第三章矩阵的标准形和若干分解形式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
§1 矩阵的相似对角形
一、知识回顾
1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。 2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。 3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。 4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。
若A 为n 阶矩阵，矩阵
?
?
?????
??
???---------=-nn n n n n a a a a a a
a a a A E λλλλ
2
1
222
21
112
11
称为A 的特征矩阵。又多项式
n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(
称为A 的特征多项式，这里A a
a n
i ii
∑=-=-
=1
1tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子
式的和与i
)1(-的乘积。A tr 叫A 的迹。
属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间
0λV ，称为A 的特征子空间。特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。
二、寻找矩阵的相似对角形的方法
例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似
(1) ??????????---=121101365A ，(2) ????
??????=122212221A ，(3) ??????????----=284014013
A 。 提示：(1) 31,31,
2321-=+==λλλ；
??
??
??????+-=??????????--=??????????-=3213,3213,011321x x x ；
??
??
??????+----=32320111332
P ，???????
?
?
???????
---+
+--=-63332133216333213
3210311
P 。 (2) 5,1321=-==λλλ；??
??
??????+-=??????????--=??????????-=3213,3213,011321x x x ；
??????????--=111110101P ；????
?
??
???----=-111121112311P 。
（3） 2,1321-===λλλ；1λ的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。
例3-2 设????
??????----=163053064A ，求A 的相似对角形及100
A 。
§2 矩阵的约当标准形
当矩阵n
n ij C
a A ?∈=)(不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块
对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C 内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这
就是约当（Jordan ）形矩阵，称之为矩阵A 的约当标准形。
定义 若数域P 上多项式)(),(),(x g q f λλ满足)()()(λλλg q f =，则称)(λg 整除
)(λf ，记为)(|)(λλf g 。
定义3－1 设)(),(λλg f 是P 上多项式，如果存在P 上多项式)(λd 满足 （1）)(|)(λλf d ，)(|)(λλg d （即)(λd 可以整除)(),(λλg f ）；
（2）若有P 上多项式)(1x d ，)(|)(1λλf d ，)(|)(1λλg d ，则有)(|)(1λλd d ，则称
)(λd 是)(),(λλg f 的一个最大公因式，记))(),((λλg f 表示首项系数为1的最大公因式。
三个多项式)(),(),(λλλh g f 的最大公因式))(),(),((λλλh g f 可定义为
))()),(),(((λλλh g f
1．行列式因子
设n n ij C a A ?∈=)(，A E -λ是A 的特征矩阵，记为)(λA 。
定义3－2 )(λA 中所有非零的k 阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式
)(λk D 称为)(λA 的一个k 阶行列式因子（n k ,,2,1 =）。
||)(A E D n -=λλ，并且)(|)(1λλk k D D -（n k ,,3,2 =）。
例3－3 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子：
（1）??????????-=211A ；（2）?????
?
??????=a a A 11 2．不变因子，初等因子
定义3－3 下列n 个多项式
)()(11λλD d =，)()
()(122λλλD D d =
，)()()(233λλλD D d =，…，)
()()(1λλλ-=n n n D D d
称为)(λA 的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为)(λA 的初等因子。
由于这里的A E A -=λλ)(完全由A 决定，所以这里)(λA 的不变因子及初等因子也常
称为矩阵A 的不变因子及初等因子。
例3－4 求下列矩阵的不变因子及初等因子
（1）??
???
?
??????--=2121A ；（2）??????????---=122020021A
例3－5 设?
????
?
??????--a b a b a （各个0≠i b ），求A 的初等因子。 3．约当标准形
设矩阵A 的全部初等因子为：()()()s k
s k
k
λλλλλλ---,,,2121 。相对于每个初等
因子()i k
i λλ-构造一个k i 阶的Jordan 矩阵块：
s i J i i
i i ,,1,11
=?????
????
??
?=λλλ。 由所有这些Jordan 块构成的对角矩阵
?????
????
??
?=s J J J J
2
1 称为矩阵 A 的Jordan 形矩阵，或A 的约当标准形。
定理3－4 每个n 阶复数矩阵A 都与一个约当形矩阵J 相似
J AP P =-1；
除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J 是被矩阵A 唯一决定的。
这个定理用线性变换的语言来说就是：
设T 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中必定存在一个基，使T 在这个基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T 唯一决定的。
推论 复数矩阵A 与对角形矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次因式。 注意：由于
||||||||||2211s s J E J E J E J E A E -??-?-=-=-λλλλλ
s k
s k
k
)()()(2121λλλλλλ---=
所以约当形矩阵J 的主对角线上的元素s λλλ,,,21 全为A 的特征值，并且
n k
s
i i
=∑=1
。但
j i ≠时可能有j i λλ=，故i λ不一定是A 的i k 重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能
写出矩阵的约当形矩阵。
例3－6 求矩阵??????????-----=211212112A 的Jordan 标准形及所用的矩阵P 。
解： （1）??
??
??????-+----→??????????--+--=-341022100012112121122
λλλλλλλλλA E
()????
?
?????---→2
100010001λλ
所以 A 的初等因子为()21,1--λλ，故 A 的Jordan 标准形为??
??
?
?????=1111J 。
（2）设()321,,x x x =P 。由J AP P =-1
，得()()J A 321321,,,,x x x x x x =， 即
()()3321321,,,,x x x x x x x +=A A A 。于是有
()θ=-1x A E （1） ()32x x -=-A E （2） ()θ=-3x A E （3）
方程组（1）、（3）的基础解系为：()()T
T
1,0,1,0,1,121==e e 。
取()T
0,1,11=x ，而()T
c c c c c c 212122113,,+=+=e e x 。为使（2）有解，选择c 1, c 2 的
值是下面两矩阵的秩相同：
??
??
??????---+-??
????????----=-212111122211
1,11122211
1c c c c A E ，
的c 1=2, c 2=-1。所以()T
1,2,13-=x 。将所求的3x 代入方程（2）并解之得：()T
1,1,12=x 。
易证321,,x x x 线性无关。????
??????-=110121111P 。
例3－7 求矩阵????
??????-----=163053064A 特征多项式、初等因子及约当标准形。 解 易得A 的特征多项式为
)2()1(||)(2+-=-=λλλλA E f
并且可以求得不变因子为
1)(1=λd ，1)(2-=λλd ，)2)(1()(3+-=λλλd
故初等因子为
1-λ，1-λ，2+λ 因此约当标准形为对角形矩阵
??
??
?
?????-=211J
例3－8 求线性微分方程组?????????+=+-=+-=3
13212211
234x
x dt
dx x x dt
dx
x x dt dx 的通解。
解：方程组可以写成x x A dt
d =。其中????
??????--=201034011A ，
()T x x x 321,=x 。
（1）求A 的初等因子及Jordan 标准形。??
????????=1112J 。
（2）求相似变换矩阵。??
??
?
?????--=111210100P 。
（3）作满秩线性变换y x P =，其中()T
y y y 321,,=y ，则有
y y
AP P dt
d 1-=。即 ???
?????
?+===3
2322
11
2y
y dt
dy y dt dy y dt dy （*） （上述过程实际上是将系统解藕的过程）。
（4）求（*）的通解，进而求原方程组得通解。
()????
???
???+??????????--==t t
t e k t k e k e k P 3222111121010
0y x 。
例3－9 利用约当标准形证明：若n 阶矩阵A 的特征值为n λλ,,1 ，则m
A 的特征值
为m
n m λλ,,1 。
证明：设A 的约当形矩阵为
?????
????
???=s J J J J
2
1 其中
?????
????
??
?=i i
i i J λλλ11
因AP P J 1
-=，故P A P J
m m
1-=
但是有
?????????????
?=m s m
m m
J J J J
2
1，??
???
?
?
?????
??=m i m
i m i m i
J λλλ***
显然m
J 的特征值就是J 的特征值的m 次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故m A 的特征值就是m
J 的特征值，即A （或J ）的特征值的m 次幂。证毕。
§3 哈密顿—凯莱定理及矩阵的最小多项式
一、哈密顿—凯莱（Hamilton-Cayley ）定理
定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵 A 的特征多项式是
()n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111 ，则有
()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n 。 3-6
证明：设()λB 是A E -λ的伴随矩阵，则
()()E f E A E A E B λλλλ=-=-)(。 3-7
由于()λB 的元素都是次数不超过1-n 的λ的多项式，所以
()11201---+++=n n n B B B B λλλ。
其中i B 为n 阶数字矩阵。于是有
()()()A B A B B A B B B A E B n n n n n 1210110)(------++-+=-λλλλλ 。 3-8
注意到()E a E a E a E E f n n n n ++++=--λλλλ11
1 ， 3-9
由等式3-7，3－8，3－9即得：
E
a A B B E B 1010=-=
E
a A B E a A B B n n n n n =-=-----1121
以E A A
A n n ,,,,1
-一次右乘上面的第一式、第二式，…，第1+n 式，并将它们加起来，
左边为零，右边即为()A f 。□
例3－8 设????
??????-=010110201A ，试计算E A A A A A 432)(2
458-++-=?。
定义：方阵A 的零化多项式：使()0=A ?的多项式()λ?。
注：如果多项式()λφ的次数比()λ?的高，则在计算()A φ时，存在一个次数比()λ?低
的多项式)(λr ，使得()()A r A =φ。事实上，用()λ?去除()λφ，得：
()()()()λλ?λλφr p +=。将A 代入即可。
二、矩阵的最小多项式
定义3－4 设A 是n 阶矩阵，则A 的首项系数为1的次数最小的零化多项式()λm ，称
为A 的最小多项式。
2．最小多项式的性质
（1） 矩阵A 的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。
证明：()()()()λλλλ?r m q +=。则()0=A r 。由于()λm 是最小多项式，只能有()
λr 是零多项式。
（2） 矩阵A 的最小多项式是唯一的。 证明：用结论（1）。若有两个最小多项式，则它们互相整除，且都是首一多项式，只能相等。
（3） 相似矩阵的最小多项式相同。
证明：设B=P -1
AP ，则对于任一多项式()λp ，有()()P A p P B p 1
-=，从而A 和B 的零化
多项式是相同的。
（4） 矩阵A 的最小多项式的根必定是A 的特征根；反之，A 的特征根也一定是A 的最小多项式的根。
证明：由（1），特征多项式()λf 能被最小多项式()λm 所整除。所以矩阵A 的最小多项
式的根必定是A 的特征根。
反之，若()00≠=x x x λA ，则()()()0000=?==λλm m A m x x 。
注：求最小多项式的方法之一：若矩阵
A 的特征多项式是
()()()s k
s k
f λλλλλ--= 11，则A 的最小多项式具有形式：
()()()s n
s n
m λλλλλ--= 11，
其中s i k n i i ,,1, =≤。
例3-9 求矩阵A 的最小多项式，其中??
??
??????----=031251233A 。
解：A 的特征多项式是()()
()422
--=λλλf ，于是A 的最小多项式只能是
()()()42--=λλλm 或()λf 。
直接验证得()()()042=--=E A E A A m 。
例 约当块i
n
i i
i
i J ?????????
??
?=λλλ11
的最小多项式的是()()i n i
m λλλ-=。
证明：i J 的特征多项式为i
n i )(λλ-，而?
???
?????
??
?=-01010 E J i i λ， ?????
?
??????=--001000000)(1
i n i i E J λ，所以i J 的最小多项式为i n i )(λλ-。
（5）设A 是一个分块矩阵，????
?
????
?
?
?=s A A A A
2
1
，A 的最小多项多等于i A 的最小多项式的最小公倍式，s i ,,2,1 =。
证明：设i A 的最小多项式为)(x f i ，A 的最小多项式为)(x f ，)(x f i 的最小公倍式是
)(x g ，由)(x f i 整除)(x g 知0)(=i A g ，s i ,,2,1 =。
故 0)()()()(21=?
??????????
?=s A g A g A g A g ，因此)(x f 整除)(x g 。 又因为 0)()
()
()(21=????
?
????
?
?
?=s A f A f A f A f
，因此对于每一个i 有0)(=i A f ，即)(x f i 整除)(x f 。而)(x g 是)(x f i 的最小公倍式。故)(x g 整除)(x f ，综
上所得)()(x g x f =。
因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即Jordan 标准型，所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。 （6）A 的最小多项式即为A 的不变因子()()
()
λλλ1-=
n n n D D d 。
事实上，将矩阵化为Jordan 标准形后，各Jordan 块的最小多项式的最小公倍式，即初
等因子的最小公倍式()λn d ，即是A 的最小多项式。
例3-7中，矩阵A 的初等因子为：2,1,1+--λλλ，A 的最小多项式即为
()()()21+-=λλλm 。
§4 多项式矩阵与Smith 标准形
一、多项式矩阵的概念 1．多项式矩阵的定义
若矩阵()()()
n
m ij a A ?=λλ的元素)(λij a 都是λ的多项式（系数属于某一数域P ），则
)(λA 称为-λ矩阵，或多项式矩阵。如()A E A -=λλ。
作为多项式矩阵的一种推广就是有理分式矩阵。
2．多项式矩阵的秩
()λA 至少有一个r 阶子式不是零多项式，而所有的1+r 阶子式都是零多项式，则称
)(r A 的秩是r 。零矩阵的秩定义为零。
3．()λA 是满秩的（或非奇异的） 秩为n ，()λA 不是零多项式。
4．()λA 是可逆的（或称为单模矩阵）
存在多项式矩阵()λB ，使得()()()()E A B B A ==λλλλ。 3－11
注：（1）()λA 的逆矩阵是唯一的。（2）满秩矩阵不一定可逆。如()??
?
???=21λλλλB 。 定理3－9 ()λA 是可逆的充分必要条件是()0≠=c A λ。
证明 设)(λA 可逆，则有多项式矩阵)(λB ，使得式3－11成立，从而有
1|||)(||)(|==?E B A λλ
故|)(|λA 与|)(|λB 只能是零次多项式，且不等于零（数），所以当)(λA 可逆时，|)(|λA 必定等于某个非零常数c 。 反过来，若0|)(|≠=c A λ，则易知)(λA 可逆，且其逆矩阵为
)(1)(*
1λλA c
A =
- 这里)(*
λA 是)(λA 的伴随矩阵。 例3－10 多项式矩阵
??????+++++=45331)(2
2λλλλλλλA ，??
????++++++=652331
)(22λλλλλλλB 中，)(λA 是可逆的，而)(λB 是不可逆的，因为
4|)(|=λA ，0|)(|=λB
5． 多项式矩阵的初等变换
定义3－5 下列变换称为多项式矩阵)(λA 的初等变换
（1）互换()λA 的任意两行（列）；（2）以非零的数)(P k ∈乘()λA 的某一行（或列）；（3）以多项式()λ?乘()λA 的某一行（或某一列）并加到另一行（或列）。
由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，即它们都是单模矩阵。
对一个多项式矩阵进行一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。
6．等价
定义 ()()λλB A =~
，是指经过有限次初等变换能把()λA 化为()λB 。 （1）多项式矩阵的等价是一种等价关系。
（2）()()λλB A =~
的充分必要条件是存在初等矩阵t s Q Q P P ,,,,,11 ，使得 ()()()()()λλλλλQ A P Q Q A P P B t s == 11，
)(λP 与()λQ 都是单模矩阵。
二、多项式矩阵的Smith 标准形
引理 ()()()
n
m ij a A ?=λλ中()011≠λa ，并且()λA 至少有一个元素不能被()λ11a 所整
除，则比可以找到一个与()λA 等价的多项式矩阵()()()
n
m ij b B ?=λλ，使得()011≠λb ，且
()λ11b 的次数低于()λ11a 的次数。
证明：分为三种情况。
（1）()λ1i a ?不能被()λ11a 所整除，则()()()()λλλλr a q a i +=111，且()λr 的次数低
于()λ11a 的次数。用()λA 的第i 行减去()λq 乘以第一行，再把第i 行和第一行互换即可。 （2）若在()λA 的第一行中存在不能被()λ11a 整除的元素，可类似处理。
（3）若()λA 的第一行（列）中的元素都能被()λ11a 整除，而()()1,1>>j i a ij λ不能
被()λ11a 整除。设()()()λλ?λ111a a i =。将第i 行减去第一行乘上()λ?，再将新的第i 行加
到第一行上，即成为情形 (2)。
定理3-10 任意非零的多项式矩阵()()()
n
m ij a A ?=λλ都等价于下形式的Simith 标准
形：
()()
()()???
?
??
?
???
?
???
???????
?=000
0000000000
00000000021
λλλλr d d d J ， 这里r 是()λA 的秩，()()r i d i ,,1 =λ是首项系数为1的多项式，且
()()1,,1,|1-=+r i d d i i λλ。
)(λJ 称为)(λA 的史密斯（Smith ）标准型。
证明：经过有限次初等变换后，总可以使矩阵()λA 等价于一个多项式矩阵()λ1B ，使
得该矩阵的第)1,1(元素可以整除其他所有的元素。再通过初等变换把()λ1B 第一行（列）的其它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行
下去，即得定理的证明。
例3－11 求多项式矩阵()??
????????+-+-=200100)
1(0λλλλλλA 的Simith 标准形。
例3－12 化多项式矩阵()????
?
??
???--++---=222
2111
21λλλλ
λλλλλλλA 为Simith 标准形。
答案：()()??????????--210000001λλλλ，??????
?
???+λλλ3
000000
1。
三、多项式矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子
定义3－7 设多项式矩阵()λA 的秩1≥r ，则()λA 中所有k 阶子式的首项系数为1的
最大公因式()λk D ，称为()λA 的k 阶行列式因子。 定理3－11 若()()λλB A =~，则()()λλB A ,必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。
证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩，并具有相同的行列式因子即可。
定义3－8 在()λA 的Simith 标准形()λJ 中，多项式()()λλr d d ,,1 称为()λA 的不
变因子。
注1：因为()()λλJ A ?，所以具有相同的行列式因子，故有：
()()()()()()()()λλλλλλλλr r d d D d d D d D 121211,,,===，
从而有：()()()()()()()()
λλλλλλλλ112211,,,-==
=r r r D D d D D d D d 。
注2：()λA 的不变因子由其行列式因子完全确定，所以Simith 标准形式唯一的。 注3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。
注4：可逆矩阵的Simith 标准形是单位矩阵（因为()1=λn D ）；与单位矩阵等价的多
项式矩阵必可逆。
()λA 为可逆矩阵的充分必要条件，是()λA 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
定义3－9 把()λA 的每个次数大于或等于1的不变因子分解为互不相同的方幂的乘积，所有这些一次因子的方幂（相同的按出现的次数计算），称为()λA 的初等因子。
例3－13 求矩阵????
??????-----=411301621A 的特征矩阵的行列式因子、
不变因子及初等因子。
（不变因子为()2
1,1,1--λλ）。
四、几个重要结论
1．定理3－12 若()()λλB A =~的充分必要条件，是()()λλB A ,有相同的行列式因子，
或相同的不变因子。
证明思路：必要性由定理3－11即得；充分性源于有相同的行列式因子，或相同的不变因子的多项式矩阵具有相同的Simith 标准形。
2．两个n 阶矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。
3．()λA 的行列式因子、不变因子与初等因子亦称为矩阵A 的行列式因子、不变因子与初等因子。
（1）B A B A ,~?有相同的不变因子。
（2）在复数域内B A B A ,~?有相同的初等因子。
第三章矩阵对角化、若当标准型
第三章 矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化 线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。 一、特征值、特征向量性质 定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。 定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。 由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。 定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。 定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值， 称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。 由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关 特征向量的个数。 定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 rank()i i n n I A αλ=-- 证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 dim dim ()i i i n V N I A λαλ==- dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=-- 例1 求123323001A ?? ??=?? ??-?? 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解 1 23det()3 2 30 1 I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+- 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2233rank 3331000---?? ??=----=?? ???? 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 3233rank 3231005--?? ??=---=?? ???? 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何 重复度，则i i m α≤。 证明 因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向 量12,, ,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基 121,,,,,i i n ααεεεεε+ 设121 []i i n P ααεεεεε+=，则 121 []i i n AP A ααεεεεε+= 121[,]i i i i i n A A ααλελελεεε+= 121 *[]i i i i n i O ααλλεεεεελ +????????=???????? ? PB =
基于矩阵分解的协同过滤算法
万方数据
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基于矩阵分解的协同过滤算法 作者：李改， 李磊， LI Gai， LI Lei 作者单位：李改,LI Gai(顺德职业技术学院,广东顺德528333;中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究所,广州510275)， 李磊,LI Lei(中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究 所,广州510275) 刊名： 计算机工程与应用 英文刊名：Computer Engineering and Applications 年，卷(期)：2011,47(30) 被引用次数：1次 参考文献(18条) 1.Wu J L Collaborative filtering on the Nefifix prize dataset 2.Ricci F.Rokach L.Shapira B Recommender system handbook 2011 3.Adomavicius G.Tuzhilin A Toward the next generation of recommender systems:a survey of the state-of-the-art and possible extenstions 2005(06) 4.Bell R.Koren Y.Volinsky C The bellkor 2008 solution to the Netflix prize 2007 5.Paterek A Improving regularized singular value decomposition for collaborative filtering 2007 6.Lee D D.Seung H S Leaming the parts of objects by non-negative matrix factorization[外文期刊] 7.徐翔.王煦法基于SVD的协同过滤算法的欺诈攻击行为分析[期刊论文]-计算机工程与应用 2009(20) 8.Pan R.Zhou Y.Cao B One-class collaborative filtering 2008 9.Pan R.Martin S Mind the Gaps:weighting the unknown in largescale one-class collaborative filtering 2009 https://www.360docs.net/doc/af9652104.html,flix Netflix prize 11.罗辛.欧阳元新.熊璋通过相似度支持度优化基于K近邻的协同过滤算法[期刊论文]-计算机学报 2010(08) 12.汪静.印鉴.郑利荣基于共同评分和相似性权重的协同过滤推荐算法[期刊论文]-计算机科学 2010(02) 13.Hadoop[E B/OL] 14.Apache MapReduce Architecture 15.Wbite T.周敏.曾大聃.周傲英Hadoop权威指南 2010 16.Herlocker J.Konstan J.Borchers A An algorithmic framework for performing collaborative filtering 1999 17.Linden G.Smith B.York J https://www.360docs.net/doc/af9652104.html, recommendations:Itemto-item collaborative filtering[外文期刊] 2003 18.Sarwar B.Karypis G.Konstan J ltem-based collaborative filtering recommendation algorithms 2001 引证文献(1条) 1.沈韦华.陈洪涛.沈锦丰基于最佳匹配算法的精密零件检测研究[期刊论文]-科技通报 2013(5) 本文链接：https://www.360docs.net/doc/af9652104.html,/Periodical_jsjgcyyy201130002.aspx
矩阵的各种标准形研究
玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授
数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑 体，小四.
Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form
矩阵分解及其应用
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
上页下页返回结束 1 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材： 矩阵论与数值分析----理论及其工程应用 上页下页返回结束 2 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 邱启荣 华北电力大学数理系QQIR@https://www.360docs.net/doc/af9652104.html, 第三章矩阵的Jordan 标准型 与矩阵函数 上页下页返回结束 3 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 4 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 5 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 6 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数
上页下页返回结束7 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束8 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束9 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 10 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 11 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 12 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
上页下页返回结束13 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束14 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束15 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 16 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 17 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 18 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
第5讲 λ矩阵与标准形
第5讲 λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容， 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ?∈,，存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：
定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
§5 多项式矩阵的互质性与既约性 一、多项式矩阵的最大公因子 定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个 右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得： ()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。 类似地可以定义左公因子。 定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一 个最大右公因子（记为gcrd ），如果： （1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子； （2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵 ()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。 对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为 T T T N D R ))(),(()(λλλ= 便是一个。 定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得 ()()()()()()()()()()? ? ? ???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。 证明：（1）证明()λR 是右公因子。 设()()()()()?? ????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()??? ???=? ???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。 （2）证明()λR 是gcrd 。
第三章矩阵的标准形和若干分解形式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 §1 矩阵的相似对角形 一、知识回顾 1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。 2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。 3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。 4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。 若A 为n 阶矩阵，矩阵 ? ? ????? ?? ???---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ 2 1 222 21 112 11 称为A 的特征矩阵。又多项式 n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)( 称为A 的特征多项式，这里A a a n i ii ∑=-=- =1 1tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子 式的和与i )1(-的乘积。A tr 叫A 的迹。 属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间 0λV ，称为A 的特征子空间。特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。 二、寻找矩阵的相似对角形的方法 例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似 (1) ??????????---=121101365A ，(2) ???? ??????=122212221A ，(3) ??????????----=284014013 A 。 提示：(1) 31,31, 2321-=+==λλλ；
?? ?? ??????+-=??????????--=??????????-=3213,3213,011321x x x ； ?? ?? ??????+----=32320111332 P ，??????? ? ? ??????? ---+ +--=-63332133216333213 3210311 P 。 (2) 5,1321=-==λλλ；?? ?? ??????+-=??????????--=??????????-=3213,3213,011321x x x ； ??????????--=111110101P ；???? ? ?? ???----=-111121112311P 。 （3） 2,1321-===λλλ；1λ的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。 例3-2 设???? ??????----=163053064A ，求A 的相似对角形及100 A 。 §2 矩阵的约当标准形 当矩阵n n ij C a A ?∈=)(不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块 对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C 内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这 就是约当（Jordan ）形矩阵，称之为矩阵A 的约当标准形。 定义 若数域P 上多项式)(),(),(x g q f λλ满足)()()(λλλg q f =，则称)(λg 整除 )(λf ，记为)(|)(λλf g 。 定义3－1 设)(),(λλg f 是P 上多项式，如果存在P 上多项式)(λd 满足 （1）)(|)(λλf d ，)(|)(λλg d （即)(λd 可以整除)(),(λλg f ）；
矩阵分解的Matlab指令大全
矩阵分解的Matlab指令大全 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有可逆方阵的三角（LU）分解、任意满秩矩阵的正交三角（QR）分解、对称正定矩阵的Cholesky分解，以及任意方阵的Schur分解、Hessenberg分解、EVD分解、SVD分解、GMD分解等。 （1）可逆方阵的LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的（即可逆的），LU 分解总是可以进行的。 当L为单位下三角矩阵而U为上三角矩阵时，此三角分解称为杜利特(Doolittle)分解。当L为下三角矩阵而U为单位上三角矩阵时，此三角分解称为克劳特(Crout)分解。显然，如果存在，矩阵的三角分解不是唯一的。 （PS：方阵A可唯一地分解为A=LDU(其中L，U分别为单位下，上三角矩阵，D为对角矩阵)的充分必要条件为A的前n-1个顺序主子式都不为0。特别：对n 阶对称正定矩阵，存在一个非奇异下三角矩阵L，使得A=LL'成立。）MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。 （2）满秩矩阵的QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换
矩阵的分解
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112122200 ?? ? ?= ? ??? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。 定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 1121 221 2 000?? ? ?= ? ??? n n nn a a a L a a a
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.
第5讲 λ-矩阵与标准形
第5讲λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若B=,则称A和B相抵；若AC DAC =,则称A和B相合（或合 B T C 同）；若AC =,则称A和B相似，即若n n C C B1- ∈ ,，存在n n n C A? B ∈, P?使得B -1，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变P= AP 换矩阵.特别，当1- P H,称A与B酉相似，当1- =P P T,称A与B =P 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：
定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==