直线与圆的方程的应用 优秀教案

直线与圆的方程的应用

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

【教学重难点】

教学重点：直线的知识以及圆的知识

教学难点：用坐标法解决平面几何。

【教学过程】

一、复习准备：

直线方程有几种形式？ 分别为什么？

（2） 圆的方程有几种形式？分别是哪些？

（3） 求圆的方程时，什么条件下，用标准方程？什么条件下用一般方程？

（4） 直线与圆的方程在生产。生活实践中有广泛的应用。想想身边有哪些呢？

（5） 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

（6） 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？

二、讲授新课：

提出问题、自主探究

例1．如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）。

方法一：在6

Rt AA O ?中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ，而在3 Rt P CO ?中2223

21 P C R =-，

∴O A C P P A 6333-=，从而可求得33P A 长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？

方法二：先求圆的方程，再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。

首先应建立坐标系。

如何建系？四种不同的建系方案：

分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。

归纳总结、巩固步骤

总结解决应用问题的步骤：

（1）审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；

（2）建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；

（3）解模----求解数学问题，得出数学结论；

（4） 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题。

流程图：

实际问题数学问题数学结论实际问题结论

（审题） （建模） （解模） （还原）

变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3．9米，此时能否通过？

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明 “平

行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：

例2．已知内接于圆P 的四边形ABCD 的对角线互相垂直，

AD PE ⊥于E ，探求线段PE 与BC 的数量关系。

（1）BC PE 2

1=。

思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时BC PE 2

1=。 对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

证明：（平面几何法）连接AP 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，CF ，

∵∠3=∠4 ∴在Rt ⊿ADF 和Rt ⊿AHB 中∠1=∠2

∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ①

又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF ∥BD ②

由① ②可得四边形CFDB 为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试

证明：（解析几何法）以AC ，BD 交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设)0,(a A ，),0(b B ，)0,(c C ，)0,(d D 。

用勾股定理， 22AE R PE -=，其中E 为AD 中点；

先求出圆心P 的坐标及直线AD 的方程，然后用点到直线距离公式求PE 的长；先求出圆心P 与点E 的坐标，再用两点间距离公式求PE 的长。

设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r 2，考虑到圆与x 轴交于A 、C 两点，令y=0，得关于x 的一元二次方程x 2-2mx+(M2+n2-r 2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标 2

a c m +=，同理可得圆心的纵坐标2

b d n +=。

应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。

过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出

圆心的P 坐标(,)

22a c b d ++。

变式练习：设Q 为BC 的中点，则// QH PE ，如何用代数方法证

明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边

的平方和等于另一组对边的平方和；

（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角

线之积等于两组对边之积的和；

（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角

线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。

课堂小结：

（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；

（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；

（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；

【板书设计】

一、指数函数

1．定义

2．图像

3．性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】