三角函数大题六大常考题型
【一】知识要点详解
1.要点：
（1）三角函数的化简、求值与证明；
（2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性；
（3）三角函数的最值问题；
（4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理；
（5）解三角函数的实际应用.
2.方法：
（1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果.
（2）三角函数最值的三个方面：
化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如；
化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构；
“合二为一”：辅助角的使用；
（3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围.
【二】例题详解
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．
由于，所以
．
【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的
夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点，
所以即
因为，所以.
（II）由函数及其图像，得
所以从而
，故.
【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；
（2）若，且，求．
【解答】（1），,
又，解得：，
，是锐角，．
（2），，，
又，，，
，．
【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余
弦定理实现边角转化，列出等式求解。
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例4】（2007年高考陕西卷），其中向量，
，，且函数的图象经过点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。
【解答】（Ⅰ）
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴当时，的最小值为，
由，得值的集合为．
【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如
，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
【例5】（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
【解答】∵，∴平移后的解析式为
，选．
【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为．
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例6】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.
（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.
【解答】（Ⅰ）∵
∴的最大值为，最小正周期是
（Ⅱ）要使成立，当且仅当，
即,
即成立的的取值集合是．【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解
集。
【跟踪训练】
1．设函数，其中向量，
．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．
2．已知向量．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值．
【参考答案】
1．解：(Ⅰ)由题意得，
，
所以，的最大值为，最小正周期是.
（Ⅱ）由得，即，
于是，．
因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求．
2．解：（Ⅰ）若，则，由此得：，
所以，．
（Ⅱ）由得：
当时，取得最大值，即当时，的最大值为．
三角函数常考题型
一构造型． 例：已知2tan =a a a a a a a 22cos 2 1sin 43)2;cos 5sin 3cos sin 4++-求：！） 变式→21tan =a ，=+a a a cos sin 2sin 12则：____变式→==+-a a a a a tan ,51cos 3sin 2cos sin 则______ 二 sin cos ;sin cos ;sin cos x x x x x x +-关系． 例：若,2 0,81cos sin π<<= x x x 则=+x x cos sin ______ 变式→=<<=+x x x x sin ,0,5 1cos sin 则π______ 变式→=+++=a a a a a cos 11sin 11,21cos sin 求为锐角____ 变式→=+-=+a a a a cot tan ,2cos sin 则____ 三 开方． 10sin 110sin 10cos 10sin 21) 12-++; 5cos 5sin 21)2-;a a cos 1cos 1)3-+;a a sin 1sin 1)4+- 四.化简___)'(cos )tan()2cot()cos()(sin )132=--+--++πααππααπαπ ___) '(cos )tan()cot()cos()(sin )232=--++-+αππαπααππα 3）已知5)tan(=+πa ,求 ___)cos 3sin 52()'cos()sin(2)5cos(3)11sin(522=++--+----+ααπααπαπαπ 五.构造 1）已知απαππαcos ,41)3cos(),65,3( 求且=-∈___ 2）.==+ <<απαπαcos ,5 3)4sin(,4,0求_____ 3） αππβαππβαβαβα2cos ),,4 3()();2,47()(,54)cos(,54)cos(求∈-∈+-=-=+_________ 4）32)6cos(=-απ,求=---)6(sin )67cos(2πααπ____ 5）__)3 2sin(,32)3sin(=+=-απαπ 则 6）==-= +βαβαβαtan tan 51)cos(,31)cos(，求____- 7） ==-=+β αβαβαtan tan 31)sin(,21)sin(，求_____ 8）.=-=-=-)cos(3 1sin sin ,21cos cos βαβαβα，求 六 求值化简 . 1)=- 15cos 75sin _______ 2)= 15cos 75sin _________ 3)=+ 15cos 75sin
(完整版)三角函数常考题型汇总,推荐文档
(x+) 三角函数y=A sin
5 3 3 3 3 一、选择题: 1. “ x = ”是“函数 y = sin 2x 取得最大值”的 （ ） 4 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 在?ABC 中，如果sin A = 3 sin C ， B = 30° ，那么角 A 等于 （ ） A ． 30 B ． 45° C ． 60° D ．120° 3.函数 y = 1- 2 s in 2 (x - )是 （ ） 4 A. 最小正周期为 的偶函数 B. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的奇函数 2 4． sin 225? = （ ） A.1 B ． -1 2 C ． 2 2 D ． - 2 2 5. 设函数 f (x )= 3 sin θ x 3 + cos θ x 2 + 4x - 1 ，其中θ ∈ ?0∥ 5π? ， 3 2 ?? 6 ?? 则导数 f '(-1)的取值范围是（ ） A ． [3∥ 6] B ． [ 3∥ 4+ C ． [ 4- 3∥ 6 D ． [ 4- 3∥ 4 + 3 6. ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若cos A = 2 5 2 5 ， bc = 5 ， 则?ABC 的 面积等于（ ） A 、 2 5 B 、4 C 、 D 、2 7. 在?ABC 中， AB = ， BC = 1， AC cos B = BC cos A ，则 AC ? AB = （ ） A. 或 2 B ． 3 或 2 2 C ． 2 D ． 3 或 2 2 8. 在?ABC 中， AB = ， BC = 1， sin A = sin B ，则 AC ? AB = （ ） A. 2 B ． C ． 3 D ． 1 2 2 2 3 2
三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结
三角函数、解三角形高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型 1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】2cos 2sin 2αα+=25 64 1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222 =++=++ααααααα故选A ． 2.三角恒等变换给值求值问题
典例2：（2016年2卷9）若π3 cos 45 α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选D ． 3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左 平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D. 4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 π
三角函数常考题型汇总情况
三角函数 ()?ω+=x A y sin
o 3 π 56 π x y 1 - 三角函数练习题 一、选择题: 1.在ABC ?中，如果sin 3sin A C =，30B =?，那么角A 等于 （ ） A ．30o B ．45° C ．60° D ．120° 2.函数2 12sin ()4 y x π =-- 是 （ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为 2 π的偶函数 D. 最小正周期为2π 的奇函数 3． sin 225?=（ ） A ．1 B ．1- C ． 2 D ．22 - 4.下列函数中,周期为π的偶函数是 A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D . sin(2)2 y x π =+ 5.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（ ） （A ）向左平移 4π个单位长度（B ）向右平移4π 个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2 π 个单位长度 6.已知函数()sin y x =ω+?(0,0)2 π ω>< 的简图如下图，
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法 三角函数中常考题型及解法： 一、求解三角函数值 1、求正弦函数值 解法： 使用正弦定理进行求解，总结如下： （1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正 弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式： sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]； （4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。 2、求余弦函数值 解法： 使用余弦定理进行求解，总结如下： （1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式 或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式： cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式 1、求正弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有 y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。 2、求余弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数 y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)- 2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数大题六大常考题型
【一】知识要点详解 1.要点： （1）三角函数的化简、求值与证明； （2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性； （3）三角函数的最值问题； （4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理； （5）解三角函数的实际应用. 2.方法： （1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面： 化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如； 化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构； “合二为一”：辅助角的使用； （3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】例题详解 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故． 由于，所以 ． 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的 夹角。 【解答】（I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），,
(完整版)三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4, 33ππ ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 8.函数2 ()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 C. 3 2
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答： 25-；5 36 π- ） 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22 cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α= ≠，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααco s si n +的值为＿＿。 （答：7 13-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23）；
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结
高中数学高考三角函数重点 题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结 高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - + D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由03 x π <≤ ，令sin cos ),4t x x x π=+= +而7 4412 x πππ<+≤，得 1t <≤． 又2 12sin cos t x x =+，得21 sin cos 2 t x x -=， 得22 11(1)122 t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛ ⎫=++= ++ ⎪⎝ ⎭， 当4 x π = 时，max 1 2 y = ，选D 。 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π ==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3 ()126 22 f a b π = += ，所以
三角函数大题常考题型
三角函数大题常考题型 三角函数是高中数学中的重要内容，常常出现在考试中。在解决三角函数大题时，我们需要掌握一些基本的概念和性质，并且需要运用一些常见的解题方法。本文将从以下几个方面详细介绍三角函数大题的常考题型，并提供相应的解题思路和方法。 一、角度与弧度的转换 1. 角度与弧度的定义 2. 角度与弧度之间的换算关系 3. 如何将角度转换为弧度，以及如何将弧度转换为角度 二、三角函数的基本性质 1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义 2. 三角函数在不同象限上的正负关系 3. 三角函数的周期性质 4. 三角函数的奇偶性质 三、特殊角和相关角 1. 30°、45°、60°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值 2. 相关角之间的关系及其应用 四、三角恒等式与简化公式 1. 基本恒等式：借助单位圆理论证明正弦定理和余弦定理 2. 和差化积公式：证明两个三角函数之和（差）的积可以表示为其他三角函数
3. 积化和差公式：证明两个三角函数之积可以表示为其他三角函数之 和（差） 4. 二倍角公式、半角公式、倍角公式等的推导与应用 五、解三角方程 1. 一次三角方程的解法：将方程转化为关于某个三角函数的代数方程，然后求解 2. 二次三角方程的解法：利用换元法将二次三角方程转化为一次三角 方程，然后求解 六、应用题 1. 通过建立合适的模型，运用三角函数解决实际问题，如航海问题、 测量问题等 2. 利用已知条件和相关知识，求解各种几何图形中的未知量 七、综合题 1. 结合以上所学内容，综合运用各种解题方法和技巧，解决复杂的综 合性问题 2. 借助图形辅助理解和求解问题 总结： 通过对以上内容的学习和掌握，我们能够更好地理解和应用三角函数。在做大题时，我们需要根据题目给出的条件和要求，选择合适的方法 进行分析和计算。同时，在计算过程中要注意单位换算、符号取舍等 细节问题，确保结果的准确性。通过不断的练习和思考，我们能够提 高解题的能力和技巧，更好地应对各种三角函数大题。
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型 分析 三角函数知识点归纳及常考题型分析 角的概念及表示 角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。正角、负角和零角是角的三种分类。终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。 角度制与弧度制 角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。
弧长公式与扇形面积公式 弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2. 三角函数的定义与符号 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。 三角函数的图像及基本关系式 正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。 正弦、余弦的诱导公式
正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。 和角与差角公式 和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ， tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β， asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。 1.二倍角公式及降幂公式 1.1 二倍角公式： sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$， $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1- 2\sin^2\alpha$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 1.2 降幂公式：
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略. 〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等. 〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin 2x+2cos 2x=
新高考高中数学必修三第七章三角函数题型大全
新高考三角函数题型大全 一、求值化简型 1、公式运用 〖例〗（1）已知tan α=3,求： αα22cos 4 1 sin 32+的值。 （2）已知tan α+sin α=m, tan α-sin α=n (),2 Z k k ∈≠π α, 求证：n m n m +-=αcos . （1）解：24112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222++-=+-++--=+αααααα 24 112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222+ +-=+-++--=+αααααα 24 11 2cos 812cos 3181)12cos 2(8131++-=+-++ααα=++--=24 11sin cos sin cos 2452 22 2 αααα=++--=2411sin cos sin cos 245222 2αααα2411tan 1tan 122++-αα85= （2）证明：两式相加，得α ααcos sin 2tan =+=n m 两式相减，得2sin n m -=α 所以 n m n m n m +-= +=ααsin 2cos 〖举一反三〗（本小题满分12分） 1、已知1cot tan sin 2),2 ,4(,41)24 sin( )24 sin(2--+∈= -⋅+αααπ πααπ απ 求的值. 解：由)24 cos()24sin( )24sin( )24sin( απ απαπ απ +⋅+=-⋅+ ,4 1 4cos 21)42sin(21==+=ααπ 得 .214cos =α 又.12 5),2,4(π αππα=∈所以 于是 α αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222 -+ -=-+-=--+ .32 5)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 2、如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且 ,)62ππ ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3 π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ． （Ⅰ）若3 1 1= x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值． （Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3 x π=+α．
高考必考三角函数题型及解题方法
三角函数三角函数的图像和性质： 函数sin y x =cos y x =tan y x =图 象 定义域R R |, 2 x x k k Z π π ⎧⎫ ≠+∈ ⎨⎬ ⎩⎭ 值域[1,1] -[1,1] -R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 有界性 sin1 x≤cos1 x≤无界函数 最小正 周期2π2ππ 2,2 22 () 3 2,2 22 () k k k Z k k k Z ππ ππ ππ ππ ⎡⎤ -+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ ⎡⎤ ++ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ 增区间 减区间 [] [] 2,2 () 2,2 () k k k Z k k k Z πππ πππ - ∈ + ∈ 增区间 减区间,22 () k k k Z ππ ππ ⎛⎫ -+ ⎪ ⎝⎭ ∈ 增区间 对称轴 () 2 x k k Z π π =+∈ () x k k Z π =∈无对称轴 对称 中心 ()() ,0 k k Z π∈ () ,0 2 k k Z π π ⎛⎫ +∈ ⎪ ⎝⎭ () ,0 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ () () max min 2 2 1; 2 2 1 x k k Z y x k k Z y π π π π =+∈ = =-∈ =- 时， 时， () ()() max min 2 1; 21 1 x k k Z y x k k Z y π π =∈ = =+∈ =- 时， 时， 三个三角函数值在每个象限的符号： sinα cosα tanα· 特殊角的三角函数值： 30°45°60°0°90°180°270°15°75° sinα 2 1 2 2 2 3 0 1 0 －1 62 4 -62 4 + o π 3 2 π 2π y o o2 ππ3 2 π y x 2 π 2 πx π 3 2 π x y 2π 无最值最值 单 调 区 间
三角函数大题常考题型
三角函数大题常考题型 一、引言 三角函数是高中数学中非常重要的概念之一，也是数学建模与应用中常用的工具之一。三角函数大题在高中数学考试中经常出现，对学生的理解与运用能力提出了很高的要求。 本文将从定义、基本性质、常见题型和解题技巧等方面，对三角函数大题进行全面、详细、完整且深入地探讨，帮助读者更好地理解和应对该题型。 二、三角函数的定义 三角函数由单位圆上一点的坐标值定义，分为正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)六个。其定义如下： 1.正弦函数(sin)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值； 2.余弦函数(cos)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值； 3.正切函数(tan)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值除以x坐 标值； 4.余切函数(cot)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值除以y坐 标值； 5.正割函数(sec)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值的倒数； 6.余割函数(csc)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值的倒数。 三、基本性质 三角函数有许多重要的基本性质，下面我们将简要介绍其中的一些： 1. 周期性 正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x) 和cos(x+2π)=cos(x)成立。而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数没有周期。
2. 奇偶性 正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(- x)=cos(x)。而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是既不奇也不偶的。 3. 对称性 正弦函数的图像关于y轴对称，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数的图像关于x轴 对称，即cos(-x)=cos(x)。而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都没有 对称性。 4. 定义域和值域 正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1,1]；正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集合；正割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)，而余割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。 四、常见题型 三角函数大题主要涉及到以下几个常见的题型： 1. 求解三角方程 求解三角方程是三角函数大题中最常见的题型之一。主要的思路是将方程转化为关于三角函数的方程，并利用三角函数的性质进行化简和求解。常见的三角方程包括触角方程、附加角方程等。 示例题目：求解方程sin(2x)+sin(x)=0。 2. 求函数的定义域与值域 求函数的定义域与值域是另一个常见的题型。对于给定的函数，要求确定其定义域和值域，需要利用三角函数的性质和定义进行分析和推导。 示例题目：求函数f(x)=sin(2x)+cos(x)的定义域与值域。
高一三角函数常考大小题型
高一数学三角函数高考常见题型 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 1。已知α为第二象限角，3 sin cos 3 αα+= ，则cos 2α= 。 2.若42ππθ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=8θ,则sin θ= 。 3.若02 π α＜＜ ，02 π β- ＜＜,1 cos( )43 π α+=，3cos()423πβ-= ，则cos()2βα+= . 4. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222 x x x x x π π==-∈且a b 。 (1）若||3+>a b ,求x 的取值范围； （2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2 x x π π∈,恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。 【习题1】 1.已知sin cos 2αα-=，α∈（0，π），则tan α= . 2。若tan θ+1 tan θ =4,则sin2θ= . 3。 sin 47sin17cos30 cos17 -= 。 4.如图，正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ，使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=( ） A 、 31010 B 、1010 C 、510 D 、5 15
5。α为锐角，若4cos 65απ⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭，则)122sin(π+a 的值为 ; 若41-3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛απ，则⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+απ23cos 等于 。 6.已知a ∈（ 2 π ,π)，sin α，则tan2α= 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。 例1。已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+ 在(,)2 π π上单调递减.则ω的取值范围是( ） ()A 15[,]24 ()B 13 [,]24 ()C 1(0,]2 ()D (0,2] 例2。已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和4 5π =x 是函数)(sin )(ϕω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴，则= ϕ（ ） (A)错误! (B ）错误! (C)错误! (D ）错误! 例 3.函数1 -1 y x =的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A)2 (B ） 4 （C) 6 （D)8 例4 若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ,在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为 4π，且当[0,]3 x π ∈时，()f x 的最大值为1。 (1）求函数()f x 的解析式; （2）若()[0,]f x x π=∈，求实数x 的值。 【习题2】 1。已知函数)6 2(sin 4π + =x y )6 70π ≤ ≤x （的图像与一条与x 轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为3 2,1,x x x )321x x x <<（，则=++3212x x x 2.已知函数b a x b x a x f ,(cos -sin )(=为常数,),0R x a ∈≠的图像关于4 π = x 对称， 则函数)-4 3( x f y π =是（ ） (A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 (B ）偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,2 3( π 对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 3.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值 4 π ，则)(x f 的最小正周期是( ）
高一三角函数高考解答题常见题型6题
高一三角函数常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下几类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 例1 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。 （1）若||3+>a b ，求x 的取值范围； （2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x π π∈，恒有 12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。 例2 若(3sin ,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当 [0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。 （1）求函数()f x 的解析式； （2）若 13(),[0,]2f x x π+=-∈，求实数x 的值。 例3 已知向量α(sin =a , )21-，1(=b , )cos 2α， 51=⋅b a ，)2,0(πα∈ （1）求ααsin 2sin 及的值； （2）设函数 x x x f 2cos 2)22sin(5)(+++-=απ])2,24[(π π∈x ，求x 为何值时，)(x f 取得最大值，最大
三角函数大题专项(含答案)
三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B． （1）证明a2+b2﹣c2＝ab； （2）求角C和边c． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2） （Ⅰ）求cos A的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．
（Ⅰ）求b和sin A的值； （Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C； （2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B； （2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若，求x的值； （2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a． （1）求sin C的值； （2）若a＝7，求△ABC的面积． 14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B； （2）若cos B＝，求cos C的值． 16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得