数学建模——原子弹爆炸的能量估计

原子弹爆炸的能量估计与量纲分析

一、问题提出

1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一个新的时代。

当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。

英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。

Taylor建立数学模型的数据来源如下：

表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)

现在我们要在Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原子弹爆炸能量的数学模型。

二、模型假设

1.原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。

2.原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。不考虑其它（如

辐射）的影响。

3.只考虑冲击波的动力学特征。

4.冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。

三、符号说明

四、 问题分析

首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量较困难。

其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当中是看不到的。一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”表现出来。

据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。从而可以通过量纲分析法确定这些量之间的函数关系。

五、 模型建立与求解 1) 模型建立

根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。根据Pi 定理，设爆炸中，冲击波的半径r 、时间t 、能量E 、空气密度ρ、大气压强P 满足的一般

函数形式为：

（1）

由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。所以这是一个动力学问题，取3个基本量纲：长度L ，质量M 和时间T ，则（1）中各个物理量的量纲分别是：

[r] = L, [t] = T, [E] = L 2MT -2, [ρ] = L -3M, [P] = L -1MT -2

(,,,,)0

f r t E P ρ=

由此得到量纲矩阵为：

因为Rank （A ）= 3齐次方程Ay = 0有m - r = 5 – 3 = 2 个基本解，即方程组有无穷多个解。

设其中的两个基本解为：

根据量纲分析的Bucking-ham Pi 定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量

（2）

（3）

且存在某个函数F 使得

（4）

与（1）等价。取（4）的特殊形式2()πφπ=1，由（2）、（3）可得

（5）

（6）

于是

35102310011101202A ?--????=????--??

(1,2/5,1/5,1/5,0)T

y =--(0,6/5,2/5,3/5,1)T

y =--2/5

1/5

1/5

1/5

12(

)rt

E

r t E

ρ

πρ

--==656/52/53/5

1/5223()

t P t E P E πρρ

--==ππ12F(,)=0

6

5

1/5

1/5

223()()t P r t E E ρ

?ρ

＝265

1/5

1/523()()

t E

t P r E ?ρρ

＝

2) 数值求解

现在问题简化为根据函数式（6）以及得到的数据来求出爆炸能量E 的大小。

当中E 的数量级远远大于t,P 的数量级，所以可以认为2

0π≈，

建议(0)

1?≈故可以得到更简单的函数式：

E ，ρ均为常数，1/5()E

ρ

作为b r at ＝的系数a

两边取对数得;11log log r a t b b

+＝log

求解过程： 使用MATLAB 对数据进行函数拟合：

651/52

23()t P E πρ=2

1/5

1/52/5

(

)()t E

E

r r t

ρ

ρ

→＝＝

求出b=0.3883与量纲分析结果b=2/5一致

同时可以求出1

a b

log =6.942

所以598.136a ==1/5()E

ρ

ρ可取1.25kg/m 3

即可推出：

5E a ρ==9.57e+13

1千吨TNT 的盒子能量=4.184x1012焦耳 可得原子弹的爆炸能量是22.8727

与实际结果21千吨基本一致