人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案
1.2.2.同角三角函数的基本关系
学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2
30°＋cos 2
30°； (2)sin 2
45°＋cos 2
45°； (3)sin 2
90°＋cos 2
90°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin 2
α＋cos 2
α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝
x .
∴sin 2
α＋cos 2
α＝x 2
＋y 2
＝|OP |2
＝1.
思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α
cos α
.
梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1.
②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π
2，k ∈Z ).
(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2
α＋cos 2
α＝1的变形公式 sin 2
α＝1－cos 2
α；cos 2
α＝1－sin 2
α. ②tan α＝sin α
cos α
的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α
tan α
.
类型一.利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1.若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值为(..)
A.125
B.－125
C.512
D.－512 答案.D
解析.∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，
∴tan α＝sin αcos α＝－5
12
，故选D.
反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
跟踪训练1.已知tan α＝4
3，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解.由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝4
3cos α.
①
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，
②
由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2
α＝925.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－4
5
.
命题角度2.已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2.已知cos α＝－8
17，求sin α，tan α的值.
解.∵cos α＝－8
17<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517
， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－15
8
.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－1－cos 2
α＝－1517，tan α＝158
.
反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α＝－
5
13
，求13sin α＋5tan α的值. 解.方法一.∵cos α＝－5
13<0，
∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2
α ＝
1－(－513)2＝12
13
，
tan α＝sin αcos α＝12
13－513
＝－12
5
，
故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－12
5)＝0.
(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2
α＝－ 1－(－513)2＝－12
13
，
tan α＝sin α
cos α＝－
12
13－513
＝125
，
故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×12
5＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二.∵tan α＝sin α
cos α
，
∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1
cos α)
＝13sin α[1＋513×(－13
5)]＝0.
类型二.利用同角三角函数关系化简 例3.已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
.
解.原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)
－
(1－sin α)(1－sin α)
(1＋sin α)(1－sin α)
＝
(1＋sin α)
2
1－sin 2
α－ (1－sin α)2
1－sin 2
α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α
|cos α|
.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α
－cos α
＝－2tan α(注意象限、符号).
反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2
α＋cos 2
α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
跟踪训练3.化简：(1)cos 36°－1－cos 2
36°
1－2sin 36°cos 36°；
(2)1cos 2
α
1＋tan 2
α
－
1＋sin α
1－sin α
(α为第二象限角).
解.(1)原式＝ cos 36°－ sin 2
36°
sin 2
36°＋cos 2
36°－2sin 36°cos 36°
＝
cos 36°－sin 36°
(cos 36°－sin 36°)2
＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|
＝
cos 36°－sin 36°
cos 36°－sin 36°
＝1.
(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝
1cos 2
α 1＋sin 2
αcos 2
α
－
(1＋sin α)
2
1－sin 2
α
＝1cos 2
α cos 2
αcos 2α＋sin 2
α－1＋sin α
|cos α|
＝
－cos αcos 2
α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α
＝tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明
例4.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.
证明.∵右边＝tan 2
α－sin 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2
α－tan 2
αcos 2
α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2
α(1－cos 2
α)
(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2
αsin 2
α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin α
tan α－sin α
＝左边，
∴原等式成立.
反思与感悟.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边
右边
＝1(右边≠0).
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x .
证明.方法一.(比较法——作差)
∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2
x －(1－sin 2
x )
(1－sin x )cos x ＝cos 2
x －cos 2
x (1－sin x )cos x ＝0， ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x
.
方法二.(比较法——作商)
∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )
＝cos 2
x 1－sin 2x ＝cos 2
x cos 2x ＝1. ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x
.
方法三.(综合法)
∵(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2
x ＝cos 2
x ＝cos x ·cos x ， ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x
cos x
.
类型四.齐次式求值问题
例5.已知tan α＝2，求下列代数式的值.
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611
.
(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12
cos 2αsin 2α＋cos 2
α ＝14tan 2
α＋13tan α＋12tan 2
α＋1 ＝14×4＋13×2＋125
＝1330
. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2
α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2
α＋cos 2
α代换后，再同除以cos 2
α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.
(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.
解.由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝8
9.
(2)原式＝sin 2
α－2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α＋1 ＝tan 2
α－2tan αtan 2
α＋1＋1＝32
－2×332＋1＋1＝1310
.
1.若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值等于(..)
A.－43
B.34
C.±34
D.±43
答案.A
解析.∵α为第二象限角，sin α＝45
，
∴cos α＝－35，tan α＝－4
3
.
2.已知sin α－cos α＝－5
4，则sin αcos α等于(..)
A.
74 B.－916 C.－932 D.932
答案.C
解析.由题得(sin α－cos α)2
＝2516，
即sin 2α＋cos 2
α－2sin αcos α＝2516，
又sin 2α＋cos 2
α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，
∴sin αcos α＝－9
32.故选C.
3.化简
1－sin
2
3π
5
的结果是(..) A.cos 3π5
B.sin 3π5
C.－cos 3π
5
D.－sin 3π
5
答案.C 解析.
1－sin
2
3π5
＝ cos
2
3π5＝|cos 3π
5
|， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π
5<0， ∴|cos 3π5|＝－cos 3π5，
即
1－sin
2
3π5＝－cos 3π
5
，故选C. 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ . 答案.－2
5
解析.sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2
θ＋1＝－2
5. 5.已知sin α＝1
5，求cos α，tan α.
解.∵sin α＝1
5
>0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2
α ＝
1－125＝265
， tan α＝sin αcos α＝6
12
；
当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－6
12
.
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
课时作业
一、选择题
1.已知cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－12
13，β为第三象限角，则sin α·tan β
等于(..) A.－48
25
B.48
25 C.13 D.－13
答案.B
解析.∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－12
13
，β是第三象限角，
∴sin α＝1－cos 2α＝45，cos β＝－1－sin 2
β＝－513，
即tan β＝125，则sin α·tan β＝48
25
.故选B.
2.已知α是第二象限角，tan α＝－1
2，则cos α等于(..)
A.－
55
B.－15
C.－255
D.－45
答案.C
解析.∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2
α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，
∴cos α＝－25
5
.
3.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝2
3，则这个三角形是(..)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案.B
解析.∵sin A ＋cos A ＝2
3，
∴1＋2sin A cos A ＝4
9，
∴sin A cos A ＝－5
18＜0，
又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0， ∴cos A ＜0，即A 为钝角.故选B.
4.函数y ＝1－sin 2
x cos x ＋1－cos 2
x
sin x 的值域是(..)
A.{0,2}
B.{－2,0}
C.{－2,0,2}
D.{－2,2}
答案.C
解析.y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |
sin x .
当x 为第一象限角时，y ＝2；
当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0. 5.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α
的值为(..) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案.C
解析.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α.
∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)2
2＝－1
8，
∴tan α＋
1
tan α
＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ等于(..) A.－4
3
B.54
C.－34
D.45
答案.D
解析.sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ
＝sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2
θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝4
5.
7.已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x
cos x 等于(..)
A.12
B.－12
C.2
D.－2
答案.B
解析.利用1－sin 2x ＝cos 2
x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12.
二、填空题
8.已知sin α＋2cos α
cos α＝1，则α在第 象限.
答案.二或四
解析.sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，
tan α＝－1＜0，
∴α在第二或第四象限.
9.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
102，则tan α＝ . 答案. 3或－13
解析.因为sin α＋2cos α＝
102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，
故tan α＝sin αcos α＝－13
或3. 10.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝ .
答案.π3
解析.由题意知cos A >0，即A 为锐角. 将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .
∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12
或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3
. 11.若sin θ＝－
22，tan θ>0，则cos θ＝ . 答案.－
22 12.已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4
，则cos α－sin α＝ . 答案.－32
解析.因为π<α<5π4
， 所以cos α<0，sin α<0.
利用三角函数线知，cos α cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2 ＝－ 1－2×18＝－32 . 三、解答题 13.已知tan α＝－12，求1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值. 解.原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12 －1＝－13. 四、探究与拓展 14.若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为 . 答案.1 解析.∵sin α＋cos α＝1， ∴(sin α＋cos α)2＝1， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0. 当sin α＝0时，cos α＝1， 此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1， 也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 15.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值； (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ )； (3)方程的两根及此时θ的值. 解.(1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋12， ① sin θ·cos θ＝m . ② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32 ， 所以sin θ·cos θ＝34 ， 代入②得m ＝34 . (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12 . (3)由(1)得m ＝34 ，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝1 2或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32. 又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π 6. M 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.掌握同角的三种三角函数式之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法; 3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力; 4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. 学习过程 一、复习导入 1. 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x,y)，那么由三角函数的定义可知： 2. 图中的三角函数线是： 正弦线 正弦线 正弦线 二、提出问题，自主学习 1.sin α,cos α,tan α之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗? =αcos = αtan = αsin ； )0,1(A T O x y α P （ x , 2.设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x和y之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗? 三、自主探究 同角三角函数的基本关系式: 1.平方关系: 2.商的关系: 同角三角函数的基本关系式的变形: 四、小组合作，探究学习 α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 例4、求证: . 五、课堂小结 六、达标检测 1、sin 22014+cos 22014等于( ) A 、1 B 、2 C 、2014 D 、不能确定 ( ) 的值为是第四象限角，则、已知αααtan ,43 sin 2-= αααα ααααcos sin 2sin 1 )2(cos 5sin 2cos 2sin ) 1(, 4tan 32 ++-=求、已知 . s i n c o s ,23,3t a n 4的值求、已知ααπαπα-<<= . c o s ,s i n ,43 t a n 5的值求、已知ααα-= 773-、C 47-、D 4 7 、B 773、A 高中数学 同角三角函数的基本关系学案 新人教A 版必修4 【学习目标】 1、 理解同角三角函数的基本关系式， 2、 能够利用同角三角函数的基本关系式求值； 3、 能够利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式 的化简和三角恒等式的证明 【重点难点】 1、 理解同角三角函数基本关系： 1cos sin 22=+αα，αα αtan cos sin =． 2、 能正确运用上述关系进行化简、求值、证明． 【学习内容】 问题情境导学 【实例】 （1）10190cos 90sin 2222=+=+?? （2）1)2 3()21 (30cos 30sin 222=+=+?? （3）?? 60 cos 60sin 与?60tan 相等吗？ （4）??135 cos 135sin 与?135tan 相等吗？ 【想一想】结合上述四例的结果，猜想?5cos 5sin 22=+??， ?10cos 10sin =? ? 一般地，应有怎样的结论？能用三角函数定义证明吗? 【填一填】(1)平方关系：___________； (2)商数关系：___________． 【思考】(1)同角三角函数的基本关系中，角α是否是任意角？ (2)如何理解同角三角函数基本关系中的“同角”？ (3)同角三角函数基本关系有哪些变形形式? 课堂互动探究 【类型一】已知角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例１、已知53 cos -=α，求αsin ，αtan 的值． 变式训练１－１：已知πα(∈，）２３ π，2tan =α，则=αcos 【类型二】三角函数式的化简 例2、求证x x x x cos sin 1 sin 1cos +=-． 1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 1.2.2同角三角函数的基本关系教学设计 教学目标： 1. 知识与技能： （1）根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系； （2）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧； （3）运用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和三角恒等式的证明。 2. 过程与方法： 掌握几种同脚三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角函数关系的简单变形，提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观： 通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想。 重点：同角三角函数之间的基本关系，化简与证明； 难点：化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。 教学过程： 一、问题导学 1. 单位圆中任意角的三角函数是怎样定义的？ sinα=______; cosα=______; tanα=______. αα和tanα之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？ 2. sin,cos 3. 设(,) sinα和cosα之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？ 二、探讨新知 1. 同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：______________________________; （2）商数关系：______________________________. 语言描述：________________________________________________________________. 2. 公式变形： （1）对于平方关系, 可作哪些变形？ （2）对于商数关系, 可作哪些变形？ 三、应用示例 <1> 三角函数式求值： 例1. 已知3 sin ,5α=- 求cos ,tan αα的值. 变式训练： 已知α为第四象限角, 3 sin ,5α=- 求cos ,tan αα的值. 练习： 1. 已知5 cos ,13α=- 求sin ,tan αα的值. 2. 已知tan 2,α= 求sin ,cos .αα 1.2.2 同角三角函数的基本关系 自主学习 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________. (2)商数关系：____________________. 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝__________；cos 2α＝__________； (sin α＋cos α)2＝__________； (sin α－cos α)2＝____________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝____________. (2)tan α＝sin αcos α 的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________. 自主探究 1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系． 2．已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α ； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12 cos 2α. 对点讲练 知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值 例1 已知cos α＝－817 ，求sin α、tan α. 回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用． 变式训练1 已知tan α＝43 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简 例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α. 回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解． 变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α . 知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式 例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α . 回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简． 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． 常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证． 常用技巧：切化弦、整体代换． 变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x . 一、教学目标： 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法. 2、过程与方法 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3、情态与价值 通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点 重点：公式1cos sin 22=+αα及αα αtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 2 2=+αα及αα αtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想 【创设情境】 教学设计 一、教学目标 1、知识与技能目标 （1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式； （2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。 2、过程与方法目标 （1）牢固掌握同角三角函数基本关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力； （2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想：已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时，进一步树立分类思想：解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上； （3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯。 3、情感、态度、价值观目标 通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理的方法，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。 二、教学重点和难点 教学重点：公式1cos sin 22=+αα和αα αtan cos sin =的推导及其应用 教学重点：同角三角函数的基本关系式的变式应用 三、教学流程 （一）情境引入 “物以类聚，人以群分”研究的“同类”是同一个角的正弦、余弦和正切。由数形结合，从单位圆中三角函数线长度的内在联系，以及任意角三角函数定义引出同角三角函数的基本关系。 （二）探究新知 （1）利用三角函数线，借助勾股定理，得出同角三角函数的两弦之间的关系，即平方关系1cos sin 22=+αα。 （2）探究正弦、余弦、正切之间的关系，即商数关系αα αtan cos sin =。 （三）关系式的应用 （1）判断题深化对公式的理解 （2）例1.已知的值、是第三象限角，求，且ααααtan cos 5 3 -sin = 变式1.解答？，其他条件不变，怎么，换成将54-cos 53-sin ==αα 变式2.件怎么下手？是第三象限角”这个条去掉“α（分类讨论数学思想） 例2. 的值、，求已知ϕϕϕcos sin 3-tan =（学生板演） 例3. 求证：α αααcos sin 1sin -1cos += 学生小组讨论，共同探究尽可能多的证明思路。 解法一：左→右 解法二：右→左 解法三：分析法，与之相对应的是解法四：综合法 解法五：作差 解法六：作商 解法七：左右互化 （四）归纳小结 1、基本关系：平方关系和商数关系 2、求值：先定象限再开方 3、证明三角恒等式：方法很多，转化与化归的数学思想 （五）布置作业 课本习题1.2A 组7、13，B 组1-5题 （六）板书设计 1．２．2同角三角函数的基本关系 一、教学目标： 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；（２)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；（4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式;(5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;(7)掌握恒等式证明的一般方法． ２、过程与方法 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系;学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值;利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. ３、情态与价值 通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析，解决三角问题的能力;进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点 重点：公式1cos sin 22=+αα及αα αtan cos sin =的推导及运用：（１)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个;（2）化简三角函数式；(3)证明简单的三角恒等式. 难点： 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αα αtan cos sin =，并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数 值之间的互相转化. 【探究新知】 1. 探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义 的，你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者 的长构成直角三角形，而且1OP =.由勾股定理由 同角三角函数的基本关系 教学目标 一．知识与技能 1． 同角三角函数的基本关系式. 2． 角α的某一三角函数值,求它的其它三角函数值. 3． 公式的变形、恒等式的证明. 二．过程与方法 1. 借助任意角三角函数的定义和单位圆理解同角三角函数的基本关系. 2. 通过探究和思考,让学生能够灵活掌握并活用公式. 三．情感态度与价值观 1. 通过对同角三角函数关系的推导,培养学生观察、归纳的能力，体会数形结合的思想. 2. 通过关系的应用,使学生养成分析的习惯、提高分析的能力. 3. 通过求值和证明，提高学生恒等变形的能力,树立化归的思想方法. 教学重点 同角三角函数基本关系的发现和应用. 教学难点 同角三角函数基本关系的变用、活用，及恒等式证明的方法. 教学过程 一.提出问题 是否存在同时满足以下三个条件的角α? 二.导入新课 平方关系: 商数关系: 三.问题解决 例1. ,求ααtan ,cos 的值. 练习:1.αααtan ,sin ,13 5cos 求-=的值. 2.2tan =α,求ααcos ,sin 的值. 四.公式的进一步应用 例2.求证 α αααcos sin 1sin 1cos +=- 53sin )1(-=α13 5cos )2(-=α2tan )3(=α1 cos sin 22=+αααααcos sin tan =),2(Z k k ∈+≠ππα53sin - =α 归纳恒等式证明的方法 练习:1.化简： θθtan cos )1(α α22sin 211cos 2)2(-- 2.求证： αααα2 244cos sin cos sin )1(-=- 1cos cos sin sin )2(2224=++αααα 五.小结 1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.发现规律 2.同角三角函数关系的基本关系的应用.规律的应用 (1) 角α的某一三角函数值,求它的其它三角函数值. (2)公式的变形、恒等式的证明. 六.课后思考 利用单位圆中的函数线，讨论一下关系式αα αtan cos sin =的几何意义. 1.2.2同角三角函数的根本关系教学设计 一、教学背景 1.教材分析： 教材是在角的概念推广,利用单位圆中的三角函数线引入三角函数的定义后,展开此节的。正文一开始也就将初中熟悉的直角三角形背景放到单位圆中,表达了这两个工具特殊和一般的关系；公式就只要求掌握平方关系和商的关系,相比老教材更精炼,抓住本质。文中例题和课后习题展示了本节公式在根本求值、证明中和化简中的应用,并表达了公式的多样性变形,课程标准强调了单位圆的工具性,这些都是本课设计的依据。 2.学情分析： 树德中学光华校区平行班学生,初中根底知识一般都掌握得不错,同学们初中就了解本节两个公式在直角三角形背景下的情形,因此可作特殊到一般的推广；但是大局部同学还停留在只习惯关注怎么套公式的初中学习层面,需要在课堂设计时渗透学法指导。 3.基于以上两个背景的课型和教法,学法设计： 针对同学们的初中背景、课本背景设计成课前小翻转课堂：引导同学们应用工具〔直角三角形, 单位圆〕进行公式推导,然后课上展示和分析总结；针对上面提到的同学的学习层面,并受文学欣赏课中“人物性格分析〞的教学方法的启发,本课特别设计成围绕着“对公式和工具特点的分析〞这个核心主线展开,并按照同学们在预习过程中对工具的喜好,分小组对战,解题只是载体。 二、教学目标 1.知识与技能目标：掌握同角三角函数的根本关系式的推导,根本公式和变形,掌握其在下面三个方面的应用：〔1〕一个角的一个三角函数值能求这个角的其它三角函数值；〔2〕会证明简单的三角恒等式；〔3〕会利用公式对三角代数式进行化简。掌握直角三角形和单位圆两个工具。 2.过程与方法：(1)课堂小翻转；(2)围绕“对公式和解题工具特点的分析〞主线展开,题目是载体. 3.情感、态度与价值观：培养学生自学能力和类比迁移能力；通过公式和工具在解题过程中的应用,培养学生分析问题,解决问题,优化问题的能力;并始终渗透哲学观点和学科素养。 三、核心素养表达 教育部于2019年9月发布的中学生六大核心素养,本课多有表达。“翻转〞和以分析比照为主线的设计表达了“科学精神〔批判质疑〕、学会学习、实践创新〞三大核心素养和“自主开展〞这一核心素养中的“乐学善学,勤于反思〞范畴；本课涉及了到哲学,英语,文学等内容,表达了“人文底蕴〞这一核心素养；骑行西藏的引课渗透“健康生活〞这一核心素养。 四、教学重点和难点 1.重点：公式的推导及应用,直角三角形和单位圆〔特别是单位圆〕工具的渗透。 2.难点：同角三角函数根本关系在解题中的灵活选取及公式变形的熟练应用及使用公式时的易错点,如讨论角范围,定符号等。 五、教学过程 1.课前翻转 2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本 关系教学案新人教A 版必修 一、教学目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题） 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝ ，商数关系：tan α＝ . 2．同角三角函数的基本关系式还有几个常见的等价变形 如：sin 2α＝ ，sin α＝ ，cos 2α＝ ，cos α＝ ，sin α＝ ，cos α＝ ，它们在三角函数求值、化简中经常使用． 3．约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都 情况下的恒等式． [自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立，则sin 2α＋cos 2β＝1也成立．( ) (2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．( ) (3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin 2α＋cos 2α＝1也成立．( ) (4)在利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．( ) 2．做一做 (1)已知cos α＝12 ，且角α在第四象限，则sin α＝_______. (2)化简 1－sin 2π5 的结果是________． (3)已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α ＝－5，则tan α＝________. 三、合作探究 1 对于平方关系sin 2α＋cos 2α＝1可作哪些变形？对于商数关系sin αcos α ＝tan α可作哪些变形？ 2 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ及sin θcos θ之间的关系是怎样的？ 题型一 三角函数求值 例1 (1)若sin α＝－45 ，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α 的值． 【跟踪训练1】 (1)本例中的第(1)题把“α是第三象限角”去掉，求cos α，tan α； (2)本例中的第(2)小题在条件不变的情况下，求函数式4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2 α的值． 题型二 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 例2 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15 . (1)求sin A ·cos A ； (2)判断△ABC 是锐角还是钝角三角形． 1．三角函数的概念 重点把握以下两方面内容： ①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确快速进行弧度与角度的换算． ②把握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简洁三角函数的值域． 2．同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1奇妙解题．3．诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记全部诱导公式． 擅长将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培育推理运算力量和规律思维力量的目的．4．三角函数的图象与性质 ππ 5. (1)重点把握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中猎取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质． (2)坚固把握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要擅长运用数形结合思想、分类争辩思想、转化与化归思想，将综合性较强的试题完整精确地进行解答. 题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线 把握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线推断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 例1 求函数y ＝sin x ＋ cos x －1 2 的定义域． 解 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知： ⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， 解得2k π≤x ≤2k π＋π 3 (k ∈Z )， 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 跟踪演练1 设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域； (2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 解 (1)由1－2sin x ≥0，依据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π 6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]， 当x ＝2k π＋3π 2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式 (1)牢记两个基本关系式sin 2 α＋cos 2α＝1及sin α cos α ＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、 证明．在应用中，要留意把握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类争辩思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k ·π 2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中 的奇、偶是指π 2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名 函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 例2 已知2＋tan (θ－π) 1＋tan (2π－θ) ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值． 解 方法一 由已知2＋tan θ 1－tan θ＝－4， ∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2 θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2 θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1 ＝15. 方法二 由已知2＋tan θ 1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2. 即 sin θ cos θ ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝1 5 . 跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1 5. (1)求tan α的值； (2)把 1 cos 2 α－sin 2 α 用 tan α表示出来，并求其值． 解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15 ， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1； ② 由①得cos α＝1 5 － sin α，将其代入②， 同角三角函数的基本关系 学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 学习重点：公式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana 的推导及其应用 学习难点：根据角a 终边所在象限求出其三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式;公式的变式及灵活运用 学习过程： 一 探究新知 1．你还记得任意角的三角函数的定义吗？a 为一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ﹙x,y ﹚：则sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝ 2．你记得单位圆中的三角函数线吗？sina ＝ ；cosa ＝ ；tana ＝ 探究：①sin 2300+cos 2300 ＝ ，sin 30︒= ，tan300 ＝ ；②sin 2450+cos 2450＝ ， 2a 4cos -5a =时3tan 4 a = 变式 ：已知a 是三角形的内角，且sina ＋cosa ＝1／5，求tana 的值 解：由已知得1cos sin 5a a =-，代入22sin cos 1a a +=整理得：2112sin sin 0525 a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或.因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555 a a =-,所以4tan -3 a = “知一求二”不但指sina ，cosa ，tan 三者中知一可求二,还指知道一个关于sina ，cosa ，tana 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值. 考点2.弦切转化 1．2.2 同角三角函数的基本关系 [提出问题] 设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，根据三角函数的定义知y ＝sin α，x ＝cos α， y x ＝tan α. 问题1：能否根据x ，y 的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ 提示：能，由x 2 ＋y 2 ＝1，得cos 2 α＋sin 2 α＝1. 由y x ＝tan α，得sin αcos α ＝tan α. 问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？ 提示：对使三角函数有意义的任意角都成立． [导入新知] 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α其 中α≠k π＋π 2 (k ∈Z)． [化解疑难] “同角”的含义 “同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 2 3α＋cos 2 3α＝1等． [例1] (1)已知sin α＝13，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2α＝1－sin 2 α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5132，又因为α是第二象限角，所以cos α<0， cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－12 5 . (2)sin 2α＝1－cos 2 α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫352， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 . [类题通法] 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2 α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2 α＋ cos 2 α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m 2 ，sin α＝±m 1＋m 2 的值． [活学活用] 已知tan α＝4 3，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 答案：sin α＝－45；cos α＝－3 5 [例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)4sin α－cos α 3sin α＋5cos α ； (2)sin 2 α－2sin α·cos α－cos 2 α4cos 2α－3sin 2 α； (3)34sin 2 α＋12 cos 2α. [解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114 ； 班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒ 温馨寄语 在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。——哈菲兹学习目标 1．理解同角三角函数的基本关系. 2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式. 学习重点 同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明 学习难点 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明 自主学习 同角三角函数的基本关系 平方关系： .商的关系：.tanα= 预习评价 1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝. 2．化简：= . 3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = . ♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒ 合作探究 1．同角三角函数基本关系 设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题： (1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式. (2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？ 2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？ 教师点拨 对同角三角函数基本关系的三点说明 (1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1. (2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如 . (3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即 交流展示——利用基本关系求值 1．已知( ) A. B. C. D. 2．已知，则等于 1.2.2 同角三角函数的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养. 2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力. 1．平方关系 (1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. (3)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. 思考：对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？ [提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关． 2．商数关系 (1)公式：sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． (3)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α(α≠k π＋π2，k ∈Z )；cos α＝sin α tan α⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α≠k π2，k ∈Z . 1．化简 1－sin 2π 5的结果是( ) A ．cos π 5 B ．－cos π 5 C ．sin π5 D ．－sin π 5 A [ 1－sin 2π 5＝ cos 2π 5＝⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ cos π5＝cos π5.] 2．若sin α＝4 5，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．± 34 D ．± 43 A [∵sin α＝4 5且α是第二象限角，∴cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 452 ＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.] 3．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛ ⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是 ． －55 [由tan α＝12得sin αcos α＝1 2， 即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1， ∴sin α＝±55，又∵α∈⎝ ⎛ ⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－55.] 4．已知sin α＋cos α sin α－cos α＝2，则sin αcos α的值为 ． 3 10 [由已知得tan α＋1tan α－1＝2， 解得tan α＝3， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2 α＋1＝332＋1 ＝3 10.] 知一求二 【例1】 (1)已知α∈⎝ ⎛ ⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝ . (2)已知cos α＝－8 17，求sin α，tan α的值． 思路点拨：(1)根据tan α＝2和sin 2α＋cos 2α＝1列方程组求cos α. (2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α. 1.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)． 知识点 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式： sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α． (2)tan α＝sin α cos α 的变形公式： sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin α tan α． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2 α＋cos 2 β＝1.( ) (2)sin 2θ2＋cos 2θ 2 ＝1.( ) (3)对任意的角α，都有tan α＝sin α cos α 成立．( ) 提示 (1)× 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2 α＋cos 2 α＝1． (2)√ 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ 2＝1． (3)× 当α＝π 2 ＋k π，k ∈Z 时就不成立． 题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 【例1】 (1)若sin α＝－5 13 ，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) A ．125 B ．－125 C ．512 D ．－512 解析 ∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin2α＝－12 13， ∴tan α＝sin αcos α＝5 12． 答案 C (2)已知sin α＋cos α＝ 7 13 ，α∈(0，π)，则tan α＝________． 解析 ∵sin α＋cos α＝ 713，∴(sin α＋cos α)2 ＝49169 ， 即2sin αcos α＝－120 169 <0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(π 2，π)， 故sin α－cos α＝ α＋cos α －4sin αcos α＝17 13 ， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－12 5． 答案 －12 5 规律方法 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 【训练1】 已知cos α＝－8 17，求sin α，tan α的值． 解 ∵cos α＝－8 17<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)当α是第二象限角时，则同角三角函数的基本关系导学案
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