高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案
2
三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．
题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．
是三角形的最小内角，则函数
y ）
B
．
3
π的，而()
2
sin cos 12sin cos x x x x
+=+，换元解决．
解析：由03
x π<≤，令sin cos ),
4
t x x x π
=+=+而
3
744
12
x π
π
π<+
≤
，得1t <≤． 又2
12sin cos t x x
=+，得
21
sin cos 2
t x x -=
，
得
2
11
(22
t y t t -=+=+
择答案D ．
常用换元解决．
解法二：sin y x =当4
x π=时，max
y
=f 的值；（2）求函数)(x f 的最大
a ，
b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．
解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．
4
（1）由
(0)8
f = ，
()126
f π
=可得
(0)28
f b ==
，
3()12
62
f b π=+= ，所以4b =
，a =
（2
）()24cos 2
f x x =+故当2262x k πππ+=+即x =得最大值为12．
点评：结论sin cos a b θθ+象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容． 题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．
例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8
题）为得到函数πcos 23
y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函
5
数sin 2y x =的图象
A ．向左平移5π
12个长度单位 B ．向右平移
5π
12
个长度单位
C ．向左平移5π6个长度单位
D ．向右平移
5π6
个长度单位
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则
解决．
解
析
：
函
数
55sin 2sin 2612y x x ππ⎫⎛
⎫⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭，故要将
5π
12个长度单位，选择
6
例 4 （
tan sin y x x =+分析：解
,tan sin tan sin tan ,tan sin x x x y x x x x x x <=+--≥当时
当时
．结合选择
支和一些特殊点，选择答案D ．
点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目． 题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．
例 5 （2008高考山东卷理5）已知
A
7
πcos sin 6αα⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
7πsin 6
α⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值是 A
． B
．
C ．45-
D ．4
5
分析：所求的7πsin
6α⎛+ ⎝
拆整合后解决．
解析： C
3
cos sin sin 652παα⎛⎫-+=⇔ ⎪⎝⎭
所以74sin 65
πα⎛⎫+=-=- ⎪⎝
⎭
．
8）若cos 2sin αα+=则
tan α
=
A ．2
1 B
．
2
8
C ．21-
D ．2-
分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解
题的思路．
()
αϕ+=即1tan
2
ϕ=， 再由
()sin 1
αϕ+=-知22k π
απϕ
=-
-，
所
以
sin cos 22sin cos 2πϕϕϕπϕ
ϕ⎛⎫
-- ⎪
⎫⎝⎭-===⎪⎛⎫⎭-- ⎪⎝⎭
．
()22255sin cos 0tan 2
αααα==+==
方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得
2
55t =+，故0t =，
9
即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．
方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα
在直线
2x y +=
而点M 又在单位圆2
21
x
y +=
上，解方程组可得
5x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，
从而
tan 2y
x
α=
=．这个解法和用方程
组
22cos 2sin sin cos 1
αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．
方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，
tan 2α=，不难由同
sin αα==B ．
点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知
10
()
1
sin cos ,0,5
βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必
修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．
题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．
例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45o
且与点A
相距海里的位
置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+o
(
其中sin θ=
，0
90θ< o )且与点A 相 距C ． （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 分析：根据方位角画出图形，如图．第一问 实际上就是求BC的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E到直线 BC的距离，即可以用平面解析几何的方法， 也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图，402 AB=2，1013 AC=， 26 ,sin. 26 BACθθ ∠== 由于090 θ << o o，所以2 26526 cos1() 26 θ=-= 由余弦定理得222cos10 5. BC AB AC AB ACθ =+-= g g 所以船的行驶速度为105155 2 3 =/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以A为原 点建立平面直角坐标系， 设点,B C的坐标分别是()() 1122 ,,, B x y C x y，BC与x轴的交点为D． 由题设有， 11 2 40 x y AB ===， 2 cos1013cos(45)30 x AC CADθ =∠=-= o， 2 sin1013sin(45)20. y AC CADθ =∠=-= o 所以过点,B C的直线l的斜率202 10 k==，直线l的 方程为240 y x =-． 又点() 0,55 E-到直线l的距离357 14 d==< + ，所以船会进入警戒水域． 解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长 线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得， 222 cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅ 222 ． 从而sin ∠在ABQ ∆sin sin(45)AB ABC AQ ABC ∠==-∠ o 由于55 AE =间，且EQ AE =-． 过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离． 在QPE ∆Rt 中， sin sin sin(45)157.5PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠=⨯= 所以船会进入警戒水域． 点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点． 例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量) 1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)递增区间． 数()f x 就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可． 解 析：(1) x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ， ∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )42sin(2)(π+=x x f ，12cos 2sin )4(=π+π=π∴f ． (2) 由于)42sin(2)(π +=x x f ， 当πππππk x k 22 4222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增， 即ππππk x k +≤≤+-883 （Z k ∈），∵∈x ]2 ,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-例9 （2009已知向量 (3sin ,cos a αα=r 3,2 παπ⎛⎫∈ ⎪，且a b ⊥r r ． 的值． 探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r ．而() 3sin ,cos a αα=r ， ()2sin ,5sin 4cos b ααα=-r ， 故226sin 5sin cos 4cos 0 a b αααα⋅=+-=r r ，由于cos 0α≠，∴26tan 5tan 40αα+-=， 解得4tan 3α=-，或 tan α= 故1tan 2α=（舍去）（2）∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ， 由4tan 3α=- ，求得tan 2α ∴sin cos 22αα==， cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos cos 23α=12= 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响． 题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是 近年来高考的一个热点题型． 例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量 (,),(,)m c a b a n a b c =--=+u r r ，若//m n u r r ， （1）求角B 的大小； （2）求sin sin A C +的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问就不是独立关系了，可以用其中的 )()()c a b a a b ---+， 1=． 由余弦定理，得1 cos ,23B B π==． （2）2 ,3A B C A C ππ++=∴+=Q ， 222sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ∴+=+-=+- 3sin 26 A A A π==+250,3666A A ππππ<<∴<+ 1sin()1,sin 26A A π∴<+≤<+等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响． 题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题． 例11. 如图，已知点G是ABO ∆的重心，点P在OA上，点Q在OB上，且PQ过ABO ∆的重心G，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11 m n +为常数，并求出这个常数． 分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量 表达出来，本题的本质是点,, P G Q共线，利用这个关系寻找,m n所满足的方程． 解析：令OA a= u u u r r， OB b = u u u r r，则 OP ma = u u u r r， OQ nb = u u u r r，设 AB 的中点为M，显然1(). 2 OM a b =+ u u u u r r r，因为 G是ABC ∆的 重心，所以21() 33 OG OM a b ==⋅+ u u u r u u u u r r r．由P、 G、Q三点共线，有PG u u u r、GQ uuu r共线，所以，有且只有一个 实数λ，使PG GQ λ = u u u r u u u r，而 高中数学三角函数练习题及答案解析（附答 案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角B．第二象限的角 C．第三象限的角D．第四象限的角 【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ， －k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ 高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案 2 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 是三角形的最小内角，则函数 y ） B ． 3 π的，而() 2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由03 x π<≤，令sin cos ), 4 t x x x π =+=+而 3 744 12 x π π π<+ ≤ ，得1t <≤． 又2 12sin cos t x x =+，得 21 sin cos 2 t x x -= ， 得 2 11 (22 t y t t -=+=+ 择答案D ． 常用换元解决． 解法二：sin y x =当4 x π=时，max y =f 的值；（2）求函数)(x f 的最大 a ， b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． 4 （1）由 (0)8 f = ， ()126 f π =可得 (0)28 f b == ， 3()12 62 f b π=+= ，所以4b = ，a = （2 ）()24cos 2 f x x =+故当2262x k πππ+=+即x =得最大值为12． 点评：结论sin cos a b θθ+象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容． 题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一． 例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8 题）为得到函数πcos 23 y x ⎛⎫ =+ ⎪⎝ ⎭ 的图象，只需将函 高中数学三角函数练习题及答案解析（附答案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ， －k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ 高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解 一、选择题 1．(2010·枣庄模考)下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫ π2，π上为减函数的是(,,,) A ．y ＝sin2x ＋cos2x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x [答案] B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C. 2．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(,,,) A ．98π B.1972π C.199 2π D ．100π [答案] B [解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2π ω≤1，∴ ω≥197 2 π，故选B. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是(,,,) A ．3,,,,,, B ．4,,,,,, C ．5,,,,,, D ．6 [答案] C [解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π 2x 的周期T ＝4， ∴t ≥5 4 T ＝5，故选C. 3．(2010·深圳中学)函数y ＝lgsin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递减区间是(,,,) A ．[k π－π6，k π＋π 3](k ∈Z ) B ．[k π＋π3，k π＋5π 6](k ∈Z ) C ．[k π－π6，k π＋π 12 ](k ∈Z ) 高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题 一、单选题 1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一 【解析】【解答】由三角函数的定义知： ， 所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。 【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。属于基础题型。 ================================================================================ 2.若,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。 【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。 ================================================================================ 3.若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】，故选 C. ================================================================================ 4.函数图像的一条对称轴方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性 【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A. ================================================================================ 5.已知，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化 【解析】【解答】因为，所以，可得 ，故C符合题意.故答案为：C . 【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos. ================================================================================ 6.函数（） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 是非奇非偶函数 【答案】A 【考点】奇函数，诱导公式一 【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A 【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。 ================================================================================ 7.若角的终边过点，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一 【解析】【解答】角的终边过点， 则 故答案为： 【分析】由诱导公式,结合任意角的三角函数的定义：,代入数据计算，即可得出答案。 (完整版)高考三角函数经典解答题及答案 1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求 △ABC 面积的最大值。 解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。由正弦定理 sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。 2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。 (I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。 解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。又sinA≠0，因此 cosB=1/3。 3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所 成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。(1) 求角 B 的 大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。 解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解 得 k=4/3。由∠m与∠n所成角为π/3，可得 3sinB(2+k)+2(1-cosB)√(1+k²)=0，解得 sinB=-2√(23)/23，cosB=3/23。由正弦定理，sinA/a=sinB/b，sinC/c=sinB/b，可得 sinA=sinB(a/b)， sinC=sinB(c/b)，所以 sinA+sinC=sinB(a/b+c/b)=2sinB= - 4√(23)/23，故 sinA+sinC 的取值范围为 (-4√(23)/23, -4√(23)/23)。 已知向量m=(1,2sinA)，n=(sinA,1+cosA)，满足m//n， b+c=3a。 （1）求A的大小； 解：（1）由m//n得2sinA-1-cosA=0，即2cos2A+cosA- 1=0。解得cosA=1/2或cosA=-1/2。因为A是△ABC的内角， 所以舍去cosA=-1/2的情况，得A=π/3。 高中数学三角函数专项(含答案) 一、填空题 1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛ ⎫=⋅+- ⎪⎝ ⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的最小值是________． 2．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 上所有零点之和为___________. 3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,4 ACB AB π ∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 4．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE = +，1 ()2 CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________ 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________. 6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为 (,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值 ,,r r x x y y 分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot 14 π =； ②sin csc 1αα⋅=； ③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+； ⑤2cot 1 cot22cot ααα -=. 7．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则 tan θ________． 8．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期 第一章 三角函数 一、选择题 1．已知α 为第三象限角,则2 α所在的象限是<>． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0,则θ在<>． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛3π4－＝<>． A ．－433B ．433C ．－43D ．4 3 4．已知tan θ＋ θtan 1＝2,则sin θ＋cos θ等于<>． A ．2B ．2C ．－2D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝ 51<0≤x ＜π>,则tan x 的值等于<>． A ．－43B ．－34C ．43D ．3 4 6．已知sin α ＞sin β,那么下列命题成立的是<>． A ．若α,β 是第一象限角,则cos α ＞cos β B ．若α,β 是第二象限角,则tan α ＞tan β C ．若α,β 是第三象限角,则cos α ＞cos β D ．若α,β 是第四象限角,则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π± 3π2,k ∈Z },B ＝{β|β＝4k π±3π2,k ∈Z },C ＝ {γ|γ＝k π±3 π2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为<>． A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆B D ．B ⊆C ⊆A 8．已知cos <α＋β>＝1,sin α＝3 1,则sin β 的值是<>． A ．31 B ．－3 1C ．322D ．－322 9．在<0,2π>内,使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为<>． A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，π B ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x 人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试 题、答案Word 版 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型 1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（ ）x s i n c o s s i n c o s y x xx x =++ A ． B ． C ． D ．1-12-+12+分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．()2 s i n c o s 12s i n c o s x x x x +=+ 解析：由 ，令而， 得．03x π<≤s i n c o s i n (),4t x x x π=++74412x πππ<+≤1 t < 又，得， 212s i n c o s t x x =+21sin cos 2t x x -= 得，有．选择答案 D ．2211(1)122t y t t -=+=+-1102y + 点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．s i n c o s x x ±s i nc o s x x 解法二：，1s i n c o s s i n c o s i n s i n 242y x x x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ 当时，，选D 。 4x π=m ax 12y + 例2．已知函数．，且．2()2s i n c o s 2c o s f xa x x b x =+(0)8,()126f f π == （1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的 值．a b )(x f x 分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．a b 解析：函数可化为． )(x f ()s i n 2c o s 2f x a x b x b =++ （1）由，可得，，所 以，． (0)8f = ()126f π=(0)28f b ==3()1262f b π+= 4b =a = （2），(i n 24c o s 248s i n (2)46f x x x x π ++=++ 故当即时，函数取得最大值 高三数学三角函数试题答案及解析 1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有 ，则使等式成立的的集合 为． 【答案】 【解析】令得：，令得： ，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为. 【考点】抽象函数赋值法 2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（） A．﹣B．C．D．﹣ 【答案】A 【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53° =cos83°cos37°﹣sin83°sin37° =cos（83°+37°） =cos120° =﹣， 故选A． 3.若点在函数的图象上，则的值为 . 【答案】. 【解析】由题意知，解得，所以. 【考点】1.幂函数；2.三角函数求值 4.已知函数则 = 【答案】 【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以 当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为 .所以 . 所以 . 【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式. 5.已知向量，设函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长． 【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究 的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，. （2）根据两角和的正弦公式，求得， 利用三角形的面积，解得， 结合,由余弦定理得 从而得解. 试题解析：（1）由题意得 3分 令, 解得：， ，，或 所以函数在上的单调递增区间为， 6分 （2）由得： 化简得： 又因为，解得： 9分 由题意知：，解得， 又,所以 故所求边的长为. 12分 【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用. 6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（） A．B． C．D． 三角函数 1、三角函数对称性。 （1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余 弦的函数值得到最大最小值。)(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于直线x=t 对称⇔)(t f =±A ；)(x f =） （ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于点（t ，0）对称⇔)(t f =0； 1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3 x f x ϕ +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C ) A ． π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3 2、已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=-+-为奇函数，则ϕ的一个取值为（D ） A ．0 B ．π C ． 2 π D ． 4 π 3、（2017盐城三模） 若 ())cos()() 2 2f x x x π π θθθ=+-+- ≤≤ 是定义在R 上的偶函数，则θ= ▲ . 3π - 2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系 ①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为 2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”） ②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为 2||T a b =-； （简单记为“相邻两心距离，半个周期”） ③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； （简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4 y x π =+ 图像的两条相邻对称轴之间的距离是C A.2π B. π C. 2π D.4 π 2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则（B ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 3（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ） A ． B ． C ． D ． ϕ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π 4 π 1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩ ⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 5 2sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330 cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．假设 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧=-=⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅- =10 3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ． 证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道 一、单选题 1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象 【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A． 故选：C． 【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案． ========================================================================== 2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（） A. B. C.或 D.或 【答案】A 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ， 则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ， 故选：A． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值． ========================================================================== 3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】二倍角的正弦 【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈， ∴= = ． 则sin =2 . 故答案为：B 【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。 ========================================================================== °sin105°的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式 转化已知的三角函数关系式求出结果即可。 ========================================================================== 5.已知向量=（1，﹣cosθ），=（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（） A.﹣1 B.0 C. D. 【答案】B 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦 【解析】【解答】解：由向量数量积的性质可知，=1﹣2cos2θ=0 即﹣cos2θ=0 ∴cos2θ=0 故答案为：B 【分析】由两向量垂直时，两向量的数量积为零，可得到1﹣2cos2θ=0，根据二倍角的余弦公式可得cos2θ=0. ========================================================================== 6.=（） A. B. C.- D.- 【答案】A 【考点】运用诱导公式化简求值 高中数学三角函数练习题及答案 一、填空题 1．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于 ,A B 两点，11||3||AF BF =，若23 cos 5 AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________. 2．设函数()sin f x x π=，()2 1g x x x =-+，有以下四个结论. ①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数() () f x y g x = 存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________. 3．在ABC 中，AB = BC =1 cos 7 BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π 3 BDC ∠= ．给出下列三个结论：①BCD △ ②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为 8π 3 ．其中正确结论的序号为______． 4 ．已知) F 为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且 △OFP 外接圆的面积为 23 π ，则椭圆C 的长轴长为___________. 5．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1 C B c b a +=，则A 的取值范围是___________. 6．已知函数()[)[]2 43,0,3,92sin ,3,156 x x y f x x x π⎧⎛⎫ -∈⎪ ⎪⎪⎝⎭ ==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足 ()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______. 7．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()2 2 210y x b b -=>的左、右焦点，过点1 F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________． 8．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛ ⎫=+> ⎪⎝ ⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在 1．将函数 f x 2sin 2x 的图象向右移动0 个单位长度，所得的部分图 2 象如右图所示，则的值为（） A． B ． C ． D ． 6 3 12 2 3 2．已知函数 f x sin 2x，为了得到g x sin 2x的图象，则只需将 f x 的 3 图象（） A．向右平移个长度单位 B ．向右平移 个长度单位 3 6 C．向左平移个长度单位 D ．向左平移 个长度单位 6 3 3．若 1 1 sin cos ，则sin cos （） 3 A． 1 3 B ．1 3 C． 1 3 或1 D ． 1 3 或-1 4． 2014 cos( ) 3 的值为（） A．1 2 B ． 3 2 C ． 1 2 D ． 3 2 5．记c os( 80 ) k,那么tan80 = ( ). 1 k k 2 B ． 1 k k 2 C ． k 1 k 2 D ． k 1 k A． 2 6．若s in a = - 4 5 ，a 是第三象限的角，则sin( ) a =（） 4 （A）- 7 2 10 （B） 7 2 10 （C）- 2 10 （D） 2 10 7．若 cos sin( 2 2 5 5 ) 4 ，且( ) ，则tan 2 的值为（） , 4 2 试卷第 1 页，总 5 页 A．4 3 B ． 3 4 C ． 3 4 D． 4 3 8．已知函数 f (x) cos(sin x) sin(cos x)，则下列结论正确的是（）A． f (x) 的周期为 B ．f (x) 在,0) ( 上单调递减 2 C． f (x) 的最大值为 2 D ．f (x) 的图象关于直线x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ＜π的图象，那么 2 A. ω= 10 11 ，φ= π 6 B. ω= 11 10 ，φ=- π 6 C. ω=2，φ= π 6 D. ω=2，φ=- π 6 10．要得到函数sin(4 ) y x 的图象，只需要将函数y sin 4x 的图象（） 3 A．向左平移 个单位 3 B．向右平移 个单位 3 C．向左平移 个单位 12 D．向右平移 个单位 12 11．要得到y cos 2x 1的图象，只需将函数y sin 2x的图象（） A．向右平移个单位，再向上平移1个单位 4 B．向左平移个单位，再向下平移1个单位 4高中数学三角函数练习题及答案解析(附答案)
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