q BC BQ ADP Q C P ，，B

A

D

E

P

C

(1)已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC 上一动点，求证：

(2)如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC 上一动点，求证:

(3)如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC 上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明.

ABC ?O P PA PB PC =+ABCD O P 2PA PC PB =+ABCDEF O P PA PB PC 、、O

C

A

B

P

P

O

D

A

B C

O

P

F

E

D

C

B

A

B

A

D E P C

图1

F

B A

D

E

P

C

图2

Q B

A

D

E

P

C

图3

（

B