高中数学-曲线与方程精讲精练

1．曲线与方程的概念

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的________；（2）以这个方程的________为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做________；这条曲线叫做________． 2．坐标法

借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的________，用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这就是坐标法．

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：

（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般步骤

求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =；（3）用坐标表示条件________，列出方程(,)0f x y =；（4）化方程(,)0f x y =为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．

K 知识参考答案：

1．解解曲线的方程方程的曲线

2．集合或轨迹

3．p (M )

K—重点曲线与方程的概念、坐标法 K—难点求曲线的方程步骤及常用方法 K—易错

混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误

1．点与方程表示的曲线的位置关系的判断

如果曲线C 的方程是(,)0f x y =，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是

00(,)0f x y =．

它可用于判定点是否在曲线上：如果点的坐标满足曲线方程，则说明点在曲线上，否则说明点不在曲线上．

【例1】（1）已知方程x 2＋y 2－2y －3＝0，判断点A (2，1)，B (1，3)是否在此方程表示的曲线上；

（2）若点C (m ＋2，m )在方程(x －2)2＋y 2＝18表示的曲线上，求实数m 的值；（3）若方程x 2＋xy －ny ＋6＝0表示的曲线经过点(2，5)，求n 的值．【解析】（1）因为22＋12－2×1－3＝0，12＋32－2×3－3＝1≠0，所以点A (2，1)在方程x 2＋y 2－2y －3＝0表示的曲线上；点B (1，3)不在方程x 2＋y 2－2y －3＝0表示的曲线上．

（2）因为点C (m ＋2，m )在方程(x －2)2＋y 2＝18表示的曲线上，所以(m ＋2－2)2＋m 2＝18，即2m 2＝18，即m 2＝9，解得m ＝－3或3．（3）因为方程x 2＋xy －ny ＋6＝0表示的曲线经过点(2，5)，所以22＋2×5－5n ＋6＝0，解得n ＝4．

【名师点睛】判断点与曲线的位置关系需从曲线与方程的定义入手：

（1）要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；（2）若所给点在已知曲线上，则点的坐标满足已知曲线的方程，由此可求参数的值． 2．判断曲线与方程的关系及曲线类型

曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．

【例2】（1）判断过点(2，1)且平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系；（2）判断命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是21y x =-”是否正确；（3）求方程(x －y )x ＝0所表示的曲线．

【解析】（1）过点(2，1)且平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系只具备定义中的条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 只是方程|x |＝1所表示图形的一部分．（2）不正确．

设(x 0，y 0)是方程21y x =-的解，则2

001y x =-，即22001x y +=．

两边同开平方取算术平方根，得22001x y +=，即点(x 0，y 0)到原点的距离等于1，

点(x 0，y 0)是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

但是，易知以坐标原点为圆心，半径为1的圆上一点(0，－1)，却不是21y x =-的解，所以命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是21y x =-”不正确．

（3）根据题意可得00x y x -=??>?

或0x =，即0(0)x y x -=>或0x =，

故原方程表示的是射线0(0)x y x -=>和直线0x =．

【名师点睛】判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，化为我们熟悉的形式后根据方程的特征进行判断．变形过程一定要注意原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线，另外，变形的方法有配方法、因式分解等． 3．求曲线的方程求曲线方程的常用方法：

方法一直接法．根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x ，y )的横纵坐标x ，y 满足的关系式，从而得到曲线方程．这是求曲线方程最基本的方法．

方法二定义法．若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程．

方法三代入法（即相关点法）．若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程．

【例3】（1）已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，过原点O作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程；

（2）已知在Rt ABC

△中，|BC|＝6，求直角顶点A的轨迹方程．

【解析】（1）方法一(直接法) 如图1，连接CQ，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°．设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋(x－2)2＋y2]＝4，

所以中点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．

方法二(定义法) 如图2所示，连接CQ，

因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则点Q在以OC为直径的圆上，

故点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．

方法三(代入法) 设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得

，即1

x x

y y

，

又(x1－2)2＋y12＝4，所以(2x－2)2＋4y2＝4，即(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．

图1图2图3

（2）以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则有B(－3，0)，C(3，0)，设顶点A(x，y)．

方法一由ABC

△是直角三角形可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝62，化简得x2＋y2＝9．

依题意可知，3

x≠±．

故所求直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9 (3

x≠±)．

方法二由ABC

△是直角三角形可知AC⊥BC，所以1

AB AC

k k?=-，则

1(3)33

y y x x x ?=-≠±+-，化简得直角顶点A 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9 (3x ≠±)．

方法三由ABC △是直角三角形可知|OC |＝|OA |＝|OB |，且点A 与点B ，C 不重合，所以x 2＋y 2＝32(3x ≠±)，所以直角顶点A 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9 (3x ≠±)．

【名师点睛】（1）求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程，一般步骤为：建系、设点、列式、化简、检验；（2）求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；（3）由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．

4．混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误

【例4】如图，已知点0(1

)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

，求动点P 的轨迹．

【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，

由QP QF FP FQ ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．

【正解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，

由QP QF FP FQ ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．

故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．

【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．

1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是

A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上

B ．方程f (x ，y )＝0是曲线

C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C

D ．以上说法都正确

2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点

D ．四个点

3．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足|||AC BC =，则点C 的轨

迹方程为

A ．22610x y x +++＝

B ．22610x y x +-+＝

C ．2

103x y x +-

D ．2

103

x y x ++

+= 4．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是

5．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是 A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤-

D ． 0(||1)y x =≥

6．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是 A ．两个点

B ．四个点

C ．两条直线

D ．四条直线

7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ?=u u u r u u u r

，则动点P

的轨迹方程为______________．

8．已知两曲线的方程为C 1：2550x y -+=，C 2：10

y x

=-，判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标，若无交点，说明理由．

9．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是

A ．y x = 与y

B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0

C ．1

y x

与 1xy = D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x 10．曲线2

y x =

与225x y +=的交点坐标是 A ．(2，1)

B ．(±2，1)

C ．(2，1)或(5)

D ．(±2，1)或(±5)

11．方程22693940x xy y x y ++++-=表示的图形是 A ．两条重合的直线 B ．两条互相平行的直线 C ．两条相交的直线

D ．两条互相垂直的直线

12．已知log 2x ，log 2y ，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹大致为

13．方程(20x y -+=表示的曲线是 A ．一个点与一条直线 B ．两条射线与一个圆

C ．两个点

D ．两个点、一条直线与一个圆

14．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________．

15．已知A 、B 分别是直线3y x =

和3

y x =-上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．

16．(北京理)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；

②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于2

a ．其中，所有正确结论的序号是______________．

17．(四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为22

(

P'x y +

22)x

x y

-+；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点A 的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A ． ②单位圆上的“伴随点”还在单位圆上．

③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称． ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是______________．

18．(新课标I)已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；

（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．

1．C 【解析】曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此C 正确．故选C ．

2．B 【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)(y －2)＝0，所以x ＋2＝0 或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．故选B ．

3．B 【解析】设点C (x ，y )，则由题得(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2

－6x ＋1＝0．故选B ．

4．B 【解析】由x ＋|y －1|＝0，可知x ≤0，故选B ．

5．C 【解析】由题意可知，|AB |＝2，则点M 的轨迹方程为射线1)0(y x =≤-．故选C ． 6．B 【解析】由方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0?x 2－4＝0且y 2－4＝0，即x ＝±2且y ＝±2，因此方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示 (2，2)，(2，－2)，(－2，2)，(－2，－2) 四个点，故选B ．

7．240x y +-= 【解析】根据4OP OA ?=u u u r u u u r

，可得(x ，y )·(1，2)＝4，即x ＋2y ＝4．故填

240x y +-=．

8．【解析】由方程组255010

x y y x -+=??

?=-??

①

②消去y 得225500x x ++= ③，因为2542500?=-??<，所以方程③无实数解，从而方程组无实数解，因此曲线C 1：2550x y -+=与C 2：10

y x

=-无交点． 9．C 【解析】易知A 中解析式y ＝x

与||y x =

=不同；对于B ，(x －1)2＋(y ＋2)2＝0

与(x －1)(y ＋2)＝0，前者表示点(1，2)，后者表示两条直线x ＝1，y ＝－2；对于D ，方程

2lg 2lg ||(0)y x x x ==≠与y ＝2lg x (x ＞0)不是同一曲线，C 中两方程表示的是同一曲

线，故选C ．

10． B 【解析】将24x y =代入225x y +=，得2450y y +-=，即(5)(1)0y y +-=，解得5y =-或1y =，由于5y =-不符合题意，应舍去，所以1y =，则24x =，解得

2x =±．故曲线2

y x =

与225x y +=的交点坐标是(±2，1)，故选B ． 11．B 【解析】方程可化为()()34310x y x y +++-=，即340x y ++=或31x y +-0=，所以原方程表示的图形是直线340x y ++=和310x y +-=，这是两条互相平行的直线．故选B ．

12．A 【解析】由log 2x ，log 2y ，2成等差数列，可得222log log 2y x =+，

即22222log log log 4log 4y x x =+=，所以2

4y x =(x ＞0，y ＞0)，故选A ．

13．B 【解析】原方程等价于2210x y +-=，即x 2＋y 2＝1，或22

220

x y x y -+=??

+-≥?，故选B ．

14．x ＋2y ＋1＝0(1x ≠) 【解析】由题意可知另一顶点A 在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为(1，－1)，边BC 所在直线的斜率13

220

BC k +=-=，∴边BC 的垂直平分线的斜率k ＝12-

，垂直平分线的方程为y ＋1＝1

-(x －1)，即x ＋2y ＋1＝0．又顶点A 不在边BC 上，∴1x ≠，故顶点A 的轨迹方程是x ＋2y ＋1＝0(1x ≠)．

15．【解析】设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴12122

x x x y y y +?

=???+?=??．

∵A 、B

分别是直线y x =

和y x =

上的点，∴11y x =

，22y =

，∴12123x x y y x ?-=??-=??

．

又线段AB

的长为22

1212)(12()x x y y -+-=，

∴2

2412123y x +=，即22

19x y +=，∴动点P 的轨迹C 的方程为2219

x y +=．

16．②③ 【解析】因为原点O 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积是1，而a ＞1，

所以曲线C 不过原点，即①错误；

因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为122P 1212121||||11sin 222F F S PF PF F PF PF PF a ≤==

△∠，即面积不大于21

a ，所以③正确．故填②③．

17．②③ 【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为1

1(,)2

P '-，而11(,)2

P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；

对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为仍在单位

圆上，故②正确；对于③，设曲线

关于轴对称，则

与曲线

表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同

一曲线，又伴随曲线分别为与的图象

关于轴对称，所以③正确；对于④，在直线

上取三个点：，，，

得其伴随点分别为，

，

，显然这三个点不在一条直线上，故④错

误．所以真命题为②③． 18．【解析】（1）圆C 的方程可化为

，所以圆心为C (0，4)，半径为4．

设M (x ，y )，则(,)4CM x y =-u u u u r ，2(),2MP x y =--u u u r

．

由题设知0CM MP ?=u u u u r u u u r

，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22

1(3))(2x y -+-=．

由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22

1(3))(2x y -+-=．

（2）由（1）可知M 的轨迹是以点N (1，3)为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为1

3-，故直线l 的方程为1833

y x =-

+．又|OM |＝|OP |＝，点O 到直线l 的距离为，|PM |＝，

所以POM △的面积为16

．

高中数学知识点精讲精析不等关系

13.1 不等关系（一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。 5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。（2）当a ＝0时，得等式。（3）当 a ＜0时，得异向不等式。 a b,a b,a b =><

2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有 .不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。 5. 由成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。（三）均值不等式 1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 2. 对于任意正实数a ，b ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 4. 的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直于AB 的弦。若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋ b ，⊙O 的半径， Rt △ACD ∽Rt △BCD ，,。 a b,c d a c b d >>?->- c b d a ->-a a b 0,c d 0d >>>>? >b c d c b a > 或n n a b 0a b (n N,n 1)>>?>∈>n n a b a b (n N,n 1)>?>∈>11a b 0a b >>? <11a b a b >?<11a b a b 11 a b ab 0a b >>? < 且22a b 2ab +≥a b 2+2 a b ab 2+??≤ ? ??a b 2+a b r 2+= 2 CD AC CB ab =?=CD =

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则；，，. (2)当a<0时，若，则，若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。

(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

高中数学精讲精练(新人教A版)第03章三角函数B

2013高中数学精讲精练第三章三角函数B 第5课三角函数的图像和性质（一）【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()3 2 f x x π π ??=+< 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期 T =_________；初相?=__________． 2. 三角方程2sin( 2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．例2.已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；（3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．第3题

高中数学知识点精讲极限和导数

第十二章极限和导数第十四章极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因

变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 = ；（8）.1)'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2 x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤）说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1．计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

高中数学必修五,等差数列题型精讲精练

第七章数列第一节等差数列题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要： ? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． ? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． 2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练： 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30

高中数学-二项式定理精讲精练

高中数学-二项式定理精讲精练 1．二项式定理（1）二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式： 0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L . （2）二项展开式的通项二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第 __________项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质

①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n -=得到. ②增减性与最大值.当12n k +< 时，二项式系数是逐渐增大的；当1 2 n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大. ③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为 _________. K 知识参考答案： 1．（1）n +1C ({0,1,2,,})k n k n ∈L （2）1k + 2．（1）和（2）①相等②2C n n 1122C ,C n n n n -+③2n K —重点二项式定理及二项展开式的通项公式 K —难点用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项. （1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.

初中高中数学定理公式大全(超全)

》初中高中数学定理公式大全（超全） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ~ 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补？ 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 @ 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='．导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

高中数学知识点精讲精析数学符号

3 数学符号 1．数学符号的来历例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。 “＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。 “－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“＝”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十

初中数学学与高中数学的区别

一.初中你可以刷题，运气好你可以刷到和中考很像的题,过程方法老师都帮你总结好了一套模板你就用吧，错不到哪去高中你还想刷到高考的题？基本上没什么可能,固定过程模板套路是没有的，每道题都有区别,方法你得自己总结，它也是因人而异的。必须跳出自己的思维定势你才能在高中活下去二、知识的差异初中数学知识少、浅、难度容易。高中数学知识广，难度大，是对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善——例如函数，将会陆续学到指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，甚至抽象函数等；例如几何，将由初中的平面几何推广到立体几何。 1.抽象与具体的差异——高中知识抽象程度完爆初中！高中学生普遍感到数学公式枯燥难记忆、数学符号抽象难想象、数学习题晦涩难理解，以函数的概念为例，初中的“变量说”是以生活中的事例为依托通过文字的叙述给出的，抽象程度较低，而高中教材采用了抽象程度更高的“函数映射说”通过引进函数符号f(x)，使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明。初高中课本的函数定义的对比：初中的定义：高中的定义：你觉得这样的定义抽象么？而且数学研究对象的抽象性还有逐层递进的特点，如果不能理解抽象程度较低的知识，学习抽象程度较高的知识就会有困难。有一个问题没听懂，后面不懂的就越来越多，致使学生丧失学习的激情，失去学习的兴趣，从而形成数学学习的恶性循环。 2.动态与静态的差异——变才是唯一不变的！在初中阶段往往习惯于“静态”思维，而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高．所以，为了更好地感知高初中数学的区别，我们先复习圆的以下五个定理．从运动的观点看P点，如果我们允许P点可以在一条弦上自由运动，当P点运动到使圆中两弦垂直，且其中一条为直径时，其线段间的关系为定理(1)，若P点运动到圆外，则两弦变成割线，即为定理(3)，若其中一条割线变成切线的位置，即为定理(4) ，若另一条割线也变成切线，则成定理(5)了．尽管它们表述的容不一，但都有△APC∽△DPB这一统一关系式．辩证唯物论告诉我们，一切事物都是运动的．在解高中的有关问题时，要学会运用运动思想，善于处理动与静之间的关系．三、知识学习过程的差异新教材高中数学体现了“螺旋式上升过程”的理念，将同一模块的知识分成片，每一片知识安排在的不同的学时或学年，例如函数，在必修1、必修4、选修2-2，分别是在高一和高二学年学习。这样的学习，要求学生循序渐进的掌握知识，提升能力。但在学习的过程中，在讲授某一知识的进阶容时，学生经常忘记之前的学习的容，这就要求在学习知识的过程中，尤其是第一次的学习时，一定要及时解决问题，不遗留问题，要不断的进行巩固。知识网络较初中知识更加复杂，需要注重知识结构的在联系。四、学习方式的差异 1.学习时间上的差异：初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取同学全面理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九门课学生同时学习），每天至少上六门课，这样分配到各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，而高中数学难度广度又上了一个台阶。时间就像海绵里的水，挤一挤总是会有的——能多挤出时间学习数学，你就可以比他人获得更高的成绩。 2.解题方式的区别：初中学生更多是模仿式的做题，他们模仿老师思维推理或者甚至是机械的记忆，而到了高中，随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察(尤其是全国卷)，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿和机械的训练使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的丰富反对创造精神。高中的试题，往往涉及到的知识点较初中更多，要求对高中数学知识网络之间有着整体的把握，要求对基础知识掌握的牢固，才能产生知识点与知识点之间的连节点。 3.学生自学能力的差异：①可以自学么？初中的容比较简单直观，看书一般就能够理解，基本上可以自学。但高中的数学知识，过于抽象，难度提升，需要老师的必要的讲解与指导。②是否需要自学？大部分初中考试中所用的解题方法和数学思想，老师会不断的进行整理归纳，学生也进行反复大量的训练，学生基本上不需自学，甚至一部分学生已经养成了饭来口的习惯，只要掌握好老师归纳总结的，基本成绩都不会太差。但高中的知识面广，要全部要训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，课后还需要通过自学归纳对课堂上的容进行整理。高中生学习数学时差异程度大，还要根据自身实际情况进行适度练习。学好数学，很大程度上要靠学生本身的自觉学习。五、对思维习惯提出更高的要求初中学生由于学习数学知识的围小，知识层次低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。举几何的例子来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

函数及其表示考点一求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。方法技巧清单方法一函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为方法三分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2

高中数学知识点精讲精析独立性

2.3独立性 1．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。 2．公式 (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；推广：若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P(A 1·A 2…A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(n )。 (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C P k (1－P)n-k 。 1．设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C 分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，问A ，B ，C 事件相互独立吗？【解析】所以A,B,C 两两独立，但因而A,B,C 不相互独立。 2．设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y ,Z 分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，问X ，Y ，Z 事件相互独立吗？【解析】 k n 41)()()(,21)()()(==== ==BC P AC P AB P C P B P A P )()()(8141)(C P B P A P ABC P =≠=

所以X,Y ,Z 两两独立，但因而X,Y ,Z 不相互独立。 41 )1,1()1,1()1,1(2 1 )1()1()1(= ==============Z Y P Z X P Y X P Z P Y P X P )1()1()1(810)1,1,1(====≠====Z P Y P X P Z Y X P

初中数学公式大全(绝对经典)

初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

人教A版数学必修一必修①精讲精练答案

第1练 §1.1.1 集合的含义与表示【第1练】 1～5 BCCCD 6. a B ∈ 7. 0,1,3x ≠- 8. （1）{|2}y y ≥；（2）{|2}x x ≠± 9. {1,2,4,5,7} 提示：分31,2,4x -=±±±等情况. 10. ④ 提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合．第2练 §1.1.2 集合间的基本关系【第2练】 1～5 DDAAD 6. 7个 7. －1，0 8. 2a =. 提示：联合2352a a -+=及26102a a -+=求解. 9. 3m ≤（注意区间端点及B =φ） 10.解：依题意可知，“孤立元素x ”是没有与x 相邻的，非“孤立元素x ”是指在集合中有与x 相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：（1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一）【第3练】 1～5 CDACB 6. {6} 7. {(3,1)}- 8. A ={1，3，5，7}，B ={2，3，4，6，8}. 提示：由Venn 图可知. 9. {|4}x x ≥, {|4}x x ≥. 10.解：（1）{1,4}B =. 当4a =时，{4}A =，则{1,4}A B =，{4}A B =；当1a =时，{1,4}A =，则{1,4}A B =，{1,4}A B =；当1a ≠且4a ≠时，{4,}A a =，则{1,4,}A B a =，{4}A B =. （2）若A B ?，由上易知4a =或1a =. （3）当5a =时，{1,5}A =，{1,4,5}A B =，其真子集有7个. {4}A B =，则满足{4}{1,4,5}P 刎的集合P 有：{1,4},{4,5}. 第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二）【第4练】 1～5 BDBBA 6. 1a ≥ 7. 80 提示：结合文氏图，易知()()()()n A B n A n B n A B =+-，则65352080+-= 8. {2,1,4}A B =-- 9. 2a = 提示：由集合元素的特征列方程组而解. 10. （1）A ※B ={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A ．（2）先将A *B 化简即得 A *B ={x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }=()A B A B e∪∩． ∴(A *B )*A ={x |x ∈(A *B )∪A ，且x ?(A *B )∩A }={x |x ∈A ∪B ，且x ?()A A B e∩}=B ．（3）S ＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234 第5练 §1.2.1 函数的概念【第5练】 1～5 CDBBC 6. 3＋2, 57 7. －1 8. （1）(,1) (1,2]-∞；（2）定义域1{|}3x x ≠，值域2{|}3y y ≠-. 9. 211()22 f x x x =+ 10. 解：令x y =得22()()(0)f x g y g +=. 再令0x =，即得(0)0,1g =. 若(0)0g =，令1x y ==时，得(1)0f =不合题意，故(0)1g = ；(0)(11)(1)(1)(1)(1)g g g g f f =-=+，即21(1)1g =+，所以(1)0g =；那么(1)(01)(0)(1)(0g g g g f f -=-=+=，(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)1g g g g f f =--=-+-=-.