高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学
案新人教A版必修4
【学习目标】
1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】
1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】
1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）
在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .
3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
点的位置对这三个比值有影响吗？
4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】
1. 例题研讨：
例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4
π
、3
π
、
5
3
π
(讨论求法→试求（学生板演）→订正)
A
B
C
→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.
例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.
（学生试求→订正→小结解法）
2. 任意角的三角函数的定义：
①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?
②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.
③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？
当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？
任何实数是不是都有三角函数值？为什么？
【达标测评】(参考《全优》P7)
1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定
2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-4
5,则m等于( )
A．－11
4 B.
11
4C．-4 D．4
3.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－3
5，则y的值是________．
【归纳小结】
单位圆定义任意角的三角函数；
2.由终边上任一点求任意角的三角函数；
【巩固练习】（各班可按实际情况安排）
1．练习：教材P15：1，3；
2．作业：教材P15：2.
第二课时：任意角的三角函数（二）
【学习目标】
1. 掌握各象限的三角函数值的符号。
2. 灵活运用诱导公式（一），把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值。【重点难点】
1. 灵活运用诱导公式求值。
2. 理解转化与化归的思想。
【预习指导】
1．阅读教材第13～15页。
2．三个三角函数的定义、定义域及在各个象限的符号情况怎样？
（1）定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x ，y)，它与原点的距离为r ， 则sinα＝；cosα＝；tanα＝.
（2）设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么：
sinα＝；cosα＝；tanα＝.
（3）填表：三个三角函数的定义域情况是怎样的？（请完成P13中的表1.2-1）
（4）填空：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？（请完成P13中的图1.2-6）
（5）角α与2k π＋α的三角函数值有何关系？（诱导公式一）
结论：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，
tan(2)k απ+= ，其中k Z ∈
【合作探究】
1. 三角函数值的符号：
例1：求证：当下列不等式成立时，角θ为第三象限角。反之也对。
sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩
例2：根据下列已知条件，判别θ所在象限：（口答→分析思路）
（1）sinθ>0且tanθ<0；（2）tanθ×cosθ<0 例3：判别下列各三角函数值的符号，然后用计算器验证.
（1）sin250°；（2）cos（－7
4
π
）；（3）tan(－66°36’)；
（4）tan5π；（5）cos1000°2. 诱导公式的运用：
思考：诱导公式一的作用？（P14）例4：求下列三角函数值：
（1）sin765°；（2）cos（－7
4
π
）；（3）tan
17
4
π
【达标测评】
1. 设α是三角形一个内角，在sin,cos,tan,tan
2
α
ααα
中，哪些有可能是负值？
2. 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
（1）
156；（2）0
450
-；
（3）16
5
π
；（4）
4
3
π
-
【归纳小结】
1.各象限的三角函数值的符号情况。
2.利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值, 转化为0°～360°来求。
【巩固练习】（各班可按实际情况安排）
1．教材P15：5，6；
2．教材P15：7.（2）（3）（4）.
第三课时：任意角的三角函数（三）
【学习目标】
1. 理解正弦线、余弦线、正切线的概念。
2. 掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线。
【重点难点】
1. 掌握作已知角α的正弦线、余弦线、正切线。
2. 理解正弦线、余弦线、正切线的概念。
【预习指导】
1．阅读教材第15～17页。
2．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
3. 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
sinα＝；cosα＝；tanα＝.
【合作探究】
1. 三角函数线的概念：
①定义有向线段：直线规定方向→轴（x轴、y轴）；线段规定方向→有向线段。
②规定：当有向线段与轴（x轴、y轴）同向时为，反向时为。
③画出下列角度与单位圆的交点P，
并作x轴的垂线PM，写出PM、OM的值，
并与正弦、余弦值比较：60°、120°、240°.
④定义正余弦线：设角α的终边与单位圆交点P(x，y), 过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP为线，OM为线。（为什么？）
⑤练习：画出各象限角的正弦线、余弦线，并分析符号。
⑥定义正切线：过点A(1,0)作单位圆的，它与终边或终边的反向延长线交于T，则
有向线段叫角α的正切线。（为什么？）
⑦练习：画出各象限角的正切线，并分析符号。（可以在⑤的图中完成）
2. 小组研讨：
①讨论一：三角函数线为什么可以表示三角函数值？
在单位圆中计算得：sinα=y，cosα＝x；比较MP的长度与|y|，OM的长度与|x|；
比较MP的符号与y的符号，OM的符号与x的符号；
所以，sinα＝y＝，cosα＝x＝，
tanα＝y
x＝=
AT
OA＝（三角形相似）
②讨论二：当角α终边在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线的情况？
3. 例题研讨：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
()31π
；()π652；
()π323-；()64π
-.
例2．利用三角函数线比较大小：
()
30sin 1______ 150sin ； ()22cos 3π______
π54cos . 【达标测评】
1. 利用三角函数线比较大小
()1sin 25______ 150sin ； ()22tan 3π______4tan 5π
.
2．若π4<θ<π2
，则下列不等式成立的是( ) A ．sin θ>cos θ＞tan θ B ．cos θ>tan θ＞sin θ
C ．sin θ>tan θ＞cos θ
D ．tan θ> sinθ＞cos θ
【归纳小结】
1. 三角函数线的概念与作法。
2. 三角函数线的作用。
【巩固练习】（各班可按实际情况安排）(参考《全优》P7)
已知04πα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.
（分析：如何通过三角函数线比较？ → 小结：利用三角函数线比大小）
第四课时： 同角三角函数的基本关系（一）
【学习目标】
1. 掌握同角三角函数的两个基本关系式。
2. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值。
【重点难点】
1. 同角三角函数的两个基本关系式和应用。
2. 理解同角三角函数的两个基本关系式。
【预习指导】
1．阅读教材第18～19页。
2．任意角的三个三角函数是怎样定义的？
（1）定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x ，y)，它与原点的距离为r ， 则sinα＝；cosα＝；tanα＝.
（2）设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么：
sinα＝；cosα＝；tanα＝.
3．思考：从三个三角函数的定义，你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？利用三角函数线的定义, 如何推导同角三角函数的基本关系？
4．结论：平方关系22sin cos αα+= ；商数关系sin cos αα= .
5. 思考几个问题：(1) 上述两个关系式，在一些什么情况下成立？
(2) “sin 2α＋cos 2
β＝1”对吗？
(3) 同角三角函数关系式可以解决哪些问题？
【合作探究】 例1：已知cos α＝－3
5，并且它是第三象限的角，求sin α，tan α的值.
思考：由已知可以根据哪些关系式分别求其它三角函数值？注意什么问题？
解答→订正→小结：关系式的运用；注意符号问题；知一求二。
再思考：假如没有已知所在象限，结果将怎样？ 假如是填空选择，有何捷径求解？
变式训练：已知sin α＝－3
5，求cos α，tan α的值.
（解答→交流→订正→小结，参考P19例6）
例2：已知tan α＝－125
，且α是第四象限的角，求sin α，cos α.
（解答→交流→订正→小结，参考《全优》P10）
【达标测评】(参考《全优》P10)
1.已知α是第二象限角，cos α＝5
13，sin α＝( ) A.1213-
B ．513-
C. 513 D ．1213 2. 已知tan α＝2，则sin α·cos α的值为________．
3. 已知tan α＝2，则cos α＋sin αco s α－sin α
的值为________．
【归纳小结】
1. 给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.
2. 化简的要求（化简后的式子要求：三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；若能求出值的求出值）
【巩固练习】（各班可按实际情况安排）
1．练习：教材P20练习：1，4；
2．作业：教材P20练习：2.
第五课时： 同角三角函数的基本关系（二）
【学习目标】
1. 能熟练运用同角三角函数的基本关系式。
2. 能利用关系式化简三角函数式。
3. 能够利用关系式证明简单的三角恒等式
【重点难点】
1. 掌握“知一求二”的问题。
2. 合理选用同角三角函数的基本关系式。
【预习指导】
1．阅读教材第19～20页。
2．同角三角函数的基本关系式：
平方关系： ；商数关系： .
3．同角三角函数的基本关系式的常用变形：
①sin2α＝____________；cos2α＝__________；
②(sin α＋cos α)2＝______________；(sin α－cos α)2＝______________.
③sin α＝cos α·________；cos α＝sin αtan α
. 4．化简式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是( ) （参考《全优》P10） A.14 B.12C.32
D ．1 【合作探究】
例1：求证：cos 1sin 1sin cos x x x
x +=-. （用多种方法证明）
变式训练：求证：1－2sin xcos x cos2x －sin2x ＝1－tan x 1＋tan x
.（解答→交流→订正→小结，参考《全优》P10）
方法小结：由其它等式而转化（先证交叉乘积相等）；或证和（差），或证商→比较法； 或直接证明左边等于右边；或直接证明右边等于左边；或两边一起变形转化。
例2：已知
,31cos sin =+αα则=ααcos sin ________.
变式训练：已知,0πα< - , 则cos α－sin α= . 例3：已知,3tan =α求下列各式的值： (方法可参考《全优》P12知识点2） （1）ααα αcos 9sin 4cos 3sin 2--； （2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--； （3）αα22cos 3sin 2- 【达标测评】(参考《全优》P12) 1.若sin α－2cos α3sin α＋5cos α ＝－5，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C.2316D ．－2316 2.若sin αcos α＝18，0＜α＜π2 ，则sin α＋cos α＝( ) A.32B.14 C ．－32 D.52 3.已知sin α－cos α＝15 ，则sin αcos α＝________. 4．已知tan α＝2，则 sin cos sin cos αα αα-+＝________. 【归纳小结】 1. 化繁为简：注意象限定符号和灵活运用公式，注意平方关系，注意切化弦。 2.“知一求二”的问题和齐次式的处理方法。 【巩固练习】（各班可按实际情况安排） 1．教材P20练习：5； 2．教材P21：10—13；教材P22：B 组题． 高中数学 任意角的三角函数第3课时学案 新人教A 版必修4 【学习目标】 1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小. 【重点难点】 三角函数线 比较两个同名三角函数值的大小 【学习内容】 问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？ 【 新授】 【边描述边画】以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，请你观察: 根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==. O x y a 角的终边 P T M A 随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？ （2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？ 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 cos OM xα ==. 同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP 与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样,无论那种情况都有 sin MP yα ==.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 如何用有向线段来表示角α的正切呢? 如上图,过点(1,0) A作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有 tan y AT x α==. 目录 第一章 三角函数 1。1。1 任意角 ..........................................................................................1 1。1。2 弧度角 ..........................................................................................5 1。2.1 任意角的三角函数(1） ........................................................................8 1。2。1 任意角的三角函数(2） ........................................................................12 1。2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。2.2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1。2.3 三角函数的诱导公式(1） .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2） .....................................................................22 1。2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1。3。1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1。3。2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3。2 三角函数的图象和性质（2） (33) 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3。3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1) ......................................................38 1。3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46) 第二章 平面的向量 2。1 向量的概念及表示..............................................................................49 2。2。1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2。2.3 向量的数乘（1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2。3。1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3。2 向量的坐标表示(1） ........................................................................68 2。3.2 向量的坐标表示（2） (70) 2。4。1 向量的数量积(1） (72) 2。4。1 向量的数量积（2) (75) 第三章 三角恒等变换 3.1。1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3。1。2 两角和与差的正弦公式 (81) 高中数学任意角三角函数第2课时学案 新人教A版必修4 【学习目标】 1.三角函数的符号； 2. 诱导公式（一）。 【重点难点】 符号及诱导公式（一） 【学习内容】 【复习回顾】：三角函数的定义 【新授】 一．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0 y r >>），对于第三、四象限 为负（0,0 y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0 x r >>），对于第二、三象限 为负（0,0 x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y同号），对于第二、四象限为负（,x y异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 口诀：一全正二正弦三正切四余弦 二．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=， 其中k Z ∈． 例1：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α 终边所在的象限； （3）试判断tan ,sin cos 222ααα 的符号. 例2： 求函数x x x x y tan tan cos cos +=x x sin sin +的值域. 解： 例3：求下列三角函数的值： （1）9cos 4π ，（2）11tan()6π -，（3）9sin 2π ． 解： 例4：求函数x y sin 1 =的定义域和值域 解： 例5：求函数x y tan 1 =的定义域和值域 解： 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理三角函数的定义域 知识点三 思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 知识点四诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 任意角的三角函数(一) 一、教学目标： 1、知识与技能 〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内 容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数〔一〕 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合, 湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 1.2任意角的三角函数学案 新人教A 版必修4 一、复习：锐角三角函数的定义： 如图：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，P Ｍ⊥x 轴，∣ＯＰ∣＝r ，当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= . 二、自主学习：自学14P -16P 完成下面的填空： １。三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ， (r=2 2y x +，r ＞0) 则：sin α= ;cos α= ; tan α= . 思考：三角函数是函数吗？ 3.三角函数符号： sin α= r y ：若y ＞0，则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上； 若y ＜0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上. 若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。 cos α= r x ：若x ＞0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限 或第 象限 或在 上； 若x<0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上. 若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。 tan α= x y ，若x 、y 号，则tan α＞0，此时α的终边在第 象限 或第 象限 若x 、y 号，则tan α＜0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。 若x=0, 则tan α不存在，此时α的终边在 轴上。 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 三、典型例题： 1.自学16P 例1、例2，完成17P 练习A1、2、3题 2.自学17P 例3、例4，完成18P 练习A4题、练习B 3.补充 例：已知角θ的终边落在直线y=3x 上，求sin θ、cos θ和tan θ的值。 四、作业： 1.已知α的终边过点P （4，－3），则下面各式中正确的是（ ） A.sin α= 5 3 B.cos α=- 54 C.tan α=-43 D.cot α=-43 2.若角α的终边上有一点P （k k 5 4 ,53-）（0?k ），则sin α2tan α的值是（ ） A.1516 B.－1516 C.1615 D.－16 15 3.已知角α的终边经过点P （a ，b ），其中a ＜0，b ＜0,在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ） A.sin α与csc α B.cos α与sec α C.tan α与cot α D.sec α与csc α 4.若角α的终边与直线y=3x 重合，且sin α＜0，又P （m ，n ）是α终边上一点，且 10=OP ，则m －n ＝（ ） A.2 B.－2 C.4 D.－4 5.已知点P （3，y ）在角α的终边上，且满足y ＜0，cos α=5 3 ，则tan α的值为（ ） A.4 3- B. 3 4 C. 4 3 D.－3 4 6若sin θcos θ＞0，则θ在第 象限。 7.若x x cos cos 2=，则x 的取值范围是 。 8.已知f(x)= cos πx (x ＜1) f(x －1)－1 (x ＞1) 9. 函数y= x x x x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin +++值域是 10. 52sin π+2cos0+4tan0-32 3sin π+10cos π-2tan π= . 11.已知θ角的终边上一点P （x ，3）(x ≠0)，且cos θ=x 10 10 . 求sin θ,tan θ 1.2.2 同角三角函数的基本关系式 一、自主学习：利用学过的知识推导： 则f(31)+f(3 4)= 某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学 案新人教A版必修4 【学习目标】 1.掌握任意角的三角函数的定义。 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 【重点难点】 1. 熟练求值。 2. 理解任意角的三角函数的定义。 【预习指导】 1．阅读教材第11～13页。 2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图） 在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= . 3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 点的位置对这三个比值有影响吗？ 4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。 【合作探究】 1. 例题研讨： 例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4 π 、3 π 、 5 3 π (讨论求法→试求（学生板演）→订正) A B C →小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值. 例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值. （学生试求→订正→小结解法） 2. 任意角的三角函数的定义： ①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢? ②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝. ③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？ 当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？ 任何实数是不是都有三角函数值？为什么？ 【达标测评】(参考《全优》P7) 1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定 2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-4 5,则m等于( ) A．－11 4 B. 11 4C．-4 D．4 3.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－3 5，则y的值是________． 【归纳小结】 单位圆定义任意角的三角函数； 2.由终边上任一点求任意角的三角函数； 【巩固练习】（各班可按实际情况安排） 1．练习：教材P15：1，3； 2．作业：教材P15：2. 第二课时：任意角的三角函数（二） 【学习目标】 1. 掌握各象限的三角函数值的符号。 2. 灵活运用诱导公式（一），把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值。【重点难点】 1. 灵活运用诱导公式求值。 2. 理解转化与化归的思想。 1.2.1 任意角的三角函数(一) 班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒ 温馨寄语 志不立，如无舵之舟，无衔之马，漂荡奔逸，何所底乎？志不立，天下无可成之事。虽百工技艺，未有不本于志者。——《训欲遗规》 学习目标 1．借助于单位圆,理解三角函数的定义. 2．会判断给定角的三角函数值的符号. 3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值. 学习重点 任意角三角函数的定义 学习难点 正弦、余弦和正切函数的定义域 自主学习 1．三角函数的定义 (1)单位圆：圆心是____________,半径长为____________. (2)定义：设任意角的终边与单位圆交于点,P(x,y),则sin=______,cos=_____, tan=____________. 2．三角函数的定义域 函数定义域 y=sin y=cos y=tan 3．三角函数值的符号法则 结合任意角的三角函数的定义,请将三种三角函数的值在各象限的符号填入下图的横线上： 4．诱导公式一 (1)语言表示：终边相同的角的_____________三角函数的值相等. (2)式子表示： 预习评价 1．已知角的终边与单位圆的交点,则sin+cos= A. B. C. D. 2．已知为第二象限角,则sin•cos__________0(填>,<). 3．已知角的终边与单位圆的交点坐标为,则 sin=__________,cos=_________,tan=_____________. 4．用“>”或“<”填空. sin3_____________0,cos2_____________0,tan1_____________0. 5．计算sin=_____________, ♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒ 合作探究 1．任意角的三角函数的定义 如图P(x,y)为任意角a终边与单位圆的交点,结合任意角的三角函数的定义,思考下面的问题： 1.2.1任意角的三角函数（第一课时） 一、三维目标： 知识与技能: 掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 过程与方法: 通过回忆锐角三角函数概念,体会引入象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角形函数的意义,体会用单位圆上的点的坐标表示三角函数的简 单,方便,反映本质。 情感态度与价值观: 通过任意角的三角函数的学习，培养科学的态度，体会数学美感。 二、学习重、难点: 重点：任意角的三角函数的定义。 难点 : 理解定义，用单位圆上的点的坐标刻画三角函数。 三、学法指导: 阅读教材P11-12页.回忆初中学过的锐角三角函数概念,结合象限角概念, 在直角坐标系中用角的终边上点的坐标比表示任意角三角形函数.。 四、知识链接: 锐角的三角函数定义(教材P11页)。 五、学习过程： 任意角的三角函数的定义： 问题1.角推广后，锐角的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 问题2.对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆。 上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数用单位圆上点的坐标如何表示。 问题3. 任意角的三角函数定义： 问题4.任意角的三角函数定义与点P的位置是否有关？当的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？ 问题5.三角函数为什么是实数与实数的对应？ B例1.求下列各角的正弦、余弦、正切值: 、、 问题7：请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 【课题】：任意三角函数 【课型】：复习课 【学习目标】： 1、我能理解：三角函数的概念及三角函数在各个象限内的符号 2、我能叙述：三角函数的概念及三角函数在各个象限内的符号 3、我能运用：利用三角函数定义及决问题 【学习重难点】：定义的运用 【学法指导】：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现问题解决问题. 一、知识梳理：【自主学习】：（课前预习） 1、三角函数定义：任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α 的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建 立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任 意一点．其中，r＝OP＝x2＋y2>0. 定义：叫做角α的余弦，记作cos α，即；叫做角 α的正弦，记作sin α，即；叫做角α的正切，记作tan α，即 . 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号. 3、特殊角的三角函数之 二、知识运用： 【自主学习】 例1、求3 5π 的正弦、余弦和正切值. 练习：求 6 7π 的三个三角函数值. 例2、已知角α的终边经过点P （-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值. 练习：已知角α的终边经过点P （ 53，-5 4 ），求sin α-cos α的值。 【合作探究】： 变式：1.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,求实数a 的取值范围是 。 2、角β终边在直线y=x 3上，求βcos 例3、若sin αtan α>0且 α α tan cos <0,则角α在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【小组展示】： 1．sin585°的值为 ( ) A ．－ 2 2 B. 22 C ．－3 2 D.3 2 2、已知角α的终边经过点(sin 65π,cos 6 5π),则角α的最小正值为（ ） 天津一中高中数学 1.2.1 任意角三角函数学案（1） 新人教A 版必修4 【学习目标】 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义及在各象限的符号。 【学习重点】 任意角的正弦，余弦，正切的定义. 【学习难点】三角函数的值在各象限的符号. 【课前导学】阅读教材11-17页练习，完成下列学习 1.任意角的三角函数的定义： （1）设α是一个任意角，我们使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，设 它的终边上的任意一点(,),P x y （除原点外），它与原点的距离是r = (0),r >在α的终边上任取（异于原点的）一点（x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+= y x y x r (2) 比值r y 叫做α的正弦 记作： 比值r x 叫做α的余弦 记作： 比值x y 叫做α的正切 记作： 以上三种函数，统称为三角函数. 注：突出探究的几个问题： ①sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积.其余几 个符号也是这样. ②比值只与角的大小有关，与点P 在终边上的位置无关。 ③角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是 相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值 ④实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义 适用 ⑤三角函数是以“比值”为函数值的函数 ⑥0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. 2.终边相同角的同一三角函数的值相等 【典型例题】 例1、角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(2t,-3t) (t ＜0)，则αcos 的值是 （ ） A.1313 2 B.13133- C.21 3 D. -1313 2. 例2、如果θ是第一象限角，那么恒有 （ ） A ．02sin >θ B ．12tan <θ C ．2cos 2sin θθ> D ．2cos 2sin θ θ< 例3、若三角形的两内角βα,满足βαcos sin ⋅＜0，则此三角形的形状是（ ） A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.不能确定 例4、2cos 2sin 22θ θ <，则角θ的终边在 （ ） Ａ．第一、三象限 Ｂ．第一、四象限 Ｃ．第一、三象限或在x 轴的正半轴上 Ｄ．第一、四象限或在x 轴的正半轴上 例5、若实数y x 和 满足 2)cos (cos ),2,23 (cos cos cos cos y x y y x y x -∈+=-则且ππ等于（ ） A.y x cos cos - B.x y cos cos - C.y x cos cos + D.y x cos cos - 一、教学目标 知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、 探究、解决问题的能力。 德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 二．重点与难点: 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 三．教学方法： 学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 四：学习过程： （一）、知识连接 1、如图①sinα=cosα=tanα= B B 图 ① 图 ② 2、如图②设α是任意角，它的终边与单位圆交于(,)P x y ，那么 1）y 叫做a 的正弦，记作sin α，即 sin α= 2）x 叫做a 的余弦，记作cos α，即 cos α= 3）x y 叫做a 的正切，记作tan α，即 tan α= 3、在各象限内的角的三种三角函数值的符号 在各象限内的角的三种三角函数值的符号 归纳： b x a x y 余弦函数 x 正弦函数 x 正切函数 1.2.1任意角的三角函数（1） 【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。●为必须记忆的内容 【学习目标】：理解并掌握任意角三角函数的定义，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。 【学习重点】：任意角三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等。 【学习难点】：用终边上的点定义三角函数。 【教学过程】： 一、问题引入 你还记得初中的三角函数是怎么定义的么？sin α= cos α= tan α= 试想如果α脱离了直角三角形的环境，安装到坐标系中应该如何重新定义三角函数呢？你能构造直角三角形吗？如果在其终边上重新选取一点，三角函数值发生变化么？如果终边在其他象限呢？ 二、探究新知 ●1、任意角三角函数定义：设α是一个顶点在原点，始边在x 轴非负半轴上的任意角，α终边上任意一点p 的坐标是（x ，y ）（非顶点），它与原点的距离是r ，（0222 2 >+= += y x y x r ）则：比值 y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α= y r ；同理，cos α= x r tan α= y x 。这三种函数都是三角函数。当α= k π+ π 2 时，x = 0，此时tan α无意义。除此以外，上述的比值都是唯一确定的，即三角函数是以 角为自变量比值为函数值的函数。 ●2、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么，r=1 （1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 ●3、一组公式： 由定义可知，点p 是终边上任意一点，所以，终边相同的角的同一三角函数值相等。即 sin （α+ 2k π）= sin α cos （α+2k π）= cos α （k ∈Z ）（公式一） tan （α+ 2k π）= tan α 诱导公式（一） 公式的作用：把 求任意角的三角函数值转化为求0°~ 360°之间角的三角函数值。 1.2.1 任意角的三角函数 第一课时 三角函数的定义 [提出问题] 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：否． 问题3：若|OP |＝1，则P 点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？ 提示：P 点的轨迹是以原点O 为圆心，以1为半径的单位圆，即P 点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便． [导入新知] 1．任意角三角函数的定义 (1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α， 即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 2．三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数． [化解疑难] 对三角函数定义的理解 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应． (2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关. [提出问题] 问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0. 问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0. 问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？ 提示：相等．因为它们的终边重合． 问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？ 提示：不存在． [导入新知] 1．三角函数的定义域 2．三角函数值的符号 [化解疑难] 巧记三角函数值的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象 第2课时三角函数线及其应用 1．有向线段 (1)定义：带有方向的线段． (2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP. 2．三角函数线 (1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M. ②过A (1，0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示： (3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． 思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？ 提示：当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y 轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在． 1．角π7和角8π 7有相同的( ) A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线 D ．不能确定 C [角π7和角8π 7 的终边互为反向线，所以正切线相同．] 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A．正弦线OM，正切线A′T′ B．正弦线OM，正切线A′T′ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线MP，正切线A′T′ C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．] 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为． 1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.] (1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图． 其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线． 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A (1，0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT . 1．作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图： 第一章第二节任意角的三角函数第一课时 整体设计 教学分析 学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形〞有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形〞已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题． 本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用． 利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地表达出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境． 三维目标 1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号． 2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来． 4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 重点难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示． 课时安排 2课时 2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2.1.1 任意角的三角函数（一）学案（含解析）新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2.1.1 任意角的三角函数（一）学案（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2.1.1 任意角的三角函数（一）学案（含解析）新人教A版必修4的全部内容。 1。2。1 任意角的三角函数考试标准 课标要点学考要求高考要求 三角函数定义b b 三角函数值符 号 b b 诱导公式（一)b b 三角函数线a a 知识导图 学法指导 1。以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义．2．根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围确定函数的定义域． 3．熟练掌握定义是解决概念类问题的关键,明确有向线段OM、MP、AT为角α的余弦线、正弦线、正切线． 4．体会“数与形"的结合，将三角函数值转化为有向线段． 第1课时任意角的三角函数(一） 1。任意角的三角函数的定义 前 提 如图,设α是一个任意角，它的终边与 单位圆交于点P（x，y) 定 义 正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 错误!叫做α的正切,记作tan α,即tan α＝错误! （x≠0） 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三 角函数. 错误! （1）三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数）到一个比值的集合的函数． （2）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合． 2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数定义域 sin αR cos αR tan α ｛α∈R｜α≠kπ＋ 错误!,k∈Z} 3. 错误!对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知： (1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号; (2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号； （3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．新人教A版必修4高中数学任意角的三角函数第3课时学案
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