高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，
ϕ角的值由tan ϕ=
a
b
确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2
θ
的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
αα
ββαββαα22
1
22)()(⨯=⨯
=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟悉常数“1”的各种三角代换：
6
sin
24
tan
0cos 2
sin
sec cos tan sec cos sin 12222π
π
π
ααβαβα====⋅=-=+=等。
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2
tan θ
的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin α = tan α · cos α ，2
cos 2cos 12
α
α=+，
2
tan sin cos 1α
αα=-等。
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2
sin 2cos 12
α
α=-，
2
2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，2
2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-αα
α等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化
简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为⎪⎭
⎫
⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；
()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 a
b
=
ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握。 4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y = cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
① 函数y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k 。 ② 函数y = sin (x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2
π
πϕ。 ③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2
π
πϕ。
④ 函数y = cos (x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ。
7、三角函数的单调性
三、典型例题与方法
题型一 三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。
教育杏坛：https://www.360docs.net/doc/c719062114.html,
1、三角函数的六边形法则。
2、几个常用关系式： （1）
，三式知一求二。
（2）2
1sin 1sin 2αα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭。
（3）当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，有sin tan x x x <<。 3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。 4、
。
5、熟记关系式sin cos cos 444x x x πππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。
【例1】记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（ ）
A
B
C
D
解： 222
sin 801cos 801cos (80)1k =-
=--=-,
∴tan100tan80︒=-sin80cos80=-
=-。故选B 评注：
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟
练掌握三角函数在各象限的符号。
【例2】cos300︒=（ ）
A 、2-
B 、
-12 C 、12 D 、2
解：()1
cos300cos 36060cos 602
︒=︒-︒=︒=
评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。
练习：
1、sin585°的值为（ ）
A 、2-
B 、2
C
、 D 2、下列关系式中正确的是（ ）
A 、000sin11cos10sin168<<
B 、000
sin168sin11cos10<<
C 、000sin11sin168cos10<<
D 、000sin168cos10sin11<<
3、若4
sin ,tan 05θθ=-
>，则cos θ= ． 4、 “2()6k k Z παπ=+∈”是“1
cos 22
α=”的（ ）
A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件 5
、cos 2sin tan ( )ααα+==若则
A 、12
B 、2
C 、1
2
- D 、2-
题型二 化简求值
这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、
倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。
【例3】已知α为第三象限的角，3cos 25α=-
,则tan(2)4
π
α+= 。 解： α为第三象限的角 ∴ππ+k 2<α<ππ2
3
2+k
∴ ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)
又 3
cos 25
α=-<0, ∴4sin 25α=,
∴sin 24
tan 2cos 23
ααα=
=- ∴tan(2)4πα+=
41tan tan 213471tan tan 2143
π
απα-
+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。
【例4】已知2tan =
θ，求（1）θ
θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2
2cos 2cos .sin sin +-的值。
解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=
++θθθ
θθθ
θθθθ； (2) θ
+θθ
+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2
cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=
评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
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练习：
1、已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=
A 、4
3
-
B 、
5
4
C 、3
4
-
D 、
45
2、函数()sin cos f x x x =最小值是（ ）
A 、-1
B 、12-
C 、1
2
D 、1 3、 “1sin 2α=”是“1
cos 22
α=”的（ ）
A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
题型三 函数 的图像及其性质
图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A 、
的意义，特别是ω的判
定，以及伸缩变换对的影响。
【例5】为了得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+
的图像（ ）
A 、向左平移
4π个长度单位 B 、向右平移4π
个长度单位 C 向左平移2π个长度单位 D 向右平移2π
个长度单位
解： sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π
+，
sin(2)3y x π=-=sin 2()6
x π
=-，
∴将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3
y x π
=-的图像，
故选B.
评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。
【例6】设ω>0,函数y=sin(ωx+3
π
)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
（ ）
A 、
23 B 、43 C 、3
2
D 、3 解： 将
y=sin(
ω
x+3
π
)+2的图像向右平移
34π个单位后为
4s i n [()]233y x ππω=-++4s i n ()2
33x πωπ
ω=+-+
∴
43
ωπ
=2k π, 即32k ω=
又 0ω>， k ≥1
故32k ω=≥32
， 所以选C
评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活
掌握的程度。
【例7】函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为（ ）
A 、2π
B 、
32π C 、π D 、2
π 【答案】A
【解析】由()(1)cos cos 2sin()6
f x x x x x x π
===+
可得最小正周期为2π,
【例8】函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ 。
【答案】1
【解析】()cos 2sin 21)14
f x x x x π
=++=
++，所以最小值为：1
【例9】若函数()(1)cos f x x x =，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为（ ）
A 、1
B 、2
C 1
D 2
【答案】B
【解析】因为()(1)cos f x x x ==cos x x =2cos()3
x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2。 故选B 。
练习：
1、将函数sin y x =的图像向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数sin()6
y x π
=-的图像，则ϕ等
于（ ）
A 、
6
π B 、56π C 、76π D 、116π
2、若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6
π个单位长度后，与函数)6tan(π
ω+=x y 的图像
重合，则ω的最小值为（ ） A 、
61 B 、41 C 、3
1
D 、213、将函数sin 2y x =的图像向左平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是( )
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A 、cos 2y x =
B 、22cos y x =
C 、)4
2sin(1π
++=x y D 、22sin y x =
4、已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π，)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单
位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）
A 、
2π B 、83π C 、4π D 、8π
5、已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图像，
只要将()y f x =的图像（ ）
A 、向左平移
8π个单位长度 B 、向右平移8π
个单位长度C 、向左平移4π个单位长度 D 、向右平移4
π
个单位长度
6、已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能．．．
是 ( )
7、已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =（ ） A 、23-
B 、23
C 、－12
D 、12
8、函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图像如图所示，则ω = .
9、已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________
10、已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
。
11、已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像如图所示，则ω ＝
12、已知函数
()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点
的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A 、5[,],1212k k k Z π
πππ-
+
∈ B 、511[,],1212
k k k Z ππππ++∈C 、[,],36
k k k Z ππ
ππ-+∈ D 、2[,],63k k k Z ππππ++∈13、如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图像关于点4(
,0)3π
中心对称，那么||ϕ 的最小值为（ ） A 、6π B 、4
π
C 、3π
D 、2π
14、已知函数))(2
sin()(R x x x f ∈-
=π
，下面结论错误．．
的是（ ） A 、函数)(x f 的最小正周期为2π B 、函数)(x f 在区间[0,
]2
π
上是增函数
C 、函数)(x f 的图像关于直线x ＝0对称
D 、函数)(x f 是奇函数 15、若
4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 。
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16、已知函数2()sin 22sin f x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期。
（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。 17、已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
φφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π。
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在[0,
]4
π
上的最大值和最小值。
18、设函数2()cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+。
（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期。 （2）11
,,cos ,(),,sin 324
c A B C ABC B f C A ∆==-设为的三个内角，若且为锐角求。 19、设函数2()sin(
)2cos 1468
x x
f x ππ
π=--+。 （1）求()f x 的最小正周期。
（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3x ∈时()y g x =的最大值。
20、设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23
π
。
（1）求ω的最小正周期。
（2）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间。
21、已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 32
2cos 的定义域为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常
数a 、b 的值。 22、已知函数y=
21cos 2x+2
3
sin x ·cos x +1（x ∈R ）。 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
题型四 三角函数与解三角形
此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，
正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
【例10】在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c
，若2
2
a b -
，sin C B =，则
A=（ ）
A 、030
B 、060
C 、0120
D 、0150
解：
由正弦定理得
2c c R =⇒= 所以
cosA=222+c -a 2b bc =
=
，所以A=300 评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。
【例11】在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
6cos b a
C a b
+=，则t a n t a n
t a n t a n
C C A B +=________。 解： 22
6cos 6cos b a C ab C a b
a b +=⇒=+
2222222236,22
a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=
2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B +++=⋅=⋅=⋅
=44
2122
22
2
==⋅-+c
c ab c ab c b a 评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
练习：
1、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ，AC 的取值范围为 。 2、在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。 （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。
3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos 2A =， 3AB AC ⋅=。 （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
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4、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=
，4
cos ,5
A b =
= （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．
5、在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、
，且sin 510
A B =
=
（I ）求A B +的值；（II
）若1a b -=，求a b c 、、的值。
6、设函数2
()2sin cos cos sin sin (0)2
f x x x x φ
φφπ=+-<<在π=x 处取最小值。
(1)求ϕ的值；
(2)在∆ABC 中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f ，求角C 。 7、设△ABC 的内角A 、
B 、
C 的对边长分别为,,a b c ，2
3cos )cos(=+-B C A ，ac b =2
，求B 。
题型五 三角函数与平面向量
【例13】平面直角坐标系有点]4
,4[),1,(cos ),cos ,1(π
π-
∈x x Q x P 。 （1）求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值。 解：（1
）θcos =
⋅ ，
x
x
x x x 22cos 1cos 2cos cos )cos 1(cos cos +=
∴+=+∴θθ 即 x x x f 2cos 1cos 2)(+=
)4
4(π
π≤≤-x （2）x
x cos 1
cos 2cos +
=
∴θ ， 又 ]2
23,2[cos 1cos ∈+
x x ， ]1,322[
c o s ∈∴θ ， 0min =∴θ ， 3
2
2a r c c o s m a x =θ。 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
【例14】已知向量m =(sin A ,cos A ),n
=1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角。 （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域。
解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662
A A π
π-=-=
由A 为锐角得 ,663
A A π
π
π
-
=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
。
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
，。
练习：
1、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-。（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b 。
2、已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=
（Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
3、已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A =，
(2,2)p b a =--。
（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m
⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积。
高考中常见的三角函数题型和解题方法数学秘诀
三角函数 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．已知2tan = θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1） 2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + =++θθθ θθθ θθθθ； (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2 2222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
高中数学三角函数常见习题类型及解法
高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 20XX 年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法 三角函数中常考题型及解法： 一、求解三角函数值 1、求正弦函数值 解法： 使用正弦定理进行求解，总结如下： （1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正 弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式： sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]； （4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。 2、求余弦函数值 解法： 使用余弦定理进行求解，总结如下： （1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式 或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式： cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式 1、求正弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有 y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。 2、求余弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数 y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)- 2sin(x)·sin(π/6)。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定， ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 22)()(⨯=⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
高一数学-三角函数常见题型与解法(1)
三角函数的题型和方法 、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos 2θ+sin 2θ=tanx · cotx=tan45 °等。 2 2 2 2 2 2 sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x ；配凑角： α=( α+ 3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 5）引入辅助角。 asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin （ θ+ ），这里辅助角 所在象限由 a 、b 的符号确定， 角的值由 tan = b 确定。 a （ 6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。 2 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦 函数 的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问 题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能 低， 分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 1 （ ） （ ） 2 1 2 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 22 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： β )－ β ， β = 2
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-, ∴tan100tan80︒=-2 sin 801.cos80k k -=-=-。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)32- (B)-12(C)12 (D) 32 解：()1cos300cos 36060cos602 ︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 23231231 1cos cos sin sin cos 33333 ααααααααα++++-= 又 1232αααπ++=，∴1231cos 32ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=- ,则tan(2)4πα+= . 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 令狐采学 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β） －β，β= 2β α+－ 2β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ= a b确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分
析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 22)()(⨯= ⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 熟悉常数“1”的各种三角代换： 6 sin 24 tan 0cos 2 sin sec cos tan sec cos sin 12222π π π ααβαβα====⋅=-=+=
高考必考三角函数题型及解题方法
三角函数三角函数的图像和性质： 函数sin y x =cos y x =tan y x =图 象 定义域R R |, 2 x x k k Z π π ⎧⎫ ≠+∈ ⎨⎬ ⎩⎭ 值域[1,1] -[1,1] -R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 有界性 sin1 x≤cos1 x≤无界函数 最小正 周期2π2ππ 2,2 22 () 3 2,2 22 () k k k Z k k k Z ππ ππ ππ ππ ⎡⎤ -+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ ⎡⎤ ++ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ 增区间 减区间 [] [] 2,2 () 2,2 () k k k Z k k k Z πππ πππ - ∈ + ∈ 增区间 减区间,22 () k k k Z ππ ππ ⎛⎫ -+ ⎪ ⎝⎭ ∈ 增区间 对称轴 () 2 x k k Z π π =+∈ () x k k Z π =∈无对称轴 对称 中心 ()() ,0 k k Z π∈ () ,0 2 k k Z π π ⎛⎫ +∈ ⎪ ⎝⎭ () ,0 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ () () max min 2 2 1; 2 2 1 x k k Z y x k k Z y π π π π =+∈ = =-∈ =- 时， 时， () ()() max min 2 1; 21 1 x k k Z y x k k Z y π π =∈ = =+∈ =- 时， 时， 三个三角函数值在每个象限的符号： sinα cosα tanα· 特殊角的三角函数值： 30°45°60°0°90°180°270°15°75° sinα 2 1 2 2 2 3 0 1 0 －1 62 4 -62 4 + o π 3 2 π 2π y o o2 ππ3 2 π y x 2 π 2 πx π 3 2 π x y 2π 无最值最值 单 调 区 间
高中数学三角函数经典例题及详解
高中数学三角函数专题复习 考试要求 三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。 内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。 （1）角与弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。 （2）三角函数概念和性质 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ± ，α ±π的正弦、余弦、正切）。 ②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质。 ③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ， A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。 （3）同角三角函数的基本关系式 理解同角三角函数的基本关系式。 （4）三角恒等变换 ①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 ②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 ③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。 （5）三角函数应用 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模 2 π [0,2]π(,)22 ππ - sin()y A x ωϕ=+2 2 sin sin cos 1,tan cos x x x x x +==
高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案
三角函数 1、三角函数对称性。 （1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余 弦的函数值得到最大最小值。)(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于直线x=t 对称⇔)(t f =±A ；)(x f =） （ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于点（t ，0）对称⇔)(t f =0； 1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3 x f x ϕ +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C ) A ． π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3 2、已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=-+-为奇函数，则ϕ的一个取值为（D ） A ．0 B ．π C ． 2 π D ． 4 π 3、（2017盐城三模） 若 ())cos()() 2 2f x x x π π θθθ=+-+- ≤≤ 是定义在R 上的偶函数，则θ= ▲ . 3π - 2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系 ①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为 2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”） ②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为 2||T a b =-； （简单记为“相邻两心距离，半个周期”） ③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； （简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4 y x π =+ 图像的两条相邻对称轴之间的距离是C A.2π B. π C. 2π D.4 π 2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则（B ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 3（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ） A ． B ． C ． D ． ϕ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π 4 π
十一种类型的三角函数最值问题(附题目详解)
十一种类型的三角函数最值问题 1.利用三角函数的有界性求最值 利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值. 例:已知函数y=12 cos 2 x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的 集合. 2.反函数法 例:求函数1cos 21 cos 2-+= x x y 的值域 [分析] 此为d x c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 3.配方法—---转化为二次函数求最值 例：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数 ()1sin ≤+ϕx 即可求解。Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。 例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。 5. 利用数形结合 例： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解： 6、换元法 例：若0 三角函数、解三角形高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型 1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】2cos 2sin 2αα+=25 64 1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222 =++=++ααααααα故选A ． 2.三角恒等变换给值求值问题 典例2：（2016年2卷9）若π3 cos 45 α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选D ． 3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左 平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D. 4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 π三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结