北大附中高考数学专题复习简单几何体

学科：数学

教学内容：简单几何体

【考点梳理】 一、考试内容

1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。 2．球。

3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。 二、考试要求

1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。

掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。 3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。 对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。

三、考点简析 1．棱柱

2．棱锥

正棱锥是底面正多边形的中心

顶点在底面上的射影

棱锥-

---

--

3．棱柱、棱锥的侧面积与体积

S 正棱柱侧=C h ′ S 正棱锥侧=

21C h ′ V 柱体=S h ′ V 锥体=3

1

S h ′ 4．球

S 球=4πR 2 V 球=

3

4

πR 3

四、思想方法

1．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。

2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。

3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。 正棱锥：S 底=S 侧cos α

4．多面体中表面上两点的最短距离。

多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。

5．关于组合体体积的计算问题。

有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。

因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。 6．关于等积变换问题。

等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。

若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。

用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。

异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。 用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。

【例题解析】

例1 如图8－1，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=30°，侧面A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点。

（1）求证：EF ∥侧面A 1ACC 1；

（2）求四棱锥A ——B 1BCC 1的体积；

（3）求EF 与侧面A 1ABB 1所成角的大小。

（1）连结A 1B 、A 1C

∵A 1ABB 1是菱形，且E 是AB 1的中点， ∴E 是A 1B 的中点。 又F 是BC 的中点， ∴EF ∥A 1C 。

又A 1C 平面A 1ACC 1，

EF ?平面A 1ACC 1， ∴EF ∥面A 1ACC 1。

（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，交线为AB ，

∴在平面A 1ABB 1内，过A 1作A 1O ⊥AB 于O ，则A 1O ⊥平面ABC ，且h =A 1O=

2

3a ， 又∵AC ⊥CB ，∠ABC=30°，∴a a,AC C,BC B AC S S C B ΔA 2

12321111==??==， ∴V A —C 1CBB 1 =V 柱－V A —A 1B 1C 1 =S h －

31S h =32S h =32·2

1

·AC ·BC ·A 1O =

32·21·21a ·23 a ·23a =8

1a 3

（3）在平面ABC 内，过F 作FH ⊥AB 于H ，则FH ⊥侧面A 1ABB 1。

连结EH ，则∠HEF 为EF 与侧面A 1ABB 1所成的角。 ∵在Rt △FHB 中，FH=

21BF=83a ,BH=8

3a ；

在△HEB 中，HE=BA A BH BE BH BE 12

2

cos 2)()(∠???-+

=????

-+60cos 8

3

212)8

3()2

1

(2

2

a a a a

=

8

13a ， ∴在Rt △EHF 中，tan ∠HEF=

HE HF =13

39, ∴∠HEF=arctan

13

39。

例2 如图8－3，三棱锥P —ABC 中，△ABC 是正三角形，∠PCA=90°，D 为PA 的中点，二面角P —AC —B 为120°，PC=2，AB=23。

（1）求证：AC ⊥BD ；

（2）求BD 与底面ABC 所成的角（用反正弦表示）； （3）求三棱锥P —ABC 的体积。

解 （1）如图8－4，取AC 中点E ，连DE 、BE ，则DE ∥PC ，∵PC ⊥AC ，∴DE ⊥AC 。

∵△ABC 是正三角形，∴BE ⊥AC 。

又DE 平面DEB ，BE 平面DEB ，DE ∩BE=E ，∴AC ⊥平面DEB 。 ∵DB 平面DEB ，∴AC ⊥DB 。

（2）法一：∵AC ⊥平面DEB ，AC 底面ABC ，∴平面DEB ⊥底面ABC ，∴EB 是DB 在底面ABC 内的射影，∠DBE 是BD 与底面ABC 所成的角。

又∵DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠DEB 即为二面角P —AC —B 的平面角。

在△DEB 中，∵DE=

2

1

PC=1，BE=23AB=3，

∴由余弦定理，得 BD 2=12+32 – 2×1×3cos120°=13，BD=13，

∴由正弦定理，得

DBE

∠sin 1

=?120sin 13，

解得sin ∠DBE=

2639，即BD 与底面ABC 所成的角为arcsin 26

39。 法二：∵AC ⊥平面DEB ，AC 平面ABC 。∴平面DEB ⊥平面ABC ，作DF ⊥平面ABC ，F 为垂足，则F 在BE 的延长线上，∠DBF 是BD 与平面ABC 所成的角。∵DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠DEB 是二面角P —AC —B 的平面角。在Rt △DBF 中，DE=

2

1

PC=1，BE=23AB=3，

∠DEB=120°，∠DEF=60°，DF=

2

3

。 ∴在△DEB 中，由余弦定理得BD=13，

∴sin ∠DBF=

DB

DF =2639，故BD 与底面ABC 所成的角为arcsin 2639。 （3）∵AC ⊥平面DEB ，AC 平面PAC ，

∴平面DEB ⊥平面PAC ，∴过点B 作平面PAC 的垂线段BG ，垂足G 在DE 的延长线

上。

∵在Rt △BEG 中，∠BEG=60°，BE=3，∴BG=

2

3

3， ∴V P —ABC =V B —PAC =

31S △PAC ×BG=3

1×2322 ×233=3。

例3 如图8－5，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P —ABC 的体积。

分析：思路一直接求三棱锥P —ABC 的体积比较困难。考虑到DE 是棱PA 和BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P —EBC 和A —EBC ，利用PA ⊥截面EBC ，且△EBC 的面积易求，从而体积可求。

解 如图8—5—1，连结BE ，CE 。∵DE 是PA 、BC 的公垂线，∴PA ⊥DE 。又PA ⊥

BC ，∴PA ⊥截面EBC 。∴V P —EBC =

31S △EBC ·PE ，V A —EBC =3

1

S △EBC ·AE 。∵DE ⊥BC ，∴S △EBC =21BC ·DE=21lh ,∴V P —ABC =V P —EBC +V A —EBC =31S △EBC ·（PE+AE ）=31PA ·S △EBC =6

1l 2h 。

注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面△EBC ，而高的和恰为PA ，因而计算简便。

思路二 本题也可用补形法求解。

解 如图8－5－2，将△ABC 补成平行四边形ABCD ，连结PD ，则PA ⊥AD ，且BC ∥平面PAD ，故C 到平面PAD 的距离即为BC 和平面PAD 的距离。

∵MN ⊥PA ，又MN ⊥BC ，BC ∥AD ，∴MN ⊥AD ， MN ⊥平面PAD 。

故 V P —ABC =V P —ADC =V C —PAD =

31S △PAD ·MN=31（21·PA ·AD ）·MN=6

1l 2h 。 注 本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，

以达到求体积的目的。

本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？

例4 如图8－6，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且PD=a , PA=PC=2a 。

（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线PB 与AC 所成的角； （3）求二面角A —PB —D 的大小；

（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。

解 （1）PC=2a ，PD=DC=a ,

∴△PDC 是Rt △， 且PD ⊥DC 。 同理，PD ⊥AD 。

而AD ∩DC=D ，∴PD ⊥平面ABCD 。

（2）如图8－7，连BD ，∵ABCD 是正方形，

∴BD ⊥AC 。

又∵PD ⊥平面ABCD 。

∴BD 是PB 在平面ABCD 上的射影。 由三垂线定理，得PB ⊥AC 。 ∴PB 与AC 成90°角。

（3）设AC ∩BD=O ，作AE ⊥PB 于E ，连OE 。 ∵AC ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD 。 ∴PD ⊥AC 。

而PD ∩BD=D ，∴AC ⊥平面PDB ， 则OE 是AE 在平面PDB 上的射影。 由三垂线定理逆定理知OE ⊥PB ，

∴∠AEO 是二面角A —PB —D 的平面角。 ∵PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥AB 。∴PA ⊥AB 。 在

Rt △PAB

中，AE ·PB=PA ·AB 。又

AB= a ，AP=

2a ，

PB=2

22AB AD PD ++=3a ，

∴AE=

3

2a 。 又AO=

2

2a ∴sin ∠AEO=

AE AO =2

3,∠AEO=60° ∴二面角A —PB —D 的大小为60°。

（4）设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S ，连SA 、SB 、SC 、SD 、SP ，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为R 。

由体积关系，得

V P —ABCD =

3

1

R （S △PDC + S △PDA + S △PBC + S △PAB + S 正方形ABCD ） =3

1

R （22a +22a +22a 2+22a 2 + a 2）。

又∵3

3

1a V ABCD P =-， ∴31R(2a 2+2a 2)= 3

1a 3 ∴R=

2

2+a =

a 2

2

2-。 例5 如图8－8，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。求：

（1）二面角C —EB —O 1的正切值；

（2）异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值； （3）三棱锥O 1—BEF 的体积。

解 如图8—9，（1）取上底面的中心O ， OG ⊥EB 于G ，连OO 1和GO 1。由长方体的性质得OO 1⊥平面ABCD ，则由三垂线定理得O 1G ⊥EB ，

则∠OGO 1为二面角C —EB —O 1的平面角。由已知可求得EB=2

242+=25。

利用△ABE ∽△GEO （图8－10），可求得OG=

5

2。

在Rt △O 1OG 中，tan ∠O 1GO=

OG

OO 1

=45。 （2）在B 1C 1上取点H ，使B 1H=1，连O 1H 和FH 。 易证明O 1H ∥EB ，则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O 所成角。 又O 1H=

2

1

BE=5，HF=2243+=5， O 1F=2

22422++=26，

∴在△O 1HF 中，由余弦定理，得 cos ∠FO 1H=

6

25225524??-+=

30

30

（3）连HB ，HE ，由O 1H ∥EB ，得O 1H ∥平面BEF 。 ∴V O

1

——BEF

=V H —BEF = V E —BHF =

3

1

·S △BHF ·AB ∵S △BHF =32－

21

（1×8+3×4+4×4）=14 1O V ∴——BEF =31×14×4=

3

56

例6 如图8－12，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

解 如图8－12，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d 。在三棱锥P —ABC 中，

∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,

∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′。

由正弦定理，得

?60sin 2a =2r,∴r=3

6

a 。

又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，

∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +。又PO ′=2

2r PA -=2

2

32a a -

=3

3a ， ∴OO ′=R －

3

3a =d=2

2r R -,(R －

3

3a )2=R 2 – (

3

6a )2

，解得R=23a ,

∴S 球=4πR 2=3πa 2。

注 本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=

2

3

a ,下略。

例7 如图8－13所示，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角为arccos

10

10

，求四面体ABCD 的体积。

解 如图8－14，过A 引BE 的平行线，交CB 的延长线于F ，则∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角。

∴∠DAF=arccos

10

10 ∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，且BF=AB=2。∵AB ⊥BC=2 2=BE

∴AF=2BE=22

∴DF=DA ，∵DB ⊥BA ，DB ⊥BF ，BF=BA ， 则三角形ADF 是等腰三角形， AD=

2AF ·DAF

∠cos 1=20，BD=2

2AB AD -=4

故四面体V ABCD =

61AB ×BC ×BD=38，因此四面体ABCD 的体积是3

8。

例8 如图8－15，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

解 （1）如图8－16，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ，

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ，

从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos 3

π

=3×21=23

∴AO=AMsec

4π=22

3

。又在Rt △AOA 1中， A 1O 2=AA 12 – AO 2=9 －

29=2

9

,∴A 1O=223，

∴平行六面体的体积V=5×4×

2

2

3=302。

例9 如图8－17，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成角为45°，AB=a 。

（1）求截面EAC 的面积；

（2）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； （3）求三棱锥B 1—EAC 的体积。

（1999年全国高考试题）

解 （1）如图8－18，连结DB 交AC 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴DO ⊥AC 。又∵ED ⊥底面AC ，∴EO ⊥AC 。∴∠EOD 就是面EAC 与底面AC 所成的二面角的平面角，∠EOD=45°。

又DO=

22a , AC=2a , EO=22a sec45°=a ,故S △EAC =2

2a 2。 （2）由题设ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，得A 1A ⊥底面AC ，A 1A ⊥AC 。又A 1A ⊥

A 1

B 1，∴A 1A 是异面直线A 1B 1与A

C 之间的公垂线。∵

D 1B ∥面EAC ，且面D 1BD 与面EAC 交线为EO ，∴D 1B ∥EO 。又O 是DB 的中点，∴

E 是D 1D 的中点，D 1B=2EO=2a 。∴D 1D=221DB B D -=2a ，即异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a 。

（3）法一：如图8－18，连结D 1B ，∵D 1D=DB=2a ,∴四边形BDD 1B 1是正方形。连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q 。∵B 1D ⊥D 1B ，EO ∥D 1B ，∴B 1D ⊥EO 。又AC ⊥EO ，AC ⊥ED ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，∴B 1D ⊥AC ，∴B 1D ⊥面EAC 。则B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高。由DQ=PQ 得B 1Q=

43 B 1D=23a ,∴EAC B V -1=31

·22a 2·2

3a =42a 3。

所以三棱锥B 1—EAC 的体积是

4

2a 3

。

法二：连结B 1O ，则112EOB A EAC B V V --=∵AO ⊥面BDD 1B 1，∴AO 是三棱锥A —EOB 1

的高，且AO=

2

2

a 。在正方形BDD 1B 1中，E 、O 分别是D 1D 、DB 的中点（如图8－19），则1

EOB S △=

43a 2。EAC -1B V =2×31×4

3

a 2×22a =42a 3。所以三棱锥B 1—EAC 的体积是

4

2a 3

。

例10 如图8－20，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点。 （1）证明AD ⊥D 1F ；

（2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1；

（4）设AA 1=2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积1

1ED A F V -。

（1997年全国高考数学试题）

解 （1）∵多面体AC 1是正方体，∴AD ⊥面DC 1。又D 1F 面DC 1，∴AD ⊥D 1F 。 （2）如图8－21，取AB 的中点G ，连结A 1G ，FG 。因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是 AE 与D 1F 所成的角。因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE,∠GA 1A=∠GAH ，从而∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角。

（3）由（1）知AD ⊥D 1F ，由（2）知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE=A ，所以D 1F ⊥面AED 。又因为D 1F 面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1。

（4）连结EG ，GD 1，∵FG ∥A 1D 1，∴FG ∥面A 1ED 1，∴体积,111

1

1

1

GE

A D

ED A G ED A F V V V ---==

∵AA 1=2，∴GE A S 1?=23。∴GE A D ED A F V V 111--==31×A 1D 1×GE A S 1?=31×2×2

3

=1。