2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)

1．1.1 任意角

[新知初探]

1．任意角

(1)角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶

点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类：

名称定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角

[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．

2．象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[点睛] 对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；

(3)终边相同的角的表示不唯一．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)－30°是第四象限角．( )

(2)钝角是第二象限的角．( )

(3)终边相同的角一定相等．( )

2．与45°角终边相同的角是( )

A．－45° B．225° C．395° D．－315°

3．下列说法正确的是( )

A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角

C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角

4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

任意角的概念

[典例]

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．

终边相同角的表示

[典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．

1．终边落在直线上的角的集合的步骤

(1)写出在0°～360°范围内相应的角；

(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；

(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．

2．终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．

[活学活用]

分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

象限角的判断

[典例]作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.

象限角的判定方法

(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

[活学活用]

若α是第四象限角，则180°－α一定在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

角

αn

，nα(n∈N *

)所在象限的确定 [典例] 已知α是第二象限角，求角2所在的象限．

[一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．

2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α

2是第几象限角？

倍角、分角所在象限的判定思路

(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定α

n 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几

种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．

层级一学业水平达标

1．－215°是( )

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．下面各组角中，终边相同的是( )

A．390°，690° B．－330°，750°

C．480°，－420° D．3 000°，－840°

3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、四象限D．第三、四象限

4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )

A．{α|90°<α<180°}

B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}

C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}

D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}

5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )

A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°

C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°

6．在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；

④－2 000°是第二象限角．

其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．

7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.

10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：

(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

层级二应试能力达标

1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )

A．x轴的非负半轴上

B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上

D．y轴的非正半轴上

4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )

A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M＝N

5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．

6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．

7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OB上；

(2)终边落在直线OA上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界)．

参考答案

[小试身手]

1．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．答案：D 3．答案：A

4．答案：－25° 395°

[典例][解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误． [答案] C [活学活用]

解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° [典例]

[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k·360°＋75°，k ∈Z}．

当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k<219

24.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.

当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.

综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角． [活学活用]

解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k·180°，k ∈Z}．

(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k ∈Z}. [典例][解] 作出各角，其对应的终边如图所示：

(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [活学活用]

解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.

[典例][解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α

2

·360°＋90°(k∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n(n ∈Z)，得n·360°＋45°<α

2

这表明α

2

是第一象限角；

当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n·360°＋225°<α

2

这表明α

2是第三象限角．

∴α

2为第一或第三象限角． [一题多变]

1．解：∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α

2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α

2为第

二或第四象限角．

层级一 学业水平达标

1．解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．

2．解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．

3．解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k ∈Z ，

当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．

4．解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 5．解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.

6．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．

②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．

③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．

④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③

7．解析：5α＝α＋k·360°，k ∈Z ，∴α＝k·90°，k ∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°

8．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144° 9．解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．

(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．

(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．

10．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133

3，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，

－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k ∈Z.

层级二 应试能力达标

1．解析：选D ①－15°是第四象限角；

②180°<185°<270°是第三象限角；

③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；

④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，

所以四个结论都是正确的．

2．解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.

3．解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，

∴其终边在x轴的非负半轴上．

4．解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，

即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；

对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，

即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．

∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.

5．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.

答案：－30°－360°

6．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

答案：一或三

7．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合

S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.

8.解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．

(2)终边落在直线OA上的角的集合为

S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为

S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．