解直角三角形的仰角俯角问题
解直角三角形的仰角俯角问题
仰角和俯角是解直角三角形问题中常见的概念。在直角三角形中，仰角是锐角的补角，而俯角是锐角的余角。
1.仰角：在直角三角形中，与直角的锐角相邻的角叫做仰角。仰角是锐角的
补角，即仰角= 90° - 锐角。
2.俯角：与直角的锐角相对的角叫做俯角。俯角是锐角的余角，即俯角= 锐
角。
解这类问题时，通常需要利用三角函数的性质和关系，如正切、正弦、余弦等，以及直角三角形的边和角的关系，如勾股定理等。
以下是一个简单的例子：
题目：一个塔的高度是30米，从塔顶测得某建筑物顶部的仰角为24°，从地面测得该建筑物顶部的俯角为66°，求这个建筑物的高度。
解：设建筑物的高度为h 米。
根据三角函数的性质和关系，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离= 塔的高度× 正切(仰角) = 30 × tan(24°)。
建筑物顶部到底部的距离= 建筑物的高度× 正切(俯角) = h × tan(66°)。
由于直角三角形中的勾股定理，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离^2 + 建筑物顶部到底部的距离^2 = 塔高度的^2。代入已知数值，我们可以得到一个关于h 的方程，并解出h 的值。
人教版数学九年级下28.2.2第2课时利用仰俯角解直角三角形教案及教学反思
28.2.2 应用举例 第2课时利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ， 得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即 x －1.5 x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894 . 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角） 一、知识点讲解 1、仰角和俯角的定义： 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。二、典例分析 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题 例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 变式练习： 1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为 A、50 B、51 C、50+1 D、101 第1题第2题第3题 2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点 A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。 3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号） 4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）
反馈练习 基础夯实 1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1 200m D 、 2400m 第1题 第2题 第3题 第4题 2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米 B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。（用含α、β、a 的式式表示） 4、如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 5、观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房 的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测 观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求 观光塔的高CD 是 m ． 6、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶点F 的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B 点后测得峰顶点F 的俯角为45°，如图2，请根据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：732.13≈，414.12≈） 能力提升
解直角三角形的应用--仰角,俯角
知识点 1、仰角、俯角 铅垂线： 水平线： 视线： 视角： 仰角：从______看，_____与_____的夹角 俯角：从______看，_____与_____的夹角 2、方向角：在平面上过观测点O ，画一水平线和一条铅垂线，则从点O 出发的视线与铅垂线的夹角，叫做点O 的方向角。 注：（1）方向角通常以南北方向线为主分，分南偏和北偏（东、西） （2）观测点不同，所得方向角不同，但各观测点的南北方向线是互相平行的。 3 、方位角：从某点的正北方向线按顺时针方向转到目标方向的水平角叫做方位角。 1、如图，为了测量电线杆的高度AB,在离线电线杆22.7米的C 处，用高为1.20米的测角仪CD 测量电线杆顶端B 的仰角α=220,求电线杆的高度（精确到0.1米） 2、为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为450，再前进20米取一点D ，使点D 在BC 的延长线上，此时得A 的仰角为300，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB 的高度。 3、 4、小王同学在学校某建筑物的C 处测得顶部A 的仰角为300，旗杆底部B 的俯角为450，若旗杆底部点B 到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶点A 离地面的高为多少米 总结：两个基本图形 BC=AD(cot α+cot β) BC=AD(cot α-cot β) 提升： 1、如图,A 城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A 城南偏东300的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到A 城南偏东450的方向，若台风中心120海里将受台风影响， (1)问A 城是否受9号台风影响？ (2)若受到台风影响，A 城什么时候受到台风影响？什么时候脱离台风影，受台风影响几个小时 分析：A 城是否受9号台风影响，就是要看A 城 到台风中心的距离是否大小120海里。台风中心是运动的，而A 城与台风中心的距离是变化的，因而只看A 城到台风移动路线BC 的距离是否大于120海里。 C D B A A B F C E D G O 北 B A C A B C D α β A B β α D A B C
解直角三角形的应用：俯角仰角问题 (解析版)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°． (1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）； (2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732） 【答案】(1)52m (2)1.1m/s 【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可； （2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论． （1） ⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°． ⊥∠DBA=60°， 在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m， =tan∠DBA, ⊥AD BD ⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)， 所以，求热气球A离地面的高度约为52m； （2） 过点C作CE⊥BD于点E，如图， 则四边形ADEC是矩形， ⊥CE=AD=52,AC=DE ⊥∠ACB=45°， ⊥∠EBC=∠ECB=45°,
⊥△BCE是等腰直角三角形， ⊥BE=CE=52(m)， ⊥BD=30m， ⊥DE=BE−BD=52−30=22(m) ⊥AC=22（m） ⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形． 2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求： (1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？ (2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长． 【答案】(1)80√3米 (2)AD=800 米 7 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC； （2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长． （1） 解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，
《利用仰俯角解直角三角形》教案
28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点 ) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一 座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN
中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看 到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°. 若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △ AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30× 33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得 河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2 ≈1.41，3≈1.73)? 解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018南京.中考模拟) 如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC． (参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 2、 (2017南京.中考模拟) 图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85， cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 3、
(2018安徽.中考模拟) 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB． 4、 (2019宁津.中考模拟) 数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，此学生身高CD=1.7m，求大树的高度AB的值.（结果保留根号） 5、 (2018莘.中考模拟) 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）． 6、 (2020十堰.中考模拟) 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 能量储备 仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上 看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角。 通关宝典 ★ 基础方法点 方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。 例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测 得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。 (1)求大楼与电视塔之间的距离AC ； (2)求大楼的高度CD (精确到1米)。 解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°， ∴ AC ＝AB ＝610米。 答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。 (2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。 在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE ，得BE ＝DE·tan 39°。 又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。 答：大楼的高度CD 约为116米。 例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)
解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米． ∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61° . 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42° . ∵ CE ＝120＋x tan 61° ， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61° ， 解得x ≈215.7， ∴ x ＋1.2≈217(米)． ∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。 ★★易混易误点 易混易误点: 在解直角三角形的相关问题时，审题不清，术语理解错误 例：如图24433所示，在某海岛上的观察所A 发现海上某船B ，并测得其俯角α＝ 8°14′.已知观察所A 的标高(当水位为0 m 时的高度)为43.74 m ，当时水位为＋2.63 m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC .(精确到1 m ) 解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝α＝8°14′，AD ＝43.74 m ，CD ＝2.63 m ， ∴ AC ＝AD －CD ＝41.11(m )。 ∴ BC ＝AC tan 8°14′ ＝41.11÷tan 8°14′≈284(m )。 答：观察所A 到船只B 的水平距离BC 约为284 m 。 蓄势待发 考前攻略 中考真题和教材复习题都是与仰角有关的解直角三角形的实际问题，解答此类问题的关键是寻找或构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数来表示某些量，根据题中的等量关系列出方程，进而解决问题． 完胜关卡
九年级数学解直角三角形之仰角、俯角优秀教案
单元主题解直角三角形课题解直角三角形之仰角、俯角 学习目标 知识 了解仰角、俯角的概念，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 技能稳固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 学习重点用三角函数有关知识解决观测问题 学习难点学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 学习过程疑问 收获◆正面思考自主学习感悟新知 自主预习课本，完成以下问题： 探究：俯角、仰角的概念 1、平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线 来说可有几种情况？ 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视 线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫 做俯角． 2、如图，为了测量旗杆的高度AB，在离电线杆10米的D处，用高1.20米的测角仪 CD测得电线杆顶端A的仰角α＝52°。求电线杆AB的高。〔〕
◆反面质疑交流辩论理解新知 从A点看B点的俯角是55°，则从B点看A点的仰角是_______，他们的关系是。 ◆合学共商互助双赢形成新知 例：如图，在某建筑物AC上挂着一幅的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，•测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．〔小明的身高忽略不计，结果精确到〕
◆当堂检测： 1、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机看地面控制点B 的俯角α＝30°。求飞机A 到控制点B 的距离。〔精确到1米〕 2、两座建筑物DA 与CB ，其地面距离DC 为50米，从DA 的顶点A 测得CB 顶部B 的仰角=α20°，测得其底部C 的俯角=β35，求这两座建筑物的高度。
《解直角三角形及其应用(仰角俯角问题)》教案
《解直角三角形及其应用（仰角俯角问题）》教案 一、教学目标 知识与技能：使学生了解方位角的意义及在解直角三角形中的应用． 过程与方法：结合实际问题，弄清方位角等概念，通过引导让学生解决一些实际问题，学生掌握解决仰角俯角类应用题的方法、思路情感态度价值观：运用数形结合思想，把实际问题转化为解直角三角形的问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流能力，培养学数学、用数学的思想． 二、教学重难点 重点：利用方位角测量、计算物体的高度、宽度等 难点：将实际问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学方法 探究教学法、讨论法、练习法 四、教学过程 1、复习旧知，引入新知 仰角、俯角定义：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方
的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角. 2、创设情境，引入例题 播放课前准备好的微课短视频，一边播放引导学生思考 （1）王同学是如何利用含30度的三角板测出仰角俯角的？你能动手示范出来吗？ （2）把实际问题转化为几何图要注意什么？ （3）这类题目我们遇到过很多了，你能总结一下该如何作辅助线？思路是什么？ 小组讨论交流问题，并完成测国旗例题和书本测金字塔例题，找学生代表上来讲解，不同的学生有不同的方法，这样不仅拓展了学生的思维，也调动了学生积极性活跃了课堂氛围. 3、加深练习，贴近中考 例（2018安徽19题10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个
平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F 处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数) (参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02) 学生独立完成后讨论交流，找几个学生上黑板讲解自己的方法，对上来讲解的同学鼓励表扬，最后几种方法解决本题. 4、小结反思 学生自由发言，总结自己本节课收获和感悟. 五、作业 （1）完成进阶练习最后一题 （2）用自己的方法测量我们学校的国旗 六、板书设计
第1课时 仰角、俯角与解直角三角形教案
第1课时仰角、俯角与解直角三角形 本课时是在熟练掌握解直角三角形的基础上探究仰、俯角问题，常用来解决实际生活中的测量问题，利用其解决实际问题的一般过程是：“实际问题——数学问题——数学问题的答案——实际问题的答案”．在教学过程中要注意让学生结合具体问题，并且引导学生通过作垂线来构造直角三角形，同时将这一过程与运用方程、函数、不等式解决实际问题的过程进行比较，让学生进一步体会运用数学知识解决实际问题的一般过程． 【情景导入】小明班的教室在教学楼的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAD，∠BAD在测量中各叫什么角呢？ 【说明与建议】说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求． 建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念． 命题角度1 利用仰角解决实际问题 根据题意，画出示意图，确定已知角，构造直角三角形，再通过解直角三角形解决问题． 1．(达州中考)小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高
度是1 m，则大树AB的高度约为11m.(结果精确到1 m．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 命题角度2 利用俯角解决实际问题 根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解方程并回答相应的问题． 2．(广西中考)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为(30－103)米(结果保留根号)． 命题角度3 综合利用仰角、俯角解决实际问题 通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题． 3．(阜新中考)如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为57m(结果精确到1 m，3≈1.7)． 三角学的历史 早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．古希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯(Menelaus of Alexandria，公元100年左右)著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉(Varahamihira，约505―587) 最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一此阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁(Nasīral－Dīn al－Tūsī，1201—1274)的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题 专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018锦州.中考真卷) 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云 梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4, ≈1.4） 2、 (2022本溪.中考模拟) 如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51） 3、
(2018河东.中考模拟) 小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，36°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan36°≈0.73． 4、 (2017兰州.中考模拟) 如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度 为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）． 5、 (2018吉林.中考模拟) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC． （精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84） 6、 (2018方城.中考模拟) 如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C 之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
华师大版九年级数学上册导学案含答案-7 24.4 第2课时 仰角、俯角问题
第24章 解直角三角形 24.4解直角三角形 第2课时 俯角、仰角问题 学习目标： 1.理解仰角、俯角的概念（重点）. 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）. 自主学习 一、新知预习 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______． 合作探究 一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】 如图，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，从B 出发沿着BC 方向向前走1000 m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山的高度AC (结果保留根号)． 【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解． 【问题2】 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么旗杆AB 的高度是( ) A ． (82＋83)m B ．(8＋83)m C ．(82＋833)m D ．(8＋83 3)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两 个问题来解直角三角形． 【针对训练】 1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC .
2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38). 二、课堂小结 仰角俯角问题图解 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角 中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当 视线在水平方向下时，叫做_____角 当堂检测 1．如图某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞机高度AC＝b（m），从飞机上看地面上挥台B的俯角为α，则飞机A到指挥台B的距离为（） A．m B．b cosαm C．m D．B sinαm 第1题图第2题图 2．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，若测角仪的高度是1.6m，则旗杆AB的高度约为（）（精确到0.1m，参考数据：＝1.73） A．8.6m B．8.7m C．10.2m D．10.3m 3．为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE
解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
2013中考全国100份试卷分类汇编 解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． x
x ED=x=4 x=2 =2 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
4、（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（ ） m =25 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°=1 2 AB=100m