解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
解直角三角形（仰角俯角坡度问题）
1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为
A. 40 3m
B. 803m
C. 1203m
D. 160 3m
答案：D
解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。
BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝1603，选D。
2、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x 的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
解答：解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）
A．12 B．4米C．5米D．6米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴则AC=BC×=6，
∴AB===12．
故选A．
点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
4、（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
A．25m B．25m C．25m D．
m
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．
解答：解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴CE=BC•sin60°=25（m）．
故选A．
点评：此题考查了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30
∠=，则该山坡的高BC的长为_____米。
答案：100
解析：BC=AB·sin30°=1
2
AB=100m
6、（2013•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为750米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．
解答：解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC•sin45°=375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=750（米）．
故答案为：750．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
7、（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）
A．3m B．2m C．3m D 1003
3
m
【答案】A
【解析】依题得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝AC
BC
，BC3
3
A。
8、（2013•牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是
∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=3米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度．
解答：解：在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=3米，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=60°，
∴AC=DCtan60°=3×=3（米）．
故答案为：3．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．
9、（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG
中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可
求出宣传牌的高度．
解答：解：（1）过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5；
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
点评：此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
10、（13年安徽省10分、19）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角
α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改
造后的坡长AE（结果保留根号）
11、（2013•白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC ﹣AB得解．
解答：解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，
∴DA=3米，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=，
∴CA=3．
∴BC=CA﹣BA=（3﹣3）米．
答：路况显示牌BC是（3﹣3）米．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．
12、（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．
解答：解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中，，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）
∴CE=10+1.5，（5分）
即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米．
点评：考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．
13、（2013甘肃兰州24）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=0.2m．由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．在Rt△MFC
中，由tan∠MCF=，得出=，解方程求出x的值，则MN=ME+EN．
解答：解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，
则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME．
设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF•tan∠MCF，
∴x+0.2=（28﹣x），
解得x≈10.0，
∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米．
答：旗杆MN的高度约为12米．
点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模
型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
14、（2013•毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：设EC=x，则在Rt△BCE中，BC=EC=x；在Rt△BCD中，CD=BC=3x；
在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+x，CD=3x，利用关系式AC=CD列方程求出x；
塔高DE=CD﹣EC=2x可以求出．
解答：解：设EC=x（米），
在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC==x；
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC•tan60°=x•=3x；
在Rt△ACD中，∠DBC=45°，
∴AC=CD，
即：73.2+x=3x，
解得：x=12.2（3+）．
塔高DE=CD﹣EC=3x﹣x=2x=2×12.2（3+）=24.4（3+）≈115.5（米）．
答：塔高DE约为115.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，难度一般．
15、（2013•六盘水）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）
===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地
面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：（1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
解答：
解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=﹣
=；
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，
∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．
∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，
∴BE=7（2+）=14+7，
∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
点评：本题考查了：
（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．
（2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
16、（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），则在Rt△AEN中，∠AEN=45°，可得EN=AN=x+16，在Rt△BCN
中，∠BCN=37°，BM=17，可得tan∠BCN==0.75，则可得方程：，解此
方程即可求得答案．
解答：解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，
∴tan∠BCN==0.75，
∴，
解得：x=1≈1.3．
经检验：x=1是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3m．
点评：此题考查了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
17、（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案．
解答：解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠D=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=×110=55（米）；
设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），
∴DN=DF+NF=55+x（米），
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
即55+x=x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+x≈150（米）．
答：“一炷香”的高度为150米．
点评：本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18、（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．
解答：解：依题意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE
∴∠CAE=15°，
即△ACE为等腰三角形，
∴AE=CE=100m，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=50×=m，
∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．
答：塔高AB大约为58米．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
19、（2013•孝感）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），
∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．
故答案为：12．
点评：本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
20、（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+DC的值．
解答：解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，
由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，
在Rt△AFB中，∠B=45°，
则∠BAF=45°，
∴BF=AF=5，
∵AP∥BD，
∴∠D=∠DPH=30°，
在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，
∴GD=5，
则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）．
答：飞机的飞行距离BD为25+5km．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般．
21、（2013•张家界）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．
解答：解：设CF=x，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，
∴BC=CF=x，
=tan30°，
即AC=x，
∵AC﹣BC=1200，
∴x﹣x=1200，
解得：x=600（+1），
则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．
答：钓鱼岛的最高海拔高度362米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般．
22、（2013•泰州）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：根据楼高和山高可求出EF，继而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF，在Rt△ABD 中表示出BD，根据CF=BD可建立方程，解出即可．
解答：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE=x，
由题意得，EF=BE﹣CD=56﹣27=29m，AF=AE+EF=（x+29），
在Rt△AFC中，∠ACF=36°52′，AF=（x+29），
则CF===x+，
在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=x+56，
则BD=AB=x+56，
∵CF=BD，
∴x+56=x+，
解得：x=52，
答：该铁塔的高AE为52米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般．
23、（2013•徐州）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：过点D作DE⊥AB于点E，设塔高AB=x，则AE=（x﹣10）m，在Rt△ADE中表示出DE，在Rt△ABC中表示出BC，再由DE=BC可建立方程，解出即可得出答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC，
设塔高AB=xm，则AE=（x﹣10）m，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
则DE=（x﹣10）米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
则BC=AB=x，
由题意得，（x﹣10）=x，
解得：x=15+5≈23.7．即AB≈23.7米．
答：塔的高度为23.7米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数
的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．
24、（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：在Rt△ABC中，根据AB=5米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵AB=5，∠ABC=45°，
∴AC=ABsin45°=5×=，
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
∴AD==5=5×1.414=7.07，
AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）．
答：改善后滑滑板会加长2.07米．
点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．
25、（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得
出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=320，进而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．
解答：解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD﹣BD=BC，
∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD﹣0.50PD=80，
解得PD=320，
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，
∵OB=220，
∴PE=OD=OB﹣BD=60，
∵OE=PD=320，
∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120，
∴tanα===0.5，
∴α≈26.6°．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
26、（2013聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG 中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠；
（2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠C=sin37°，
即可求出CG的长度．
解答：解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，
则=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
又=sin∠C=sin37°，
则CG===9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
27、（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
解直角三角形实际问题 (含答案)
解直角三角形实际问题 1.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为 30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 2.为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°,坡长为60米的斜坡AB进行改造,在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴 影表示）,修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE． （1）若修建的斜坡BE的坡角为36°,则平台DE的长约为多少米？ （2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼,小明在D点测得主楼顶部H的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数,参考数据：sin36°=0.6,cos36°=0.8,tan36°=0.7， =1.7） 3.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在 斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B 的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高．（结果保留整数）
4.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后 到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号） 5.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD 的坡角为30°． （1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）； （2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：） 6.某中学广场上有旗杆如图①所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图②，某一时 刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08).
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角） 一、知识点讲解 1、仰角和俯角的定义： 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。二、典例分析 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题 例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 变式练习： 1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为 A、50 B、51 C、50+1 D、101 第1题第2题第3题 2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点 A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。 3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号） 4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）
反馈练习 基础夯实 1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1 200m D 、 2400m 第1题 第2题 第3题 第4题 2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米 B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。（用含α、β、a 的式式表示） 4、如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 5、观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房 的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测 观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求 观光塔的高CD 是 m ． 6、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶点F 的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B 点后测得峰顶点F 的俯角为45°，如图2，请根据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：732.13≈，414.12≈） 能力提升
解直角三角形的典型例题
一、知识概述 1、仰角、俯角 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示． 说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角． 2、坡角和坡度 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示． 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示 说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． (2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形． 3、象限角
象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示． 二、重点难点疑点突破 1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了． 一般有以下三个步骤： (1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知； (2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题； (3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形． 其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是： (1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题； (2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l =h l α 基础知识2 解直角三角形的应用举例 1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即 h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= = 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）. 【题型1】仰角与俯角 如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、 E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）. （参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）
【变式训练】 1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）. 2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数 据：≈1.414，≈1.732） 3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度． 4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．
解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 3m B. 803m C. 1203m D. 160 3m 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝1603，选D。 2、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：应用题． 分析：设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x 的值，再由树高=CD+FD即可得出答案． 解答：解：设CD=x， 在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°， 则AD=x， 在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则ED=x， 由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4， 解得：x=2， 则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m． 故选D． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题-解答题专训及答案 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题解答题专训 1、 (2017深圳.中考模拟) 某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60度，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45度，已知山坡AB的坡度i=1: ,AB=10米，AE=15米. （1） 求点B距水平面AE的高度BH； （2） 求广告牌CD的高度.（保留根号） 2、 (2019湖州.中考模拟) 某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，c osl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
3、 (2017胶州.中考模拟) 如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，长度为26m，在坡顶B 所在的平台上有一座电视塔CD，已知在A处测得塔顶D的仰角为45°，在B处测得塔顶D的仰角为73°，求电视塔CD的高度． （参考数值：sin73°≈ ，cos73°≈0. ，tan73°≈ ） 4、 (2019十堰.中考真卷) 如图，拦水坝的横断面为梯形，坝高，坡角，，求的长. 5、 (2017贺州.中考真卷) 如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为 60°，求该生命迹象C处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41，≈1.73） 6、 (2017海南.中考真卷) 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题 1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】 2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长． （参考数据：） 3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90） 5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号） 6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018南京.中考模拟) 如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC． (参考数据:sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 2、 (2017南京.中考模拟) 图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85， cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 3、
(2018安徽.中考模拟) 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB． 4、 (2019宁津.中考模拟) 数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，此学生身高CD=1.7m，求大树的高度AB的值.（结果保留根号） 5、 (2018莘.中考模拟) 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）． 6、 (2020十堰.中考模拟) 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第6节第1课时坡角与仰、俯角问题
4.6解直角三角形及其应用 第1课时坡角与仰、俯角问题 1.(2021·湖北宜昌)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点(网格线的交点),则cos ∠ABC的值为 (B) A.√2 3B.√2 2 C.4 3 D.2√2 3 2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=3 5 ,则AB的长是(D) A.500 3B.503 5 C.60 D.80 3.(2022·广西柳州)如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=3 5 ,堤坝高BC=30 m,则迎水坡面AB的长度为50m. 第3题图 第4题图 4.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶√3,则斜坡AB的长是20√3米.
【解析】过点A作AF⊥BC于点F.∵斜面坡度为1∶√3,∴tan ∠ABF=√3 ,∴∠ABF=30°.由题意得∠ 3 HPB=30°,∠APB=45°,∠H=90°,∴∠HBP=60°,∴∠PBA=90°,∠BAP=45°,∴PB=AB.在Rt△PBH =20√3,即斜坡AB的长为20√3米. 中,PB=PH sin60° 5.为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内.请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,√3≈1.73) 解:延长DC交AB于点E,则DE⊥AB. 设CE=x,在Rt△AEC中,∠ACE=60°, ∴AE=CE·tan 60°=√3x. 在Rt△BEC中,∠BCE=40°, ∴BE=CE·tan 40°≈0.84x. 在Rt△AED中,∠D=30°, =3x. ∴DE=AE tan30° ∴3x-x=80,解得x=40. ∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)≈103(m). 答:桥墩AB的高度约为103 m. 6.如图,在Rt△ABC中,AB=2,∠C=30°,将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C',使点B的对应点B'落在AC上,在B'C'上取点D,使B'D=2,求点D到BC的距离.
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-解答题 专训及答案 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题解答题专训 1、 (2018锦州.中考真卷) 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云 梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4, ≈1.4） 2、 (2022本溪.中考模拟) 如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51） 3、
(2018河东.中考模拟) 小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，36°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan36°≈0.73． 4、 (2017兰州.中考模拟) 如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度 为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）． 5、 (2018吉林.中考模拟) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC． （精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84） 6、 (2018方城.中考模拟) 如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C 之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用 解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解. 类型1 仰角、俯角问题 1.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部 的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高 1. 732,结果保留小数点后一位)？ 2.如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确 到1 1.732)
3.在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A 正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7) 类型2 方位角问题 1.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6) 2.(2014·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数， 1.41， 2.45)
《解直角三角形及其应用(仰角俯角问题)》教案
《解直角三角形及其应用（仰角俯角问题）》教案 一、教学目标 知识与技能：使学生了解方位角的意义及在解直角三角形中的应用． 过程与方法：结合实际问题，弄清方位角等概念，通过引导让学生解决一些实际问题，学生掌握解决仰角俯角类应用题的方法、思路情感态度价值观：运用数形结合思想，把实际问题转化为解直角三角形的问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流能力，培养学数学、用数学的思想． 二、教学重难点 重点：利用方位角测量、计算物体的高度、宽度等 难点：将实际问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学方法 探究教学法、讨论法、练习法 四、教学过程 1、复习旧知，引入新知 仰角、俯角定义：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方
的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角. 2、创设情境，引入例题 播放课前准备好的微课短视频，一边播放引导学生思考 （1）王同学是如何利用含30度的三角板测出仰角俯角的？你能动手示范出来吗？ （2）把实际问题转化为几何图要注意什么？ （3）这类题目我们遇到过很多了，你能总结一下该如何作辅助线？思路是什么？ 小组讨论交流问题，并完成测国旗例题和书本测金字塔例题，找学生代表上来讲解，不同的学生有不同的方法，这样不仅拓展了学生的思维，也调动了学生积极性活跃了课堂氛围. 3、加深练习，贴近中考 例（2018安徽19题10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个
平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F 处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数) (参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02) 学生独立完成后讨论交流，找几个学生上黑板讲解自己的方法，对上来讲解的同学鼓励表扬，最后几种方法解决本题. 4、小结反思 学生自由发言，总结自己本节课收获和感悟. 五、作业 （1）完成进阶练习最后一题 （2）用自己的方法测量我们学校的国旗 六、板书设计
2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用—仰角俯角问题》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用—仰角俯角问题》 解答题专题提升训练（附答案） 1．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在距离旗杆15米的A 处用测角仪（离地高度为1.6米）测得旗杆顶端的仰角为43°，求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1）（参考值：sin43°≈0.688，cos43°≈0.718，tan43°≈0.947） 2．如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°． （1）求DA的长； （2）求树BA的高度（结果保留根号）． 3．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）
4．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝26.7°． （1）求山脚A到河岸E的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度． （参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50） 5．如图，为测量太阳能路灯电池板离地面的高度，在点A处安置测倾器，已知测倾器的高度为1.6米，测得点M的仰角∠MBC＝30°，在与点A相距3.5米的点D处用测倾器测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D，N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73） 6．数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为30°． （1）填空：∠ADB＝°； （2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）． （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）
《解直角三角形的应用》教案
《解直角三角形的应用》教案 教学目标 1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 学习重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 教学难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型． 教学过程 一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向． 图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα ＝h l．
二、解惑之例题解析 例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）. 例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） O Q F P α
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． 6400cos 0.956400350 OQ OF ==≈+α 18α∴≈ ∴ PQ 的长为 186400 3.146402009.6180 π≈××= 答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． 例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ） 解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ． 解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120． tan ,tan BD CD AD AD αβ== tan 120tan 30BD AD α∴=⋅=⨯ 120== tan 120tan 60CD AD β=⋅= ⨯ 120=⨯= BC BD CD ∴=+=+ 277.1=≈ A B C D α β
2020年中考(通用)数学二轮专题复习：解直角三角形的应用--仰角俯角问题(含答案)
2020年中考（通用）数学二轮专题复习：解直角三角形的应用 仰角俯角问题 ・选择题（共8小题） 1 .在屋楼南西侧一个坡度（或坡比） i=1: 2的山坡AB 上发现有一棵古树 CD.测得古树 底端C 到山脚点A 的距离AC=10^米，在距山脚点 A 水平距离5米的点E 处，测得古 树顶端D 的仰角/ AED=48° （古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树 CD 与直线 AE 垂直），则古树 CD 的高度约为（sin48° =0.73, cos48° =0.67, tan48° = 1.11）（ ） 2 .如图，某地修建高速公路，要从 A 地向B 地修一条隧道（点 A, B 在同一水平面上）.为 了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800米到达C 处， 在C 处观察B 地的俯角”为30° ,则A, B 两地之间的距离为（ ） A . 400米 B.史巴坦米 C. 1600米 D. 800、自米 3 .在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群， 如图，古罗马教堂建筑物 CD 的高为30米, 从C 点测得A 点的仰角a 等于45。，从A 点看D 点的俯角，因无法测得准确的角度， 只能记为3.则建筑物AB 的高度为（ B. 20.9 米 C. 21.3 米 D. 33.3 米 A . 17.75 米
5 .如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡 CD 的长为6m,坡度i = 1: 0.75,教学楼底部到斜坡底部的水平距离 部B 点测得斜坡顶部 D 点的俯角为46。，则教学楼的高度约为（ ） （参考数据：sin46° =0.72, cos46° =0.69, tan46° =1.04） 6 .家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动.如图， 在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家 1-tanP 1+tanP B. D. 30 1+tan B MUtgin M 1-tanf 4.如图，小王在山坡上E 处，用高1.5米的测角仪EF 测得对面铁塔顶端 A 的仰角为25。， DE 平行于地面 BC,若DE=2米，BC=10米, 山坡CD 的坡度i=1: 0.75,坡长CD = 5米，贝U 铁塔 AB 的高度约是 （ ）（参考数据：sin25° =0.42, cos25° =0.91, tan25 A. 11.1 米 B, 11.8 米 C. 12.0 米 D, 12.6 米 AC=8m,在教学楼顶 B. 13.3m C. 16.9m D. 18.1m = 0.47 ） A . 12.1 m
2021年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰角俯角试题解析试卷
2021年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰 角俯角 一．试题（共60小题） 1．（2021•巴中）如图，点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ） A ．sin B =13 B ．sin C =2√55 C ．tan B =12 D ．sin 2B +sin 2C ＝1 2．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接OP ，则OP 与x 轴正 方向所夹锐角α的正弦值是（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 3．（2021•淄博）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，C E 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为（ ） A ．35 B ．√55 C ．45 D ．2√55 4．（2021•黑龙江）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ， 若AB ＝2BD ，tan ∠BCD =23，则AC BC 的值为（ ）
A ．1 B ．2 C ．12 D ．32 5．（2021•宜宾）如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD 、B E 的交点，若AB ＝AC ＝10， BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．√63 D ．√64 6．（2021•玉林）如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有（ ） A ．h 1＝h 2 B ．h 1＜h 2 C ．h 1＞h 2 D ．以上都有可能 7．（2021•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，AC ＝3，∠ABC 的平分线交 AC 于点D ，CD ＝1，则⊙O 的直径为（ ）