解直角三角形的应用：俯角仰角问题 (解析版)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题）
1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．
(1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）；
(2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732）
【答案】(1)52m
(2)1.1m/s
【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可；
（2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论．
（1）
⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．
⊥∠DBA=60°，
在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m，
=tan∠DBA,
⊥AD
BD
⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)，
所以，求热气球A离地面的高度约为52m；
（2）
过点C作CE⊥BD于点E，如图，
则四边形ADEC是矩形，
⊥CE=AD=52,AC=DE
⊥∠ACB=45°，
⊥∠EBC=∠ECB=45°,
⊥△BCE是等腰直角三角形，
⊥BE=CE=52(m)，
⊥BD=30m，
⊥DE=BE−BD=52−30=22(m)
⊥AC=22（m）
⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形．
2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：
(1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？
(2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长．
【答案】(1)80√3米
(2)AD=800
米
7
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC；
（2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长．
（1）
解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，
则四边形ABEF是矩形，
⊥AF=BE，EF=AB，
在Rt⊥ADF中，AD=140，⊥F AD=30°，
AD=70，AF=AD⋅cos30°=70√3，
⊥DF=1
2
在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，
=10√3，
⊥CE=DE
tan60°
⊥BC=BE+CE=80√3（米）；
（2）
设CD=√3x，AD=4x，
在Rt⊥ADF中，⊥F AD=30°，
AD=2x，
⊥DF=1
2
在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，
x，
⊥DE=CD⋅sin60°=3
2
⊥DF+DE=EF=100，
，
解得x=200
7
⊥AD=4x=800
（米）．
7
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键．
3．（2022·浙江台州·二模）“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN 的长度约为多少米？（结果保留一位小数）．
【答案】0.7米
【分析】延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=1（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．
【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，
则AE=AD-DE=2.6-1.6=1（米），
在Rt⊥ABE中，⊥ABE=30°，
⊥BE=√3AE=√3，
在Rt⊥ACE中，⊥ACE=45°，
=1，
∴CE=AE
tan45°
∴MN=BC=BE−CE=√3−1≈1.73−1≈0.7（米），
答：对小明来说，有效测温区间MN的长度约为0.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
4．（2022·浙江台州·二模）2022年2月4日晚，当我国运动员迪妮格尔·衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第24届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式，小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置（点O）观测“大雪花”的顶部A的仰角α为12.8°，底部B的俯角β为15.3°，已知“大雪花”高AB约14.89 m，求小华的位置离“大雪花”的水平距离OC．（结果精确到0.l m，参考数据：tan12.8°≈0.23，sin12.8°≈0.22，tan15.3°≈0.27，sin15.3°≈0.26）
【答案】小华的位置离“大雪花”的水平距离OC约为29. 8 m
【分析】通过解RtΔAOC和RtΔBOC得AC=OC tan12.8°，BC=OC tan15.3°，再根据AC+BC= AB求出OC的长即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴tanα=AC
OC ，tanβ=BC
OC
，
⊥AC=OC tanα，BC=OC tanβ．
又AB=14.89 m，且AC+BC=AB
∴OC(tanα+tanβ)=14.89,
即(0.23+0.27)OC≈14.89，
解得OC≈29. 8 m．
【点睛】本题考查仰角和俯角的定义，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．
5．（2022·浙江宁波·九年级期末）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角∠FAB=α，点C处的俯角∠FAC=37°，线段AD的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，tanα=3，BD=25米．
(1)求无人机的飞行高度AD．
(2)求河流的宽度BC．（参考数据；sin37°≈0.60，cossin37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)75米
(2)75米
【分析】（1）在Rt⊥ABD中，由锐角三角函数定义求出AD的长即可；
（2）在Rt⊥ADC中，由锐角三角函数定义求出CD的长，即可解决问题．
（1）
由题意得：AF⊥CD，
⊥⊥F AB=⊥ABD=α，⊥F AC=⊥ACD=37°，在Rt⊥ABD中，tan⊥ABD=AD
BD
，
⊥tanα=3，BD=25米，
⊥AD=BD•tanα=25×3=75（米），
答：无人机的飞行高度AD为75米（2）
在Rt⊥ACD中，tan⊥ACD=AD
CD
，
⊥CD=AD
tan∠ACD =75
tan37°
≈75
0.75
=100（米），
∴BC=CD−BD=100−25=75（米），
答：河流的宽度BC为75米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
6．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，小刚想测量学校的旗杆AB的高度，他先站在C点处观察旗杆顶端A点，测得此时仰角为45°．然后他爬上三楼站在D处观察旗杆顶端A，此时的仰角为30°．已知三楼的高度即CD=10米．请帮小刚计算求出旗杆AB的高度．（小刚的身高不作考虑，最后结果保留根号．）
【答案】旗杆AB的高度为(15+5√3)米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，证明四边形DCBE是矩形，得BE=CD=10米, 设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10，通过解直角三角形ADE即可得到结论．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
⊥∠DEB=90°
又∠DCB=∠CBE=90°
⊥四边形DCBE是矩形
⊥BE=CD=10米，ED=BC
⊥∠ACB=45°
⊥∠CAB=45°
⊥BA=BC
设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10在Rt⊥ADE中，tan∠ADE=AE
DE
⊥x−10
x =tan30°，即x−10
x
=√3
3
解得，x=15+5√3
即AB=15+5√3
答：旗杆AB的高度为(15+5√3)米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
7．（2022·浙江金华·九年级期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，
参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【答案】37.2米
【分析】过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，在Rt△AHF =tan32°≈0.62，列出方程，解方程求解可得AH，根据AB=AH+HB 中，tan∠AFH=AH
HF
即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，
设AH=x，∵∠ADH=45°，
=AH，
∴HD=AH
tan∠ADH
根据题意可得四边形CDFE是矩形，
则CE=DF=22,CD=EF=HB=1.3，
=tan32°≈0.62，
在Rt△AHF中，tan∠AFH=AH
HF
≈0.62，
∴x
x+22
解得x≈35.9，
∵AB=AH+HB=35.9+1.3=37.2（米）
答：嵩岳寺塔AB的高度为37.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的使用三角函数是解题的关键．8．（2022·浙江台州·一模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行140米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求她滑行的水平距离BC约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）
【答案】138.6米
【分析】作DE⊥AB于E于F,DF⊥BC，在Rt△ADE中，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE和DE的长，再根据线段的和差关系求出BE长，再证明四边形EBFD为矩形，求出DF 和BF长，然后在Rt△CDF中计算出CF长，最后求BF和CF长之和即可．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F，
在Rt△ADE中，
⊥∠DAE=90°−30°=60°，
⊥∠ADE=90°−∠DAE=30°，
AD=70米，
AE=1
2
DE=√3AE=70√3米，
⊥BE=AB−AE=100−70=30米，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ABC=90°，
⊥四边形EBFD为矩形，
⊥BE=DF，DE=BF，
⊥DF=30米，BF=70√3米，
在Rt△CDF中，
⊥∠CDF=90°−60°=30°，
DF=10√3米，
⊥CF=√3
3
∴BC=80√3≈80×1.732=138.56≈138.6米．
答：她滑行的水平距离BC约为138.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知量和未知量相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
9．（2022·浙江台州·一模）如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道AB，在规划中首先需要测量A，B之间的距离．无人机保持离水平道路240m的竖直高度，从点A的正上方点C出发，沿正东方向飞行600m到达点D，测得点B的俯角为37°．求AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）
【答案】280m
【分析】过点B作BE⊥CD于E，则由矩形性质可得BE的长，在Rt△BDE中，由正切可得出DE的长，即可求得．
【详解】解：过点B作BE⊥CD于E，
⊥四边形ABEC是矩形，
⊥BE=AC=240m，AB=CE，
，
在Rt△BDE中，tan∠BDE=BE
DE
≈0.75，
即：240
DE
∴DE≈320m，
∴CE=CD−DE≈280m，
∴AB=CE≈280m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角形函数以及添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．
(1)求点B′到地面的距离；
(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
(3)一辆高1.6m，宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：√3≈1.73，π≈3.14，所有结果精确到0.1)
【答案】(1)2.8m
(2)3.1m
(3)汽车能安全通过，理由见解析
【分析】（1）过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；
（2）根据弧长公式解答即可；
（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
（1）
解：如图，过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，
∵AB′=AB=3，∠BAB′=60°，
∴B′E=AB′sin60°=3×√3
2=3√3
2
≈2.6m，
∴B′N=B′E+EN=2.6+0.2=2.8m；
（2）
∵点C′是点C绕点D旋转60°得到，
∴点C经过的路径长为60×π×3
180
=π≈3.1m；
（3）
在OM上取MK=0.4m，KF=1.5m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB′于点G，当汽车与BC保持安全距离0.4m时，
∵汽车高度为1.6m，
∴OF=3−1.5−0.4=1.1m，
∵AB//OM，AO⊥OM，
∴AH=OF=1.1m，∠AHG=90°，HF=OA=0.2m，
∴GH=1.1×tan60°=1.1×√3≈1.903m，
∵GH+HF=1.903+0.2≈2.1m>1.6m，
∴汽车能安全通过．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）
(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
(2)求路段AB的长；（√3≈1.7，结果保留整数）
(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当P A过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？
【答案】(1)4米
(2)8米
(3)不超速，计算过程见详解
【分析】（1）先求出∠PBQ的度数，再利用三角函数求BQ的长；
（2）通过做辅助线构造直角三角形P AE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长；
（3）通过做辅助线，构造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速．（1）
解：∵电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°，
∴∠QPB=90∘−70∘=20∘，
∵∠PQB=90∘，
∴∠PBQ=70∘，
∵PQ
BQ
=tan∠PBQ=tan70∘，
∴BQ=
PQ
tan70∘
≈
11
2.75
=4
即路段BQ的长为4米．
（2）
如图，过点A作AE⊥PQ，垂足为E，
过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G，
∵坡AB的坡比为3：4
设BG=4x，AG=3x,
在Rt△ABG中，根据勾股定理，
AB=√AG2+BG2=5x，
∵AE=QG=4x+4，
EQ=AG=3x，
∴PE=PQ−EQ=11−3x，
∵电子眼照射在A处时俯角为30°，
∠APE=60∘
在Rt△PBQ中，
四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
(1)如图2，当道闸打开至⊥ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至⊥ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】(1)PF=2米
(2)轿车能驶入小区；理由见解析
【分析】（1）在Rt⊥PDQ中，由⊥PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，进而求出FP即可；
（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案．
（1）解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，如图所示：
由题意可知，⊥ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt⊥PDQ中，⊥PDQ＝45°，PQ＝1.2−0.2＝1米，∴∠DPQ=90−45°=45°，∴∠PDQ=∠DPQ=45°，⊥DQ＝PQ＝1（米），⊥PF＝EN=AB−DQ＝3−1＝2（米）．
（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，则⊥DPQ＝36°，PQ＝1.6−0.2＝1.4（米），⊥DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），⊥PF＝3−1.022≈1.98（米），⊥1.98＞1.8，⊥能通过．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关
键．
13．（2022·浙江宁波·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC=100m，坡面AB的坡比为1:0.7（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角∠DBE，∠DBF分别为45∘，28∘．
(1)求山脚A到河岸E的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）
【答案】(1)山脚A到河岸 E 的距离为30m
(2)河宽EF的长为88.7m
【分析】（1）由坡比可求AC的长，由平行线的性质可知∠BEC=∠DBE=45°，∠CBE=
∠BEC=45°，可知CE=BC，根据AE=CE−AC计算求解即可；
（2）由题意知∠BFC=∠DBF=28°，由CF=BC
tan28°
求出CF的值，根据EF=CF−CE计算求解即可．
（1）解：⊥坡面AB的坡比为1:0.7，BC=100m，⊥AC=70m，⊥∠BEC=∠DBE=45°，⊥∠CBE=∠BEC=45°，⊥CE=BC=100m，⊥AE=CE−AC=30m，⊥山脚A到河岸E的距离为30m．
（2）解：⊥∠BFC=∠DBF=28°，⊥CF=BC
tan28°=100
0.53
≈188.67m⊥EF=CF−CE≈
88.7m．⊥河宽EF的长为88.7m．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段的数量关系．
14．（上海市闵行区2022-2023学年九年级上期中学期数学试卷）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°．已知测角仪的高AB为√3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离．
【答案】3米
【分析】过A 作AM 垂直于CD ，垂足为M ，根据含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理求出CM ，根据勾股定理得到DE 的长，由BD 的长减去DE 的长即可求出BE 的长. 【详解】解：如图：
过A 作AM 垂直于CD ，垂足为点M ，
则AM =BD =6米，MD =AB =√3米，∠AMC =90°， ∵∠CAM =30°， ∴CM =1
2AC ，
∵AC 2−CM 2=AM 2， ∴3CM 2=36， ∴CM =2√3（米）， ∴CD =3√3（米）， ∵CE =6米，
利用勾股定理得DE =√CE 2−CD 2=√62−（3√3）2
=√9=3（米）， ∴BE =6−3=3（米）．
答：测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E ）之间的距离是3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理知识点，掌握仰角俯角的概念及30°的直角三角形直角边与斜边的关系是解题的关键．
15．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙
阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，
请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：sin37°≈3
5，cos37°≈4
5
，tan37°≈3
4
）
【答案】八仙阁AB的高度为48米．
【分析】证明四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．在Rt△AGE和Rt△AGD中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．
【详解】解：由题意得∠DCB=∠EFB=∠GBF=∠BGD=90°，CD∥EF∥AB，
则四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．
所以BG=EF=CD=1.5米，DE=CF=15.5米，
在Rt△AGE中，∠AEFG=∠EAG=45°，则AG=EG．设AG=EG=x米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG=AG
DG
，
则tan37°=x
x+15.5
，即3(x+15.5)=4x，
解得：x=46.5，
所以AG=46.5米，
则AB=46.5+1.5=48（米）．
答：八仙阁AB的高度为48米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（2022·重庆南开中学九年级期中）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：√3≈1．73）
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
【答案】(1)BC的高度约为85米
(2)小开能在闭馆前赶到图书馆
【分析】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，解直角三角形即可；
（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．
【详解】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，
⊥EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，
DE=20米，
⊥EG=1
2
⊥DG=√3EG=20√3（米），
⊥EF=GC=GD+CD=(20√3+30)米，
⊥BF=EF=(20√3+30)米，
⊥BC=BF+FC=BF+EG=20√3+30+20=20√3+50=85（米），
答：BC的高度约为85米；
（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263（秒），
⊥263<300，
⊥小开能在闭馆前赶到图书馆．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．
(1)求斜坡CD的高；
(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）
【答案】(1)10米
(2)24.3米
【分析】(1)过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i= 1：2.4可设DG=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；
(2)由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】（1）解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
解直角三角形的实际应用----仰角、俯角及方位角的重难点解析
28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重 难点解析 今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。 一、教材分析 （一）教材地位和作用 这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）（二）教学目标 1、知识技能目标：进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题. 2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神. （三）教学重点与难点 重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。 二、教法学法 （一）教法分析
本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。 （二）学法分析 通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。 三、教学程序 本节课我将围绕 情景引入、复习回顾、探索知识、课堂练习、小结梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学，具体步骤是： （一）情景引入 问题：(2015云南19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA ＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度？ 方式：是以云南省去年的中考题为问题而引出的。目的：（1）突出解直角三角形应用的广泛性和重要性，揭示本课学习解直角三角形应用知识的必要性和意图。（2）创设问题情景，为自然引出本课主题和目标，且有利于激发学生兴趣和解决问题的欲望。 （二）复习回顾 1. 回顾直角三角形具有的基本性质（三边关系、两锐角关系、边角关系（三角函数））。 ；结果保留整数），（73.1341.12≈≈
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第13讲 解直角三角形的应用(解析版)
仰角 视线 水平线 视线 俯角 铅垂线 解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的 学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 1、 仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 解直角三角形的应用 内容分析 知识结构 模块一：仰角与俯角 知识精讲
步同级年九 2 / 24 A B C D E F 1 2 3 【例1】 如图，90C DEB ∠=∠=︒，FB // AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯 角是______；从A 看B 的______角是______；从D 看B 的______角是______． 【答案】2∠；3∠；仰；1∠；仰；3∠． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义． 【例2】 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该 同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号 的式子表示） 【答案】2 3 38+． 【解析解：如图所示，AB 为旗杆，CD 为某同学． 则24==CA DE ，5.1==AE CD ，30BDE ∠=︒， 在BDE Rt △中，DE BE BDE =∠tan ， ∴ 24 33BE = ， ∴38=BE ， ∴2 3 38+ =+=EB AE AB ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 【例3】 如图，两建筑物水平距离为a 米，从点A 测得点C 的俯角为α，测得点D 的俯角 例题解析
解直角三角形的应用--仰角,俯角
知识点 1、仰角、俯角 铅垂线： 水平线： 视线： 视角： 仰角：从______看，_____与_____的夹角 俯角：从______看，_____与_____的夹角 2、方向角：在平面上过观测点O ，画一水平线和一条铅垂线，则从点O 出发的视线与铅垂线的夹角，叫做点O 的方向角。 注：（1）方向角通常以南北方向线为主分，分南偏和北偏（东、西） （2）观测点不同，所得方向角不同，但各观测点的南北方向线是互相平行的。 3 、方位角：从某点的正北方向线按顺时针方向转到目标方向的水平角叫做方位角。 1、如图，为了测量电线杆的高度AB,在离线电线杆22.7米的C 处，用高为1.20米的测角仪CD 测量电线杆顶端B 的仰角α=220,求电线杆的高度（精确到0.1米） 2、为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为450，再前进20米取一点D ，使点D 在BC 的延长线上，此时得A 的仰角为300，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB 的高度。 3、 4、小王同学在学校某建筑物的C 处测得顶部A 的仰角为300，旗杆底部B 的俯角为450，若旗杆底部点B 到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶点A 离地面的高为多少米 总结：两个基本图形 BC=AD(cot α+cot β) BC=AD(cot α-cot β) 提升： 1、如图,A 城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A 城南偏东300的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到A 城南偏东450的方向，若台风中心120海里将受台风影响， (1)问A 城是否受9号台风影响？ (2)若受到台风影响，A 城什么时候受到台风影响？什么时候脱离台风影，受台风影响几个小时 分析：A 城是否受9号台风影响，就是要看A 城 到台风中心的距离是否大小120海里。台风中心是运动的，而A 城与台风中心的距离是变化的，因而只看A 城到台风移动路线BC 的距离是否大于120海里。 C D B A A B F C E D G O 北 B A C A B C D α β A B β α D A B C
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l =h l α 基础知识2 解直角三角形的应用举例 1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即 h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= = 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）. 【题型1】仰角与俯角 如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、 E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）. （参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）
【变式训练】 1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）. 2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数 据：≈1.414，≈1.732） 3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度． 4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．
解直角三角形的应用：俯角仰角问题 (解析版)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°． (1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）； (2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732） 【答案】(1)52m (2)1.1m/s 【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可； （2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论． （1） ⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°． ⊥∠DBA=60°， 在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m， =tan∠DBA, ⊥AD BD ⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)， 所以，求热气球A离地面的高度约为52m； （2） 过点C作CE⊥BD于点E，如图， 则四边形ADEC是矩形， ⊥CE=AD=52,AC=DE ⊥∠ACB=45°， ⊥∠EBC=∠ECB=45°,
⊥△BCE是等腰直角三角形， ⊥BE=CE=52(m)， ⊥BD=30m， ⊥DE=BE−BD=52−30=22(m) ⊥AC=22（m） ⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形． 2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求： (1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？ (2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长． 【答案】(1)80√3米 (2)AD=800 米 7 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC； （2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长． （1） 解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018南京.中考模拟) 如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC． (参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 2、 (2017南京.中考模拟) 图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85， cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 3、
(2018安徽.中考模拟) 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB． 4、 (2019宁津.中考模拟) 数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，此学生身高CD=1.7m，求大树的高度AB的值.（结果保留根号） 5、 (2018莘.中考模拟) 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）． 6、 (2020十堰.中考模拟) 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然
2020中考数学专项解析：解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
【文库独家】 解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝，选D。 2、（?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=
ED= 3、（聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
m 5 m ∴CE=BC?sin60°=25（ 5、（成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30 ∠=，则该山坡的高BC的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB·sin30°=1 2 AB=100m 6、（?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为750米．
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用 解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解. 类型1 仰角、俯角问题 1.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部 的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高 1. 732,结果保留小数点后一位)？ 2.如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确 到1 1.732)
3.在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A 正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7) 类型2 方位角问题 1.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6) 2.(2014·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数， 1.41， 2.45)
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题 专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018锦州.中考真卷) 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云 梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4, ≈1.4） 2、 (2022本溪.中考模拟) 如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51） 3、
(2018河东.中考模拟) 小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，36°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan36°≈0.73． 4、 (2017兰州.中考模拟) 如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度 为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）． 5、 (2018吉林.中考模拟) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC． （精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84） 6、 (2018方城.中考模拟) 如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C 之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 能量储备 仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上 看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角。 通关宝典 ★ 基础方法点 方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。 例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测 得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。 (1)求大楼与电视塔之间的距离AC ； (2)求大楼的高度CD (精确到1米)。 解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°， ∴ AC ＝AB ＝610米。 答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。 (2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。 在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE ，得BE ＝DE·tan 39°。 又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。 答：大楼的高度CD 约为116米。 例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)
解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米． ∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61° . 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42° . ∵ CE ＝120＋x tan 61° ， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61° ， 解得x ≈215.7， ∴ x ＋1.2≈217(米)． ∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。 ★★易混易误点 易混易误点: 在解直角三角形的相关问题时，审题不清，术语理解错误 例：如图24433所示，在某海岛上的观察所A 发现海上某船B ，并测得其俯角α＝ 8°14′.已知观察所A 的标高(当水位为0 m 时的高度)为43.74 m ，当时水位为＋2.63 m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC .(精确到1 m ) 解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝α＝8°14′，AD ＝43.74 m ，CD ＝2.63 m ， ∴ AC ＝AD －CD ＝41.11(m )。 ∴ BC ＝AC tan 8°14′ ＝41.11÷tan 8°14′≈284(m )。 答：观察所A 到船只B 的水平距离BC 约为284 m 。 蓄势待发 考前攻略 中考真题和教材复习题都是与仰角有关的解直角三角形的实际问题，解答此类问题的关键是寻找或构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数来表示某些量，根据题中的等量关系列出方程，进而解决问题． 完胜关卡
28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN
中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)? 解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．
《解直角三角形及其应用(仰角俯角问题)》教案
《解直角三角形及其应用（仰角俯角问题）》教案 一、教学目标 知识与技能：使学生了解方位角的意义及在解直角三角形中的应用． 过程与方法：结合实际问题，弄清方位角等概念，通过引导让学生解决一些实际问题，学生掌握解决仰角俯角类应用题的方法、思路情感态度价值观：运用数形结合思想，把实际问题转化为解直角三角形的问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流能力，培养学数学、用数学的思想． 二、教学重难点 重点：利用方位角测量、计算物体的高度、宽度等 难点：将实际问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学方法 探究教学法、讨论法、练习法 四、教学过程 1、复习旧知，引入新知 仰角、俯角定义：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方
的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角. 2、创设情境，引入例题 播放课前准备好的微课短视频，一边播放引导学生思考 （1）王同学是如何利用含30度的三角板测出仰角俯角的？你能动手示范出来吗？ （2）把实际问题转化为几何图要注意什么？ （3）这类题目我们遇到过很多了，你能总结一下该如何作辅助线？思路是什么？ 小组讨论交流问题，并完成测国旗例题和书本测金字塔例题，找学生代表上来讲解，不同的学生有不同的方法，这样不仅拓展了学生的思维，也调动了学生积极性活跃了课堂氛围. 3、加深练习，贴近中考 例（2018安徽19题10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个
平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F 处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数) (参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02) 学生独立完成后讨论交流，找几个学生上黑板讲解自己的方法，对上来讲解的同学鼓励表扬，最后几种方法解决本题. 4、小结反思 学生自由发言，总结自己本节课收获和感悟. 五、作业 （1）完成进阶练习最后一题 （2）用自己的方法测量我们学校的国旗 六、板书设计
2021年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰角俯角试题解析试卷
2021年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰 角俯角 一．试题（共60小题） 1．（2021•巴中）如图，点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ） A ．sin B =13 B ．sin C =2√55 C ．tan B =12 D ．sin 2B +sin 2C ＝1 2．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接OP ，则OP 与x 轴正 方向所夹锐角α的正弦值是（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 3．（2021•淄博）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，C E 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为（ ） A ．35 B ．√55 C ．45 D ．2√55 4．（2021•黑龙江）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ， 若AB ＝2BD ，tan ∠BCD =23，则AC BC 的值为（ ）
A ．1 B ．2 C ．12 D ．32 5．（2021•宜宾）如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD 、B E 的交点，若AB ＝AC ＝10， BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．√63 D ．√64 6．（2021•玉林）如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有（ ） A ．h 1＝h 2 B ．h 1＜h 2 C ．h 1＞h 2 D ．以上都有可能 7．（2021•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，AC ＝3，∠ABC 的平分线交 AC 于点D ，CD ＝1，则⊙O 的直径为（ ）
专题09 解直角三角形的运用-方向角问题(解析版)
二、解直角三角形的运用--仰角与俯角 知识点1 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （1）三边之间的关系：a 2 +b 2 =c 2 （3）边角之间的关系：c a A == 斜边对边sin ，c b A ==斜边邻边cos ，b a A ==邻边对边tan （a ，b ，c 分别是∠A 、∠ B 、∠ C 的对边） 知识点2 方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。 一．选择题（共7小题） 1．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55°方向上，则河宽AB 的长为（ ） 方向角 知识导航
A．a tan55°米B．米C．米D．米【解答】解：连接AB，BC， 由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米， ∴tan∠ABC＝tan55°＝， ∴AB＝＝， 故选：D． 2．如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB 的长可以表示为（） A．40海里B．40sin37°海里 C．40cos37°海里D．40tan37°海里 【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向， ∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里， ∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里； 故选：B． 3．如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（） A．40海里B．（20+10）海里 C．40海里D．（10+10）海里 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示： 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里， ∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里）， ∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°， ∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝10（海里）， ∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里， 故选：D． 4．如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发，沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（）
解直角三角形的应用-仰角俯角
⑴了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵渗透数形结合的数学思想，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． _______. c ______, b ____,C 8; a ,60 B ,90A ,ABC )1(00===∠==∠=∠∆则：中 在 ()===∠∆b a C ABC 15 4,54 ,902中，在 A A C B
（1）从热气球看一栋楼顶部的 仰角为 30°→α=30°． （2）从热气球看一栋楼底部的 俯角为 60°→β=60° （3）热气球与高楼的水平距离 为120 m →AD=120 m ，AD ⊥BC ． (4)这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？ 应用知识，解决问题 例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离 为 120 m ，这栋楼有多高（结果取整数）？ A B C D α β
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤： 1. 2. 3. 4. 变式 2 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的俯角为 30°,看这栋楼底部的俯角为 60°,若这栋楼高为 80m,则热气球与楼的水平距离为 多少（结果保留根号） 归纳总结
如图 ,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进 50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 互助交流 古塔究竟有多高 要解决这问题,我们仍需将其数学化. 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去 如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为60°,若小明的眼睛离地面1m ，那么该塔有多高?(结果精确到1m).
2020年中考(通用)数学二轮专题复习：解直角三角形的应用--仰角俯角问题(含答案)
2020年中考（通用）数学二轮专题复习：解直角三角形的应用 仰角俯角问题 ・选择题（共8小题） 1 .在屋楼南西侧一个坡度（或坡比） i=1: 2的山坡AB 上发现有一棵古树 CD.测得古树 底端C 到山脚点A 的距离AC=10^米，在距山脚点 A 水平距离5米的点E 处，测得古 树顶端D 的仰角/ AED=48° （古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树 CD 与直线 AE 垂直），则古树 CD 的高度约为（sin48° =0.73, cos48° =0.67, tan48° = 1.11）（ ） 2 .如图，某地修建高速公路，要从 A 地向B 地修一条隧道（点 A, B 在同一水平面上）.为 了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800米到达C 处， 在C 处观察B 地的俯角”为30° ,则A, B 两地之间的距离为（ ） A . 400米 B.史巴坦米 C. 1600米 D. 800、自米 3 .在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群， 如图，古罗马教堂建筑物 CD 的高为30米, 从C 点测得A 点的仰角a 等于45。，从A 点看D 点的俯角，因无法测得准确的角度， 只能记为3.则建筑物AB 的高度为（ B. 20.9 米 C. 21.3 米 D. 33.3 米 A . 17.75 米
5 .如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡 CD 的长为6m,坡度i = 1: 0.75,教学楼底部到斜坡底部的水平距离 部B 点测得斜坡顶部 D 点的俯角为46。，则教学楼的高度约为（ ） （参考数据：sin46° =0.72, cos46° =0.69, tan46° =1.04） 6 .家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动.如图， 在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家 1-tanP 1+tanP B. D. 30 1+tan B MUtgin M 1-tanf 4.如图，小王在山坡上E 处，用高1.5米的测角仪EF 测得对面铁塔顶端 A 的仰角为25。， DE 平行于地面 BC,若DE=2米，BC=10米, 山坡CD 的坡度i=1: 0.75,坡长CD = 5米，贝U 铁塔 AB 的高度约是 （ ）（参考数据：sin25° =0.42, cos25° =0.91, tan25 A. 11.1 米 B, 11.8 米 C. 12.0 米 D, 12.6 米 AC=8m,在教学楼顶 B. 13.3m C. 16.9m D. 18.1m = 0.47 ） A . 12.1 m
2021年0中考真题解直角三角形的应用仰角俯角问题方向角问题试题解析试卷
2021年中考真题解直角三角形的应用仰角俯角问题方向角问题一．试题（共59小题） 1．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B 处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是m（√3≈1.732，结果保留整数）． 2．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）． 3．（2021•黄冈）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33） 4．（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑
顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝米．（结果保留根号） 5．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°． （1）风筝离地面多少m？ （2）A、C相距多少m？ （结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918） 6．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝ 1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树 AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号） 7．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行