第10讲 对数函数教师
第10讲
对数运算和对数函数
[玩前必备]
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log m n
a M ＝n m log a M .
(2)对数的性质①log a N
a
＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．
(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N
log a b
(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝
1
log b a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质
a >1
0 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0当0 (7)在(0，＋∞)上是减函数 [玩转典例] 题型一指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2 ＝14；(2)102＝100；(3)e a ＝16；(4)6431 - ＝1 4 ；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z . 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a .(4)log 6414＝－13 . (5)32＝9.(6)x z ＝y .[玩转跟踪] 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A.e 0＝1与log e 1＝0 B.83 1＝2与log 82＝ 13 C.log 24＝2与42 1 ＝2 D.log 33＝1与31＝3 答案C 解析 由指对互化的关系：a x ＝N ?x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2?22＝4.题型二对数运算性质的应用 例2 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245；(2)lg 25＋2 3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. (3)35 3 log 1+－2 3 2 log 4+＋103lg35 2 log . 解 (1)原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4 ＝lg(2·5)＝lg 10＝1 2.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝ 3. (3)3 5 3 log 1+－2 3 2 log 4+＋10 3lg3 5 2 log ＝3×3 5 3 log －24 ×2 3 2log ＋(10lg3)3 ＋(2 5 2 log ) －1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295 .[玩转跟踪] 1.计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2) lg 3＋25lg 9＋3 5lg 27－lg 3 lg 81－lg 27 (3)1)943log 2 1+5 2 5 log 1+. 解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝(4－3)lg 3＝115. (3)14.题型三换底公式的应用 例3已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.解 方法一 由18b ＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ，所以 log 3645＝log 1845 log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b 2－a . 方法二 设log 3645＝x ，则36x ＝45，即62x ＝5×9， 从而有182x ＝5×9x ＋ 1，对这个等式的两边都取以18为底的对数， 得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189，又18b ＝5，所以b ＝log 185.所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝ a ＋ b 2－a ，即log 3645＝a ＋b 2－a .[玩转跟踪] 1.(1)(log 29)·(log 34)等于() A.14 B.12 C.2 D.4 (2)log 2125·log 318·log 51 9＝________. 答案(1)D (2)－12 解析 (1)(log 29)·log 34＝(log 232)·(log 322)＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4. (2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5 ＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3) lg 2lg 3lg 5＝－12. 题型四 对数函数的概念 例4 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数.(3)自变量在底数位置上，不是对数函数.(4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数.[玩转跟踪] 1.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为() A.y ＝log 2x B.y ＝2log 4x C.y ＝log 2x 或y ＝2log 4x D.不确定 答案A 解析 设对数函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2， ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x . 题型五 对数函数的图象 例5 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，1 10 ，则相应于c 1、 c 2、c 3、c 4的a 值依次为() A.3、43、35、 110B.3、43、110、 35C.43、3、35、110D.43、3、110、35答案A 解析 方法一 观察在(1，＋∞)上的图象，先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图象靠近x 轴的 底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、4 3.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图象靠近x 轴的底小， c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、1 10.故选A. 方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等 于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、1 10，故 选A.[玩转跟踪] 1.(1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点() A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1) (2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则() A.0＜a ＜b ＜1 B.0＜b ＜a ＜1 C.a ＞b ＞1 D.b ＞a ＞1答案(1)D (2)B 解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1， 故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1). (2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 题型六 对数函数的性质和应用 角度一:对数函数的定义域例6 (1)函数f (x )＝1 1－x ＋lg(1＋x )的定义域是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝1 log 21(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) －1 2 ，－1 2，＋∞ －12，(0，＋∞)－12 ，答案(1)C (2)C 解析 (1)＋x ＞0，－x ≠0， 解得x ＞－1且x ≠1. (2)x ＋1＞0，x ＋1≠1， 解得x ＞－1 2 且x ≠0. 角度二:对数函数单调性的应用例7求函数y ＝log 2 1(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值. 解 要使y ＝log 2 1(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，即－1＜x ＜1， 因此函数的定义域为(－1,1).令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，若x 增大，则t 增大，y ＝log 2 1t 减小， ∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 2 1(1－x 2)是减函数； 同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 2 1(1－x 2)是增函数. 故函数y ＝log 2 1(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 2 1(1－02)＝0. 例8比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；(3)log 30.2，log 40.2；(4)log 3π，log π3.解 (1)因为函数y ＝ln x 是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2. (2)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2.(3)方法一因为0＞log 0.23＞log 0.24， 所以 1log 0.23＜1 log 0.24 ，即log 30.2＜log 40.2.方法二 如图所示 由图可知log 40.2＞log 30.2. (4)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1.同理，1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3.角度三:对数函数的综合应用例9 已知函数f (x )＝log a x ＋1 x －1 (a ＞0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性和单调性. 解 (1)＋1＞0，－1＞0 ＋1＜0，－1＜0. 解得x ＞1或x ＜－1， 此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞). (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1 x －1 ＝－f (x ). 又由(1)知f (x )的定义域关于原点对称，∴f (x )为奇函数.f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2 x －1)， 函数u ＝1＋2 x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减. 所以当a ＞1时，f (x )＝log a x ＋1 x －1 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0＜a ＜1时，f (x )＝log a x ＋1 x －1 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增.[玩转练习] 1.2－ 3＝18化为对数式为( ) A.log 8 12＝－3 B.log 8 1(－3)＝2 C.log 21 8＝－3 D.log 2(－3)＝ 18 答案C 解析 根据对数的定义知选C. 2.若log a 5 b ＝ c ，则下列关系式中正确的是() A.b ＝a 5c B.b 5＝a c C.b ＝5a c D.b ＝c 5a 答案A 解析 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5 b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c . 3.方程2x 3 log ＝1 4 的解是() A.x ＝ 19 B.x ＝ 33 C.x ＝3 D.x ＝9 答案A 解析 ∵2 x 3 log ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19 .4.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋ n 等于() A.5 B.7 C.10 D.12答案D 解析 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋ n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12. 5.log 242＋log 243＋log 244等于()A.1 B.2C.24 D.1 2 答案A 解析 log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 6.化简1 2log 612－2log 62的结果为( )A.62 B.122C.1 2log 63 D.12 答案C 解析 原式＝log 612－log 62＝log 6 122＝log 63＝1 2log 63.7.计算log 916·log 881的值为()A.18 B. 118C.83 D. 38 答案C 解析 log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝8 3 . 8.计算下列各式的值：(1) lg 2＋lg 5－lg 8 lg 5－lg 4 ； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 1 6 ＋lg 0.06.解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2 1－3lg 2 ＝1. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.9.下列函数是对数函数的是() A.y ＝log a (2x ) B.y ＝log 22x C.y ＝log 2x ＋1 D.y ＝lg x 答案D 解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合. 10.函数f (x )＝1 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是() A.(－1 3，＋∞) B.(－∞，－1 3) C.(－13，13) D.(－13 ，1) 答案 D 解析－x ＞0，x ＋1＞0， 可得－1 3 ＜x ＜1. 11.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是() 答案A 解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除 C 项，当0 D 项，故A 项正确.12.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________.答案(2,1) 解析 函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0， ∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1).13.比较下列各组数的大小：(1)log 22________log 23；(2)log 32________1；(3)log 3 14________0. 答案(1)＜(2)＜(3)＜ 解析 (1)底数相同，y ＝log 2x 是增函数，所以log 22＜log 23. (2)log 32＜log 33＝1.(3)log 3 14＜log 311＝0. 14.若集合A | log x ≥ 12 ?R A 等于() A.(－∞，0] C.(－∞，0]∪2 2，＋∞ D.2 2，＋∞答案A 解析 log 21x ≥12，即log 21x ≥log 2 122，∴0＜x ≤2 2， 即A |0＜x ≤2 2∴?R A |x ≤0，或x ＞2 2 故选A. 15.函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是() A.0 B.1 C.2 D.a 答案C 解析 ∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log a x 在[a 2，a ]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a 2)＝log a a 2＝2. 16.函数f (x )＝lg(1x 2＋1＋x )的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数 答案A 解析 f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg( 1x 2＋1－x )＋lg( 1 x 2＋1＋x )＝lg 1 (x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，选A. 17.函数y ＝log 3 1(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是( ) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(－2,2) D.(－2,6) 答案C 解析 y ＝log 3 1u ，u ＝－x 2＋4x ＋12.令u ＝－x 2＋4x ＋12＞0，得－2＜x ＜6. ∴x ∈(－2,2)时，u ＝－x 2＋4x ＋12为增函数，∵y ＝log 3 1(－x 2＋4x ＋12)为减函数， ∴函数的单调减区间是(－2,2). 18.已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1 2)＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是________. 答案 {x |1 2 ＜x ＜2} 解析 由题意可知，f (log 4x )＜0?－12＜log 4x ＜12?log 4421 ＜log 4x ＜log 4421 ?1 2 ＜x ＜2. 19.已知f (x )＝(log 2 1x )2－3log 2 1x ，x ∈[2,4].试求f (x )的最大值与最小值. 解 令t ＝log 21x ，则y ＝t 2－3t ＝(t －32)2－9 4，∵2≤x ≤4，∴log 214≤log 21x ≤log 2 12， 即－2≤t ≤－1.可知y ＝(t －32)2－9 4在[－2，－1]上单调递减. ∴当t ＝－2时，y 取最大值为10；当t ＝－1时，y 取最小值为4.故f (x )的最大值为10，最小值为4. 第10讲 对数运算和对数函数 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①log a N a ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质 (1)定义域：(0，＋∞) [玩转典例] 题型一 指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a ＝16；(4)6431 -＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z . [玩转跟踪] 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.e 0＝1与log e 1＝0 B.831＝2与log 82＝13 C.log 24＝2与421＝2 D.log 33＝1与31＝3 题型二 对数运算性质的应用 例2 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23 lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. (3)3 53log 1+－232log 4+＋103lg3＋????1252log . [玩转跟踪] 1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27 (3)1)9 43log 21+525log 1+. 题型三 换底公式的应用 例3 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 2. 2.1第一课时 对数的概念教案 【教学目标】 1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化 2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力【教学重难点】 重点：对数的概念 难点：对数概念的理解. 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、情景导入、展示目标。 （一）复习引入： 1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ 2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：1. ＝？，＝0.125x=? 2. =2x=? 也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？ （二）新授内容： 定义：一般地，如果 的b 次幂等于N, 就是 ，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 例如： ; ; 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵， ∵对任意 且 , 都有 ∴ 同样易知： ⑶对数恒等式 如果把 中的 b 写成 , 则有 421??? ??x ?? ? ??21?()x %81+?()1,0≠>a a a N a b =b N a =log 1642=?216log 4=100102 =?2100log 10=242 1=?2 12log 4= 01.0102 =-?201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10 =a 01log =a 1log =a a N a b =N a log N a N a =log 课时跟踪检测(十)对数与对数函数[高考基础题型得分练] 1．[2018·四川泸州一诊]2lg 2－lg 1 25的值为() A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：2lg 2－lg 1 25 ＝lg ? ? ? ? ? 22÷ 1 25 ＝lg 100＝2.故选B. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝() A．log2x B.1 2x C．log1 2 x D．2x－2答案：A 解析：由题意知f(x)＝log a x， ∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x. 3．[2018·河北衡水中学调研卷]若0 A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案：B 解析：由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10， ∴5a ＝10c,5d ＝10， 同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1 d ，即a ＝cd . 5．[2018·福建朋口中学高三上期末]已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 答案：B 解析：因为f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，所以f (0)>f (1)， 即log a 2>log a (2－a )，所以?? ? a >1，0<2－a <2， 所以10， 3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1)) ＋f ? ? ? ??log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.7 2 答案：A 解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0， 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．如果 ，那么x ，y,1的大小关系是________． 解析 ∵ 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 1＜y ＜x 2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －1 3．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是? ????23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2 4．已知f (x )＝??? 2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________． 解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2) 6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =，20.3b -=， 12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是 （） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c b a >> D ．b a c >> 4、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如 [2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A ．21 B ．76 C ．264 D ．642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、，则log a b 的不同取值个数为（ ） A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若， ，则（ ） A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点（） A ．(0,1)B ．(2,1)C ．(3,1)D ．(3,2) 9、三个数03770.30.3.，，，㏑，从小到大排列（） A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37，㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,，㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（） A ． B ． C.D ． 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（） A ．11f() 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重 要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 0 第13讲：对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质 2、反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三、自主热身、归纳总结 1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ????－∞，32 B . ?? ??－∞，32 C . ????32，＋∞ D . ????32，＋∞ 2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 3、函数2 2()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2 -∞- C ．3(,)2 +∞ D ．(4,)+∞ 4、（2019秋?菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 四、例题选讲 考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ． 第6讲 对数与对数函数 1．对数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以? ????x ≥0， 1－x >0，解得0≤x <1. 函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 5 2 ＋2lg 2－????12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－????12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 (教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式： 第二章 函数的概念与基本初等函数I 第五讲 对数与对数函数 1.[2021江苏省镇江中学质检]若函数f (x )=a x -2 ,g (x )=log a |x |(a >0,且a ≠1),且 f (2)·g (2)<0,则函数f (x ),g (x )在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ) A B C D 2.[2021河北省张家口市宣化区模拟]若函数f (x )=lo g 13 (x 2 +2a -1)的值域为R,则a 的取值范围 为( ) A.(-∞,1 2] B.(-∞,1 2 ) C.[1 2 ,+∞) D.(1 2 ,+∞) 3.[2021湖北省四地七校联考]设a =lo g 12 3,b =(1 2 )3 ,c =312 ,则( ) A .a ab B.a +b 2019版新教材数学课外辅导讲义——第一册第10讲 对数函数
第6讲 对数与对数函数
(完整word版)对数与对数函数练习题及答案
A1-1-10对数的概念与性质
对数与对数函数 10
2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数
对数和对数函数测试题(卷)
指数函数 和 对数函数公式 (全)
带答案对数与对数函数经典例题.
对数及对数函数典型例题精讲
对数函数讲义(可直接使用).
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版
第13讲 对数函数(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
6 第6讲 对数与对数函数
20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲 对数与对数函数 2