实数的运算--习题精选及答案(一)
实数的运算习题精选（一）知识与技能
1．选择：
(1)下列各式是最简二次根式的是 ( )
AＣ．
(2))0
b>
根式的有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．计算：
(1)2 ;
(2)2 ;
(3)
2
; -
(4)
2
.?
-
?
3．化简下列各式：
4．化简下列各式：
(5)
数学思考
最简二次根式要求被开方数是整数，且这个整数不含能开得尽方的因数．最简二次根式，如何化简?有下列两种化简方法：
___________.
===
__________.===
解决问题
物理学中的焦耳定律：2
Q I Rt =(Q 是热量，单位：J ；I 是电流，单位：A ；R 是电阻，单位：Ω；t 是时间，单位：s)．已知Q=1 001J ，R=5Ω ，t=51 s ，求I ．(结果精确到0．1A)。
开阔视野
实数范围内的因式分解
有些在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内能继续分解．
如：(27.x x x -=+
在实数范围内分解下列因式：
(1)23;x -
(2)4
4;y -
(3)23;x -+ (4)()()
221240;x x -+- (5)22 1.x x --
答案
知识与技能
1.（1）C （2）B
2.（1）0.02（2）4.41（3）－35(4) 12
3.(1)20 (2)（5）（6）2203
4.（1（2（3（3（5） 数学思考
（1
5 （2574== 解决问题
()22,1001551, 2.0.Q I Rt I I A ==??≈即
开阔视野
（1）(x x +
（2）()(22y y y ++
（3）(2x
（4）()(27x x x ++
（5）(11x x --
实数计算题
1（填“＞”、“＜”或“=”号）. 2．（本题满分7分）计算： 20)2()3(4|1|--+-+--π． 3．计算：（每小题3分，共12分） （1） ()25.05)41 (8----+ （2） )2 1()51(10)1(2004 -÷-?-- （3）12×（13＋14―1 6 ） （4） 632162---+- 4．（本题满分8分）计算： （1）102- （2）()3 122?? -- ??? 5．根据图所示的拼图的启示填空． (1)________=； (2)________+=； (3)________=． 6．计算：(1)(2013广东湛江)2 6(1)--； (2)(2013浙江衢州3 22(75)÷-?-+． 7．已知一个圆和一个正方形的面积都是2πcm 2，问：它们中哪一个周长比较长，你从中得到了什么启示？ 8．如图所示，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4，22 35 x x +-，且点A 、B 到 原点的距离相等，求x 的值．
9．定义新运算“@”：@x y = 2@6）@8的值． 10．已知一个正方体的表面积为2400cm 2，求这个正方体的体积． 11．计算． （12-； （2）1(13 - 12．计算下列各题． （1） （2）1)(3-． 13．(1)+ (2)计算：|1|1|++； (3)2 12??-- ??? 14．先阅读，再回答下列问题． = 12<<1． 23<的整数部分是2． =34<的整数部分是3． …… n 为正整数）的整数部分为________，试说明理由． 15．计算：(1)精确到0.01)； (2) 2.342 +-π(精确到十分位)． 16．计算：(1)-； (2)|1||++． 17．设x 、y 为有理数，且x 、y 满足等式2217x y +=-x ＋y 的值．
实数的运算--习题精选及答案(一)
实数的运算习题精选（一）知识与技能 1．选择： (1)下列各式是最简二次根式的是 ( ) AＣ． (2))0 b> 根式的有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．计算： (1)2 ; (2)2 ; (3) 2 ; - (4) 2 .? - ? 3．化简下列各式：
4．化简下列各式： (5) 数学思考 最简二次根式要求被开方数是整数，且这个整数不含能开得尽方的因数．最简二次根式，如何化简?有下列两种化简方法： ___________. === __________.=== 解决问题 物理学中的焦耳定律：2 Q I Rt =(Q 是热量，单位：J ；I 是电流，单位：A ；R 是电阻，单位：Ω；t 是时间，单位：s)．已知Q=1 001J ，R=5Ω ，t=51 s ，求I ．(结果精确到0．1A)。 开阔视野
实数范围内的因式分解 有些在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内能继续分解． 如：(27.x x x -=+ 在实数范围内分解下列因式： (1)23;x - (2)4 4;y - (3)23;x -+ (4)()() 221240;x x -+- (5)22 1.x x -- 答案 知识与技能 1.（1）C （2）B 2.（1）0.02（2）4.41（3）－35(4) 12 3.(1)20 (2)（5）（6）2203 4.（1（2（3（3（5）5- 数学思考 （1 5 （2574== 解决问题 ()22,1001551, 2.0.Q I Rt I I A ==??≈即 开阔视野 （1）(x x +
（2）()(22y y y ++ （3）(2x （4）()(27x x x ++ （5）(11x x --
(完整版)实数知识点及例题
实数习题集 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ，11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 例3．化简： （1）233221-+-+ - 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a a - )0(=a )0(< a
（2 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简：x z x y y z x z x z ---++++ -。 y x z
2019-2020学年七年级数学上册实数课堂练习题及答案
2019-2020学年七年级数学上册实数课堂练习题及答案 基础题 知识点1 实数的有关概念 1．(上海中考)下列实数中，是有理数的为(D ) A . 2 B .3 4 C ．π D ．0 2．(沈阳中考)下列各数是无理数的是(C ) A ．0 B ．－1 C . 2 D .37 3．(安顺中考)下列各数中，3.141 59，－3 8，0.131 131 113…，－π，25，－17 ，无理数的个数有(B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数，正确的是(C ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 5．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． －15，39，π2，3.14，－3 27，0，－5.123 45…，0.25，－32. (1)有理数集合：{－15，3.14，－3 27，0，0.25，…}； (2)无理数集合：{3 9，π2，－5.123 45…，－32，…}； (3)正实数集合：{3 9，π2 ，3.14，0.25，…}； (4)负实数集合：{－15，－3 27，－5.123 45…，－32 ，…}． 知识点2 实数与数轴上的点一一对应 6．和数轴上的点一一对应的是(D ) A ．整数 B ．有理数 C ．无理数 D ．实数 知识点3 实数的性质 7．(北京中考)－3 4 的倒数是(D ) A .4 3 B .3 4 C ．－34 D ．－43 8．无理数－5的绝对值是(B ) A ．－ 5 B . 5 C . 1 5 D ．－1 5
实数典型例题(培优)
实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2 - D ． 2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是 21，只要比较被减数即可，即比较14 1 131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2 －b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2 －b ，所以(1※2)※3＝(12 －2)※3＝(－1)※3＝(－1)2 －3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于
初一数学实数计算题附答案
初一数学实数计算题附 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
实数计算题练习 1 = 2 ．= = = = = = = = 10. = = = 13. = 14. ( )2013 1 1 2 +- = 15. = = 17. ( ( -= = 2
= = 2 = = 24 )4= 25. = - = = = = 2 1 2 ?? -= ? ?? 31. ( )() 20130 312014 -+-? = 1 12014 2 ?? -= ? ?? 33. 31 22 = 1 16 += = 36. 21 += 3
= += 2 4 3 ÷?= 13 += + = 3 = 43. ()3 211250 x--= 44. ()2 4190 x--= 45. 41 x-= 46. ()361 121 64 x +-= 47. ()3 20.1 x+= 2 = 49. 3 3 26 4 x-= 50. () 2 2110 x+= 51. 2322 x= 52. ()3 0.70.027 x-= 53. 3 2540 x-= 54. 3 98 1 27 x+=- 55. ()29 21 8 x-= 实数计算题答案： 1. 1 4 7 2.3- 3. 9 4. 4 5 5. 0.2 6. 0.8 7. 2 8. 2 3 - 9. 1 10. 3 2 - 11. 2 12. 11 24 - 13. 2 14. 4
5 -21. 133- 22. 60.15- 24. -1 25. 4 26. 325 27. 323 28. 2.2 29. 125 34. -3 35. 144 36. 1- 39. 5 40. 241. 1 26- 42. 5x =± 43. 3x = 44. 122x =,12x =- 45. 3x =+ 5x =-46. 1 8x = 47. 1950x = 48. 13x = 49. 32x = 50. 2x =± 51. 18x =± 52. 1 4x = 53. 3x = 54. 5 3x =- 55. 314x =,1 4x =
实数知识点汇总及经典知识讲解
)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-
减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a 相交实数典型问题精析（培优） 例1．（2009 的相反数是（ ） A ． B C ． D ． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个 数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算 实数的运算大全 1． 计算:8×24； 2． 计算: 5 2 ； 3． 计算: 3 ×(21－12＋1) 4． 计算: 2－2 1 ； 5．化简：3164 37 -； 6．计算: 212＋348 ； 7．化简：348-； 8． 计算：)515(5- 9．计算：252826-+ 10 ．计算：2022 (()3 -+- 11．计算：|－2|－(3－1)0 +1 21-??? ?? 12 13 14．化简：5312-? 15．化简： 2 2 36+? 16．计算：(25+1)2 17．计算：)12)(12(-+ 18．计算：(1)20 9 5? 19．计算： 8 6 12? 20．计算：(1+3)(2－3) 21．计算：(132-)2 22．计算：(2+5)2 23．计算：21850-? 24．计算：)82(2+ 25．计算： 37 21? 26．计算： 10 40 5104+ 27．计算： 2 )3 13(- 28．计算：250580?-? 29．计算： (1+5)(5－2) 30．计算：（1）(1－2+3)(1－2－3) 31．计算：)623)(623(-++- 32．计算：320－45－5 1 33．x ＝2－ 3时，求（7+4 3） x 2+(2+3)x +3的值. 34．计算：32 22 1 (4)3(--?+） 35．计算：2 2232 1+- 36 ．计算：0211(1)12 4 π-+---+ 37．计算：∣－2∣－23 +38．先化简，再求值：5x 2－ (3y 2+5x 2)+(4x 2+7xy ),其中x ＝－1,y ＝1 39． 求a 的值。 40．计算：221213- 41．计算：（18).22 1+； 42．若a=3 －10，求代数式a 2－6a －2的值； 43．计算： 348－1477 1 37+ ； 44．数轴上，点A 表示1，点B 表示 3AB 间的距离； 45．计算： 2)2(182-- ? 46．计算：2 )525(- 47．已知xy=2，x －y=125-， 求（x ＋1）(y －1)的值； 48．计算：）—（）（23322332?+ ； 49 ．计算：1 3.14?? ???－1＋（－π）2 50．计算：)32)(32(-+ 51 ．计算：210(2)(1--- 52．计算：2)4(|3|ππ-+- 53．4)12(2=-x x ： 求 54．计算：3322323--+ 55．已知32b ,32a -=+=，求下列各式的值：（1）ab （2）a 2+b 2 56．计算：328- 57．计算： 21850-? 58．计算：)56)(56(-+ 59．计算： 3164 37- 60．计算：13 327-+ 61．计算： 25.05 116.021- 62．计算：22)2332()2332(--+ 63．计算:32 －32 1 +2; 64．计算： )4838 1 4122(22-+ 65 66 67．求x 的值： 9)2(2=-x 68．求x 的值：52=+x 69．计算：527× 2 33 2 2 70．计算： x 932+64x —2x x 1 专题一计算题训练 一．计算题 1．计算题：|﹣2|﹣（1+）0+． 2．计算题：﹣12009+4×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣2） 3． 4 . ||﹣ ． 5．． 6．； 7.． 8. 9．计算题：． 10.（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）； 11. |﹣|+﹣ 12. ﹣12+×﹣2 13. ． 14. 求x的值：9x2=121． 15. 已知，求x y的值． 16. 比较大小：﹣2，﹣（要求写过程说明） 17.求x的值：（x+10）2=16 18. ． 19. 已知m＜n，求+的值； 20.已知a＜0，求+的值． 参考答案与试题解析 一．解答题（共13小题） 1．计算题：|﹣2|﹣（1+）0+． 解答：解：原式=2﹣1+2， =3． 2．计算题：﹣12009+4×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣2） 解答：解：﹣12009+4×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣2）， =﹣1+4×9+3， =38． 3. 4. ||﹣． 原式=14﹣11+2=5； （2）原式==﹣1． 点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算． 5．计算题：． 考点：有理数的混合运算。 分析：首先进行乘方运算、然后根据乘法分配原则进行乘法运算、同时进行除法运算，最后进行加减法运算即可．解答： 解：原式=﹣4+8÷（﹣8）﹣（﹣1） =﹣4﹣1﹣（﹣） =﹣5+ =﹣． 点评：本题主要考查有理数的混合运算，乘方运算，关键在于正确的去括号，认真的进行计算即可． 6.； 7.． 考点：实数的运算；立方根；零指数幂；二次根式的性质与化简。 分析：（1）注意：|﹣|=﹣； （2）注意：（π﹣2）0=1． 解答：解：（1）（ 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 实数的运算练习一 （1) (2)48512739+- （ 3) 10 1 2 52403-- （4)2)32)(347(-+ （５)20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- (7)10)2 1()2006(312-+---+ （8)02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? (1０）4327-? ? (1１）2)13(- ? (13）3 6 （12)22)52()2511(- ? （１４）75.0125.204 1 12484--+- （1５)1215.09002.0+ ? (16)250580?-? （17)3 721? (1８）)25)(51(-+ ? （19）2)3 13(- （２0)8 92334?÷ （21）20032002)23()23(+?- (22)75.0421*******+-+ ? (23）33 3322227 1912105+-?--- (2４)753 1 31234+- （２5）3122112-- (26）5 1 45203-+ ? （２７)48122+ (28)325092-+ ? (2９)2)2 31(- 实数的运算练习二 （1）3 181083315275--+ （2）758 1312325.0---+ （3）??? ? ??--???? ??-5.0431381448 （4）() 147162752722 3 +-+ （5） ??? ? ??-+-67.123 256133223 （6）( ) 326125.021 322--??? ? ??-+ （7）3 44273125242965++-+ （８)??? ? ??--???? ??+121580325.12712 （9）))((36163--?-; （10）633 1 2?? （11）)(102 132531-?? （12）z y x 10010101??- 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 实数练习题 解析： 该瓶的容积相当于底面与瓶底面相同，高为25 cm 的圆柱体的体积. 答案： 解：1L=1000cm 3，由题意得瓶子的底面积为4025 1000=（cm 2） （1） 瓶内溶液的体积是 40×20=800（cm 3） （2） 设圆柱形杯子的内底面半径为r ，则 πr 2×10=800， ∴r=π80 ≈5.0（cm ） 小结： 解此类等积变形问题的关键是根据体积不变确定数量关系或建立等量关系. 例6 规律探究：观察 284222-=25555?==,即222255-=；32793333=310101010?-==,即333=31010 -. （1）猜想5526- 等于什么，并通过计算验证你的猜想； （2）写出符合这一规律的一般等式. 解析：从给出的运算过程中找出规律，然后依规律计算 答案：（1）55552626 -=, 验证：51252555552626 2626?-===; (2) 22-11 n n n n n n =++ (n 为大于0的自然数). 小结： 此类规律型问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地计算，必要的观察，猜想，归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论. 举一反三： 1. 某正数的平方根为3a 和3 92-a ，则这个数为（）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 解析：由平方根定义知3a 与3 92-a 互为相反数， 所以3a +3 92-a =0, 解得a=3， 所以这个数的平方根为±1, 所以这个数为1.选A. 2. 如图3-3，数轴上A ，B 两点表示的数分别为-1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数为（ ）. A. -2-3 B. -1-3 C. -2+3 D. 1+3 解析：∵AB=3+1, ∴C 点表示的数为-1-（3+1)=-2-3. 选A 实数练习题 一、判断题（1分×10=10分） 1． 3是9的算术平方根 （ ） 2． 0的平方根是0，0的算术平方根也是0 （ ） 3． （-2）2 的平方根是2- （ ） 4． -0.5是0.25的一个平方根 （ ） 5． a 是a 的算术平方根 ( ) 6． 64的立方根是4± （ ） 7． -10是1000的一个立方根 （ ） 8． -7是-343的立方根 （ ） 9． 无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ） 10.有理数和无理数统称实数 （ ） 二、选择题（3分×6=18分） 11．列说法正确的是（） A 、 4 1 是5.0的一个平方根 B 、 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C 、 72 的平方根是7 D 、负数有一个平方根 12．如果 25.0=y ，那么y 的值是（） A 、 0625.0 B 、 5.0- C 、 5.0 D 、5.0± 13．如果x 是a 的立方根，则下列说法正确的是（） A 、x -也是a 的立方根 B 、x -是a -的立方根 C 、x 是a -的立方根 D 、等于3 a 14．π、 7 22、3-、3343、1416.3、3.0 可，无理数的个数是（） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 15．与数轴上的点建立一一对应的是（）（ A 、全体有理数 B 、全体无理数 C 、 全体实数 D 、全体整数 16．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（） A 、0 B 、正实数 C 、0和1 D 、1 三、填空题（1分×30=30分） 2.100的平方根是 ，10的算术平方根是 。 3．3±是 的平方根3-是 的平方根；2)2(-的算术平方根是 。 4．正数有 个平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根。 5．125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。 6．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 。 7．2的相反数是 ，π-= ，3 64-= 8．比较下列各组数大小： ⑴⑵ 2 1 5- 5.0 ⑶π 14.3 2 四、解下列各题。 1． 求下列各数的算术平方根与平方根（3分×4=12分） ⑴225 ⑵ 144 121 ⑶ 81.0 ⑷ 2 )4(- 2． 求下列各式值（3分×6=18分） ⑴225 ⑵16.0- ⑶289 144± ⑷ 364 ⑸ 3125- ⑹327125 - 3． 求下列各式中的x ：（3分×4=12分） ⑴2 x 49= ⑵ 81252 =x ⑶8 333 =-x ⑷125)2(3=+x 附加题：（10分×2=20分） 1． 怎样计算边长为1的正方形的对角线的长？ 2． 如图 平面内有四个点，它们的坐标分别是 )22,1(A )22,3(B )2,4(C )2,1(D ⑴依次连接A 、B 、C 、D ，围成的四边形是什么图形？并求它的面积 第二章 实数计算练习 一 选择题 1 ）． A ．±7 B ．－7 C ． D 2．下列各式计算正确的是（ ）． A 2 B 2 C －1 D ． 3．下列哪三个数不可能作为一个三角形的三边长（ ）． A ．1，100，100 B ．2，3 C D ．32，42，52 4．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）． A ．－2 B ．－2 C ．－2与－1 2 D ．│－2│与2 5 －3=0，则x 的取值范围是（ ）． A ．x>3 B ．x<3 C ．x≥3 D ．x≤3 6下列计算正确的是（ ） A ．0 (2)0-= B ．2 3 9-=- C 3= D =7下列式子，正确的是（ ） A. 3 B. 1)1= C. 122-=- D. 2222()x xy y x y +-=- 8计算2 9 328+ -的结果是（ ） A ． 22- B ． 2 2 C ． 2 D ． 2 2 3 9. 2a = ，2b = ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．a a 的大小关系是（ ）． A B C D 二 填空题 11．若x 2=4，则x 3=______． 12 _____ 的立方根是_____． 13 _____，绝对值是______． 14．比较大小：－7______－ 15 ，那么x=_____，y=_____． 16．若 a ，小数部分是 b ，则a －b=______． 17．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b│ │b －c│=____． 18. 已知3y = ，则x y =____ 19. 若 2 163610x -= 则x=____ 20. 若 38(3)27x --= 则x=____ 三、计算题 21计算：27124148÷?? ? ??+ ＝_________． 22 ． 23 第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题 一、平方根 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ± 表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方 根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± （根指数２省略） ０有一个平方根,为0,记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2 ==? ??-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a (应用较广) 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方 后,得____ ３．计算a 的方法????? ? ? ??精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ,则b a > 二、立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a ２. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3． 开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根 1． 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。 中考典型例题精析二 考点一 实数的大小比较 例 1 (2015·潍坊)在|－2|, 20 ，2－1，2这四个数中，最大的数是( ) A ．|－2| B ．20 C ．2－1 D.2 考点二 实数非负性的应用 例 2 (2015·绵阳)若a ＋b ＋5＋||2a －b ＋1＝0，则(b －a)2 015＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．52 015 D ．－5 2 015 考点三 实数的混合运算 例 3 (2015·安顺)计算：? ????－12－2 －(3.14－π)0＋|1－2|－2sin 45°. 基础巩固训练： 1．在13，0，－1，2这四个实数中，最大的数是( ) A. 13 B ．0 C ．－1 D.2 2．计算：3－2×(－1)＝( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．6 3．下面计算错误的是( ) A ．(－2 015)0 ＝1 B.3 －9＝－3 C. ? ?? ??12－1 ＝2 D ．(32)2＝81 4．若(a －2)2＋||b ＋3＝0，则(a ＋b)2 016的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 016 D ．－2 016 5．若a ＝20 ，b ＝(－3)2 ，c ＝3 －9，d ＝? ?? ??12－1 ，则a ，b ，c ，d 按由小到大的顺序排 列正确的是( )A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜b D ．b ＜c ＜a ＜d 6．计算： 3－4 －? ?? ??12－2 ＝ . 7．实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则 |n －m|＝ . 8．计算：3 －27－(－3)÷? ?? ?? －13×3＝ . 9．计算：(1)(1－2)0 ＋(－1)2 016 －3tan 30°＋? ?? ??13－2 ； (2) (－1) 2 016 ＋(1－π)0 ×3 －27－? ?? ??17－1 ＋|－2|. 考点训练 一、选择题 1．(2015·山西)计算－3＋(－1)的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 2．杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．则这4筐杨梅的总质量是( ) A ．19.7千克 B ．19.9千克 C ．20.1千克 D ．20.3千克 3．在实数－1,0，1 2，－3，2 0160中，最小的数是( ) A ．－ 3 B ．－1 C. 1 2 D ．0 4．(2015·衡阳)计算()－10＋||－2的结果是( ) A ．－3 B ．1 C ．－1 D ．3 5．(2015·北海)计算2－1 ＋12的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．21 2 6．下列计算错误的是( ) 实数运算【模拟试题】 （答题时间：50分钟） 一、选择题 1. a 有意义的条件是（ ） A. a ＞0 B. a ≥0 C. a ≤0 D. a 为任意实数 2. 如果a －2是二次根式，则a 的取值范围是（ ） A. a ≥2 B. a ＞2 C. a ≠2 D. a ≤2 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. 0.5 B. 12 C. 13 D. 42 4. 下列与3不是同类二次根式的是（ ） A. 27 B. 12 C. 13 D. 0.3 5. 化简5×9 20 的结果是（ ） A. 32 B. 32 C. 52 3 D. 152 6. 下列计算正确的是（ ） A. (－3)2＝－3 B. 515＝5×15＝1 C. 5 15 ＝25×1 5 ＝ 5 D. －5 15 ＝(－5)2×1 5 ＝ 5 7. 下列计算正确的是（ ） A. 27－12 3＝9－4＝1 B. （2－5）（2＋5）＝1 C. 6－2 2 ＝3 2 D. 8－2＝ 2 8. 若x 、y 为实数，且︱x ＋2︱＋y －2＝0，则（x y ）2009的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 二、填空题 1. 计算12＋3 1 3 ＝__________，23 ·3 2 ＝__________. 2. 计算(2－1)(2＋1)2＝__________，(2＋3)(3－2)＝__________. 3. 一个直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为__________. 4. 比较大小：32_____23，－175_____－411. 5. 用“”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a b ＝b 2＋1. 例如74＝42＋1 ＝17，那么5 3＝__________；当m 为实数时，m (m 2)＝__________. 6. 若正方形的面积为1 3 ，则它的对角线长为__________. 7. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为40cm 和32cm . 则这个直角三角形的周长为__________，面积为__________. 8. 已知a 、b 分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a －b ＝__________. 三、解答题 1. 把下列各式化成最简二次根式. （1）10145 （2）(－8)2－4×(－4) （3）0.01×64 0.36×324 （4）(1 125)2－(25)2 2. 计算. （1）(－57)2实数典型例题(培优)
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