2020学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题(解析版) (2)

2020学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题

一、 单选题

1． 设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}{}2,3,4,3,4,5A B ==则U A C B =U （） A ．{}2 B ．{}0,1

C ．{}0,1,2,3,4

D ．{}0,1,3,4,5

【答案】C

【解析】先求U C B ，再求U A C B U 【详解】

{}0,1,2U C B =

{}0,1,2,3,4U A C B ∴=U , 故选C. 【点睛】

本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型. 2．命题“320,0x x x ?>+>”的否定是（）

A ．32

0000,0x x x ?>+≤

B ．32

0000,0x x x ?≤+≤

C ．320,0x x x ?>+≤

D ．320,0x x x ?≤+≤

【答案】A

【解析】根据全称命题的否定形式书写. 【详解】

根据全称命题的否定形式可知“320,0x x x ?>+>”的否定是

“32

00,0x x x ?>+≤”.

故选A. 【点睛】

本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.

3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()2

0a a b ->”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性. 【详解】

当a b >时，令0,0a b =<，此时()2

0a a b -=，所以不是充分条件； 反过来，当()2

0a a b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要

条件，

a b ∴>是()2

0a a b ->的必要不充分条件，

故选B. 【点睛】

本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.

4．若函数()2log 3,0

2,0x x x x f x x -+->?=?

A ．1

3

B ．

32

C ．

52

D ．3

【答案】A

【解析】首先计算()3f ，然后再计算()()3f f 的值. 【详解】

()223log 333log 30f =-+-=-<,

()()()2log 321

3log 323

f f f -=-==.

故选A. 【点睛】

本题考查了分段函数求值，属于计算题型.

5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约（） A ．1.7万年 B ．2.3万年 C ．2.9万年 D ．3.5万年

【答案】C

【解析】根据实际问题，可抽象出()150% 3.1%n

-=，按对数运算求解. 【详解】

设该生物生存的年代距今是第n 个5730年， 到今天需满足()150% 3.1%n

-=， 解得：0.5log 3.1%5n =≈，

5573028650?= 2.9≈万年. 故选C. 【点睛】

本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.

6．若幂函数的图象经过点12,4??

???

，则其解析式为（）

A ．12x

y ??

= ???

B ．2x y =

C ．2y x -=

D ．2y x =

【答案】C

【解析】设幂函数()f x x α

=，代入点，即可求得解析式.

【详解】

设幂函数()f x x α

=，代入点12,4?? ???，

1

24

α=

，解得2α=-， ()2f x x -∴=. 故选C. 【点睛】

本题考查了幂函数解析式的求法.

7．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，则不等式()()213f x f ->的解集为（） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()()

,21,-∞-?+∞

D ．()(),12,-∞-+∞U

【答案】B

【解析】因为函数是偶函数，所以()()f x f x =，那么不等式转化为

()()213f x f ->，利用单调性，解不等式.

【详解】

Q 函数是偶函数，

()()()()213213f x f f x f ∴->?->

()f x Q 在[)0,+∞单调递减，

2133213x x ∴-

12x ∴-<< ，即()1,2x ∈- .

故选B. 【点睛】

本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式()()f x f x =转化不等式，利用()0,∞+的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想. 8．.若直线1y =是曲线ln a

y x x

=+的一条切线，则实数a 的值为（） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A

【解析】设切点()0,1x ，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求a . 【详解】

设切点()0,1x ，21

a y x x

'=-

+ 00

20

0ln 1

10a

x x a x x ?+=???

?-+=?? ，解得011x a =??=? . 故选A. 【点睛】

本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数.

9．已知定义在R 上的函数()f x 在()2,+∞上单调递增且()00f =，若()2f x +为奇函数，则不等式()0f x <的解集为（） A ．()(),20,4-∞-? B ．()0,4 C ．()()

,20,2-∞-U

D ．()(),02,4-∞?

【答案】D

【解析】因为()2f x +是奇函数，所以()y f x =关于()2,0对称，根据条件结合数形结合可判断()0f x <的解集. 【详解】

()2f x +Q 是奇函数，

()f x ∴关于()2,0对称， ()f x Q 在()2,+∞单调递增，

()f x ∴在(),2-∞也是单调递增， ()00f =Q ，

(),0∴-∞时()0f x <，()0,2时，()0f x > 又()f x Q 关于()2,0对称，

()2,4∴时()0f x <，()4,+∞时()0f x > ()0f x ∴<的解集是()(),02,4-∞?. 故选D. 【点睛】

本题考查了利用函数的性质和图像，解抽象不等式，这类问题的关键是数形结合，将函数的性质和图像结合一起，这样会比较简单.

10．若函数()ln f x x =与()()()2

424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于

点()1,0M 对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．[)0,+∞ B ．1,e ??

+∞????

C ．[)1,+∞

D ．[),e +∞

【答案】C

【解析】首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x =-

，这样a 的范围就是ln x

y x x

=-的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】

设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在

()()2424g x x a x a =-+-+- 上，

()()()2

224224y x a x a y x ax -=--+--+-?=-，

根据题意可知，ln y x =与()2

y x ax a R =-∈有交点，

即2

ln ln x

x x ax a x x

=-?=-

， 设ln x

y x x

=-

()0x >， 22

1ln x x y x

-+'=， 令()2

1ln h x x x =-+，()0x >

()1

20h x x x

'=+

>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，

()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，

ln x

y x x

=-

在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1， 即1y ≥ ，

a ∴的取值范围是[

)1,+∞.

故选C. 【点睛】

本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x

a x x

=-

，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理. 二、多选题

11．在同一直角坐标系中，函数()1,y log 012x

a y a x a a -??==+>≠ ??

?且的图象

可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】AC

【解析】分析两个函数的单调性，排除选项，得到正确答案. 【详解】

x y a -=与1log 2a y x ?

?=+ ??

?的单调性相反，所以排除,B D

当1a >时，选C;当01a <<时，选A. 故选A,C. 【点睛】

本题考查了根据函数解析式求函数的图像，根据解析式判断图像这类问题，可以从函数的定义域，奇偶性，单调性，以及是否过定点，还有某段区间函数值的正负来判断图像，合理选择排除法.

12．已知函数()21

x

x x f x e +-=，则下列结论正确的是（）

A ．函数()f x 存在两个不同的零点

B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值

C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根

D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5

f x e

=，则t 的最小值为2 【答案】ABC

【解析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项. 【详解】

A.()2

010f x x x =?+-=,解得152

x -±=，所以A 正确；

B.()()()2122

x x

x x x x f x e e +---'=-

=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >

()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，

所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确. C.当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；

D.由图像可知，t 的最大值是2，所以不正确. 故选A,B,C 【点睛】

本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是()2,+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图像是无限接近x 轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.

13．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ?，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是

[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的

是（）

A ．()3f x x =

B ．()23f x x

=-

C ．()1

x

f x e =-

D ．()ln 2f x x =+

【答案】ABD

【解析】逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确. 【详解】

A.3

y x =是单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n < 使33m m

n n

?=?=? ，解得

1,0m =-，0,1n =，所以存在区间[][][]1,0,1,1,0,1-- 满足②，所以A 正确，

是“和谐区间”； B.()2

3f x x

=-

在(),0-∞和()0,∞+都是单调递增函数，所以设 0m n <<或0m n <<，满足2323m m

n n

?-=????-=?? ，解得1,2m n == ，所以存在区间[]

1,2满足条件，所以B 正确；

C.1x

y e =-时单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n <，使11m

n e m e n ?-=?-=? ，即

1x e x =+有两个不等实数根，但x

y e =与1y x =+相切于点()0,1，没有两个不

等实数根，所以不正确，C 不正确；

D.ln 2y x =+是单调递增函数,定义域是()0,∞+ ，若存在区间[],m n ，

m n <，使ln 2ln 2m m

n n +=??+=?

，即ln 2x x +=有两个不等实数根，转化为ln 2x x =- 即

ln y x =与2y x =-有两个不同的交点，满足条件，所以D 正确.

故选ABD. 【点睛】

本题重点考查了判断函数零点个数的方法，一是可以直接求方程的实数根，即是函数的零点，二是转化成两个函数的交点，通过数形结合判断零点个数，或是根据零点个数判断参数的取值范围. 三、填空题

14．函数(

)()

21

log 1f x x =+的定义域为__________（结果用区间表

示）。

【答案】()1,0-

【解析】根据函数的定义域需满足120

1011x x x ?-≥?

+>??+≠?

，解不等式.

【详解】

根据题意可得

120

10

11

x

x

x

?-≥

?

+>

?

?+≠

?

，

1

x

x

x

≤

?

?

∴>-

?

?≠

?

，10

x

∴-<<，

即函数的定义域是()

1,0

-

故填：()

1,0

-.

【点睛】

本题考查了函数多的定义域，属于简单题型.

15．已知函数()lgx

f x=，实数()

,a b a b

≠满足()()

f a f b

=，则ab的值为__________．

【答案】1

【解析】根据图像分析，设01

a b

<<<，代入函数求值即可.

【详解】

由图像可知，设01

a b

<<<，

lg lg lg lg lg lg0

a b a b a b

=?-=?+=，

即lg01

ab ab

=?=.

故填：1.

【点睛】

本题考查了lg

y x

=的图像，以及对数运算法则，属于基础题型，本题的关键是根据图像，判断lg a和lg b的正负，去绝对值.

16．.若[]2

"2,8,log4log2"

x

x m x

?∈≤+为真命题，则实数m的最大值为

__________．

【答案】5

【解析】根据题意转化为()

2max

log4log2

x

m x

≤+，利用

2

1

log2

log

x x

=，可将

函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值. 【详解】

当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈ 又21

log 2log x x

=

Q ，设[]2log 1,3x t =∈ ， 设24

log 4log 2x y x t t

=+=+

当1t =时，取得最大值max 5y =.

若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ?∈≤+为真命题，

()2max log 4log 2x m x ≤+ ， 即5m ≤,

m ∴的最大值是5.

故填:5. 【点睛】

本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在0x ，使()0m f x ≤，即()()max m f x ≤，若0x ?，使()0m f x ≤恒成立，所以()()min m f x ≤，需注意时任意还是存在问题.

17．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，

()32f x x x =-，()1当(]0,1x ∈时，()f x 的最小值为________；()2若对任意

(],x m ∈-∞，都有()27

8

f x ≥-成立，则实数m 的取值范围是_________。 【答案】427-

7,2?

?-∞ ??

?

【解析】（1）当(]0,1x ∈时，求函数的导数，判断函数的单调性后得到函数的最小值；

（2）根据（1）可先求出(]0,1x ∈时，函数的值域，再根据条件()()13f x f x +=，判断

27

8

-

位于最开始的哪个区间，并求解(]3,4x ∈时，函数的解析式()f x ，和()27

8

f x =-

时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】

（1）(]0,1x ∈时，()()2

3232f x x x x x '=-=-，

当20,3x ??∈ ???时，()0f x '<，当2,13x ??

∈ ???时，()0f x '>，

∴2

3x =

时，函数取得最小值24327f ??

=- ???

；

（2）当(]0,1x ∈时，()4,027f x ??

∈-???? ，根据()()13f x f x +=可知

当(]1,2x ∈时，()4,09f x ??∈-????，当(]2,3x ∈时，()4,03f x ??∈-????

， (]3,4x ∈时，()[]4,0f x ∈-

[]27

4,08

-

∈-Q 当(]3,4x ∈时，()()()()3192273f x f x f x f x =-=-=-，

(]30,1x -∈

()()()32

2733f x x x ??∴=---??

令()()32

2727338

x x ??---=-?? ，

可得：()()32

111333(0,1]3,824x x x x +---=--∈∴-=Q ，

m ∴的取值范围是7,

2?

?-∞ ??

?

. 【点睛】

本题考查了以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求法，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于中档题型，本题的关键是利用条件可分析函数的图像，利用数形结合比较好分析.

四、解答题

18．已知二次函数()f x 的图象过原点，满足()()()2f x f x x R -=-∈，其导函数的图象经过点()0,2-.

()1求函数()f x 的解析式；

()2设函数()()501x g x a a a a =+->≠且，若存在[]13,0x ∈-，使得对任意

[]21,2x ∈，都有()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()2f x x x =--（2）{|01a a <<或}12a <≤

【解析】（1）设函数()2

f x ax bx =+，当满足()()2f x f x -=-时，函数关于

1x =-对称，且()02f '=-，这样利用待定系数法可求得函数的解析式；（2）根据题意可知()()max max f x g x ≥，分别求两个函数的的最大值，求解不等式. 【详解】

解：()1设2()f x ax bx =+，Q (2)()f x f x -=- 所以()f x 的对称轴方程为12b

x a

=-

=- 又()2f x ax b =+'，则(0)2f b ￠

==- 两式联立，解得1a =-，2b =- 所以2()2f x x x =--

()2由已知max max ()()f x g x ≥

因为2()2f x x x =--，[]3,0x ∈-

所以()f x 在(3,1)--单增，(1,0)-单减，当1x =-时，max ()1f x = 法一：当01a <<时，()5x g x a a =+-在[]1,2上为减函数，。

max ()(1)25g x g a ==-，此时125a ?，解得01a <<

当1a >时，()5x g x a a =+-上[]1,2为增函数，2

max ()(2)5g x g a a ==+-

此时215a a ?-，解得12a <≤

综上，实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <≤

（法二：因为0a >且1a ≠，所以()5x g x a a =+-为单调函数，

{}max ()max (1),(2)g x g g =，又(1)25g a =-，2(2)5g a a =+- 于是由2

125

15a a a ≥-??≥+-?

，解得32a -≤≤ 又0a >且1a ≠，所以实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <≤ 【点睛】

本题考查了二次函数解析式和最值的求法，对于第二问两个都改成任意，那么转化为()()min max f x g x ≥，如果两个都是存在，转化为()()max min f x g x ≥，理解任意，存在的问题如何转化为最值的问题.

19．已知函数()2log 1n f x m x ?

?=+ ?+?

?为奇函数，其中,,0m n R m ∈<

()1求,m n 的值；

()2求使不等式()1f x ≥成立的x 的取值范围.

【答案】（1）1m =-，2n =.（2）1

(1,]3

--

【解析】（1）根据()()0f x f x -+= ，可化简为2222()1m x m n x -+=-，已知0m <，解出,m n 的值；（2）根据（1）的结果，解不等式2

1log 11x

x

-≥+，求x 的取值范围.

【详解】

解：()1因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=对定义域内任意的x 恒成立 即22log ()log ()0+1+1

n n m m x x +

++=- 化简得2222()1m x m n x -+=-

故21m =，2()1m n +=，解得1m =-，2n =.

()2由()1知2

1()log 1x

f x x

-=+ 由21()log 11x f x x -=?+，得121x

x

-3+ 解得1

13

x -

综上，满足题意的x 的取值范围是1(1,]3

-- 【点睛】

本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函数是奇函数时，经常利用()()0f x f x -+=，计算求解.

20．已知:p 实数m 使得函数()()21ln 22

f x x m x x =---在定义域内为增函

数；:q 实数m 使得函数()()2

15g x mx m x =++-在R 上存在两个零点12,x x ，

且121x x <<

()1分别求出条件,p q 中的实数m 的取值范围；

()2甲同学认为“p 是q 的充分条件”，乙同学认为“p 是q 的必要条件”，

请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.

【答案】（1）7

(,]4-?，(0,2)（2）甲、乙两同学的判断均不正确，理由见解

析

【解析】（1）p 真时，先求函数的导数，令()0f x '≥恒成立，整理得到

22

11117

2()24

m x x x ≤

-+=-+恒成立，转化为求函数的最小值；q 真时，只需满足()10m g ?<即可；（2）根据（1）的结果，判断两个集合是否具有包含关系，根据集合的包含关系判断充分必要条件. 【详解】

解，()()1f x 的定义域为(0,)+∞，1

()(2)1f x m x x

'=

--- 因为()f x 在定义域内为增函数，所以对0x ?>，恒有()0f x '≥ 整理得22111172()24m x x x ≤

-+=-+，恒成立。于是74

m ≤ 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7

(,]4-?

因为()g x 的存在两个零点且121x x <<，所以(1)0m g ?

即(24)0m m -<，解得02m <<

因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2)

()2甲、乙两同学的判断均不正确，

因为p q ?

/，所以p 不是q 的充分条件， 因为q p ?/，所以p 不是q 的必要条件。 【点睛】

本题考查了由命题的真假，求参数取值范围的问题，本题的一个易错点是q 真时，有的同学只写出()10g <，而忽略了m 的正负决定函数图像的开口，第二问考查了当命题是以集合形式给出时，如何判断充分必要条件，

:p x A ∈,:q x B ∈，若A B ≠?时，p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，当没有包含关系时，()p q 是()q p 的既不充分也不必要条件，当

A B =时，()p q 是()q p 的充要条件.

21．已知函数()()()1x

f x x a e a R =--∈

()1当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； ()2当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的最大值。

【答案】（1）e e 0x y --=（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】（1）当0a =时，()()1x f x x e =-，利用导数的几何意义求曲线的切

线方程；

（2）求函数的导数()()x

f x x a e '=-，讨论0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况

函数的单调性，得到函数的最大值. 【详解】

解：()1当0a =时，(1)0f =，(1)e f ￠

=， 所以切线方程为0e(1)y x -=-，即e e 0x y --=

()

2()()e x f x x a ￠=-当0a ≤时，当[0,1]x ∈，()0f x '≥，()f x 单调递增，

此时max ()(1)e f x f a ==-，

当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,1)x a ∈，()0f x '>，

()f x 单调递增，此时{}max ()max (0),(1)f x f f =,又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--，

所以当1

0e 1

a

-时，max ()(1)e f x f a ==- 当1

11

a e <<-时，max ()(0)1f x f a ==--. 当1a ≥时，当[0,1]x ∈，()0f x '≤，()f x 单调递减， 此时max ()(0)1f x f a ==-- 综上，当1

1

a e ≤-时，max ()(1)e f x f a ==-， 当1

e 1

a >

-时，max ()(0)1f x f a ==--. 【点睛】

本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当

01a <<时，根据函数的单调性可知函数的最大值是()0f 或()1f ，需做差讨论a 得到()0f 和()1f 的大小关系.

22．中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足

*525,t t N ≤≤∈，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当2025

t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t ≤≤时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()2

20t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量

为100人.记发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为()P t .

()1求()P t 的表达式；

()2若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益

()()21

4065020004

Q t P t t t =

-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益

()

Q t t

最大？ 【答案】（1）2**10004(20),520,,

()1000,

2025,t t t N P t t t N ?--≤<∈=?≤≤∈?（2）发车时间间隔为10分钟时，

()

Q t t

最大 【解析】（1）分520t

?和2025t ≤<两段求函数()P t 的解析式，当520

t

?时，2()1000(20)P t k t =--，当5t =时，()100P t =，求k ；（2）根据（1）的结果，分段求函数()Q t ，利用导数求函数的最大值. 【详解】 解：（1）当520t ?时，不妨设2()1000(20)P t k t =--，因为(5)100P =，

所以解得4k =.

因此2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t N P t t t N ?--≤<∈=?≤≤∈?. （2）①当520t ?时，23()()40650200050020004

t

Q t P t t t t t =

-+-=-+- 因此2()2000

()500Q t y t t t t

=

=--+，520t

?.

因为()y t ￠=3

22

20002(1000)

2t t t t

---+=，当510t ?时，()0y t ￠

>，()y t 单增；

当1020t <<时，()0y t ￠

<，()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==. ②当2025t ≤≤时，2()409002000Q t t t =-+- 因此()50()90040()Q t y t t t t

=

=-+，2025t ≤≤. 因为()y t ￠=22

40(50)

0t t

--<，此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==，

综上，发车时间间隔为10分钟时，()

Q t t

最大. 【点睛】

本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达()P t 和()Q t .

23．已知函数()()ln 2,x

f x a x x e a R =--∈

()1当0a ≥时，讨论()f x 的导函数()'f x 在区间()1,+∞上零点的个数；

()2当(]1,0,1a x =-∈时，函数()f x 的图象恒在y x m =-+图象上方，求正整

数m 的最大值.

【答案】（1）当0a >时，()f x '在(1,)+∞存在唯一零点；当0a =时，()f x '在

(1,)+∞没有零点（2）3

【解析】（1）首先求()f x '，令()()g x f x '=，然后求()32

x

a x e

g x x

+'=-，讨论当0a =时，()0g x '<，判断函数()g x 的单调性和端点值，判断函数是否有零点；当0a >时，同样是判断函数的单调性，然后结合零点存在性定理，可判断函数是否存在零点；（2）由()f x x m >-+，参变分离求解出

ln (2)e x m x x x <---在(]0,1上恒成立，转化为求函数的最小值，设()ln (2)e x h x x x x =---，(0,1]x ∈，利用导数判断函数的单调性，求得函数

的最小值. 【详解】

解：（1）()()e (1)e (1)e x x x a a

f x x x x x

￠

=-+-=--. 令()(1)e x a g x x x =--，[1,)x ∈+∞，则322e ()e x x

a a x g x x x x +￠=--=-,

①当0a =时，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，又(1)0g a ==，所以对?1x >时，()(1)0g x g <=，此时()g x 在(1,)+∞不存在零点. ②当0a >时，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减.

又因为(1)0g a =>，取}

0max x a =，

则02000000()(1)e (1)(1)20x a a

g x x x x x x a

=

--<--+=-?，即0()0g x <. 根据零点存在定理，此时()g x 在(1,+∞）存在唯一零点.

综上，当0a >时，()f x '在(1,)+∞存在唯一零点；当0a =时，()f x '在(1,)+∞没有零点.

（2）由已知得ln (2)e x m x x x <---在(]0,1上恒成立.

设()ln (2)e x h x x x x =---，(0,1]x ∈，则1()(1)(e )x

h x x x '=--

因为01x <<时，所以10x ->，

设1()x

u x e x =-

，21()0x

u x e x

'=+>，所以()u x 在(0,1)上单调递增，

又1()202

u =

<，(1)10u e =->，由零点存在定理01

(,1)2

x ?∈，使得

0()0u x =，即00

1

x

e x =

,00ln x x =-， 且当0(0,)x x ∈时，()0u x <，()0h x '<，()h x 单调递减；当(]0,1x x ∈时，

()0u x >，()0h x '>，()h x 单调递增.

所以0

min 000000

2()()ln (2)e 21x h x h x x x x x x ==---=-+

， 又212y x x =-+

+在(0,1)上单调递减，而01

(,1)2

x ∈，所以0()(3,4)h x ∈， 因此，正整数m 的最大值为3. 【点睛】

本题第一问考查了判断函数零点个数的问题，这类问题需判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断，已知函数是单调函数的前提下，需满足()()0f a f b ?<，才可以说明区间(),a b 内存在唯一零点，但难点是有时候a 或b

不易求得，本题中}

0max

x a =，证明

02000000()(1)e (1)(1)20x a a

g x x x x x x a

=

--<--+=-?的过程中，用到了001x e x ≥+，

以及只有0x ≥时，才有2

020x -≤，这种赋端点值是比较难的.