导数习题精选精讲
易错点、学法指导及例题研究
例1、函数)(x f y =是定义在R 上的可导函数，则0)(0/=x f 是函数在0x x =时取得极值的（B ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 例2、已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
略解：22/43c cx x y +-= ，则62 0812 0|22/==∴=+-∴==c c c c y x 或，2=x 时取得极大值，
所以经检验6=c （如令13 0430,12/ c c c c y x 或，则时∴+-=） 变式引申：
函数 在 x=1 时有极值10，则a ，b 的值为（C ）
A 、 或
B 、
或 C 、 D 、 以上都不对
略解:由题设条件得： 解之得
通过验证，都合要求，故应选择A ，上述解法错误，正确答案选C ，注意代入检验
说明：若点0)()(),(000='x f x f y x 的极值点，则是可导函数
；若可导函数),()(00y x x f 在点的两侧的导数异号，则点.)(),(00的极值点是可导函数x f y x ，函数),()(00y x x f 在极值点处不一定可导，如函数
322--=x x y ；函数在取得极值处，如果有切线
的话，则切线是水平的，从而0)(/=x f ，但反过来不一定，如函数0 ,3==x x y 在处0)(/=x f ，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。
例3、函数)(x f y =是定义在R 上的可导函数，则)(x f y =为R 上的单调增函数是0)(/ x f 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件（B ）
说明：当0)(/ x f 时，函数)(x f y =单调递增，但)(x f y =单调递增，却不一定有0)(/ x f ，例如函数3)(x x f =是R 上的可导函数，
它是R 上的增函数，但当0)0(0/==f x 时，
例4、函数)1|(| 3)(3 x x x x f -= （D ） A 、 有最大值，但无最小值 B 、有最大值、最小值 B 、 C 、无最大值、最小值 D 、无最大值，有最小值
略解：)1,1()( 0)( 1|| 33)(/2/-∴∴-=在函数x f x f x x x f 上单调递减，所以无最大、最小值。 说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数)(x f 不一定有最大值与最小值，如函数x
x f 1
)(=
例5
、求
()f x =
解：由函数的定义域可知， 2
10x
-> 即11x -<<
223)(a
bx ax x x f +--=3
,3-==b a 1,4=-=b a 11,4=-=b a 11
,4=-=b a ???==0)1(10)1(/
f f ?
??=--=+--∴0
2310
12b a a b a ??????=-=-==11433b a b a 或11
,4=-=b a
又
22
1()[ln(1)ln(1)]2f x x x =+-- 所以
2222
122()()21111x x x x f x x x x x -'=
-=++-+-
令
()0f x '>，得1x <-或01x <<
综上所述，
()f x 的单调递增区间为（0，1）
说明：求函数的单调区间时千万要注意定义域 变式引申：已知R a ∈，求函数ax e x x f 2)(=的单调区间.
解：ax ax ax e ax x a e x xe x f )2(2)('22+=??+=
令
0)('>x f 即0)2(2>+ax e ax x 0>ax e 022>+∴ax x
解不等式：022
>+ax x ， 0)2(>+ax x
当0=a 时，解得0>x ，0>∴a 时，解得：a
x 2
-<或0>x ， 当0 时，解得a x 2 0- <<，令0)(' <<-x a 当0 x 2 -> 综上所述：在0=a 时，函数)(x f 在区间)0,(-∞内为减函数，在区间),0(+∞为增函数。 在0>a 时，函数)(x f 在区间)2 ,(a --∞内为增函数，在区间)0,2(a -为减函数，在区间),0(+∞内为增函数。 在0 (+∞-a 内为减函数。 说明：本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论 例6、已知曲线)3 8 , 2(313P x y 上一点= ，求过点P 的切线方程。 解：33 1 )38,2(x y P =在 上， （1）当)3 8 ,2(P 为切点时，4| 22='∴='=x y x y ， 所求切线方程为016312=--y x （2）当)38,2(P 不是切点时，设切点为),(00y x ，则3003 1x y =，又切线斜率为20/0|x y k x x ===，所以238002 -- = x y x ，)8(3 1)2(3 000-= -∴x x x ，解得（舍去）或2,100=-=x x ，此时切线的斜率为1，切线方程为0233=+-y x ， 综上所述，所求切线为016312=--y x 或0233=+-y x 。 例7、求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====255 11000 0y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线 有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 说明： （1）过点P 的切线不能等同于在P 点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于0x 方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。 例8、方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x (B) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 略解：令x x x f x x x f 126)( 762)(2/23-=+-=则， ＝)2(6-x x 由200)( 020)(// x x f x x x f 得由或得，又01)2( 07)0( -==f f ， ，故得结论 例9、若函数)0(23 a d cx bx ax y +++=在R x ∈是增函数，则 （D ） 04 2 ac b A -、 B 、00 c b 且 C 、00 c b 且= D 、042 ac b - 略解：不等式0)(0)(// x f x f 或在指定区间上恒成立 例10、函数),3(43 1)(23 +∞--= 在x ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围为 （D ） 略解：方法（一）22/32)(a ax x x f --=＝0))(3( a x a x +-，由题意可知当时),3(+∞∈x ，上面不等式成立，当 10 133 0≤≤≤a a a a 则，知由时，，当03 33 0 a a a a ≤--≥≤-则，知由时，，若0=a ，不等式显然不成立，故13≤≤-a ； 方法（二）因为22/32)(a ax x x f --=，由题可知当时),3(+∞∈x ，032)(22/≥--=a ax x x f 恒成立，因为当a x =时，0432)(222/≤-=--=a a ax x x f ，所以03632≥--≤a a a a 且，所以13≤≤-a 变式引申1：已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=。 （1）求导数 )('x f ；（2）若0)1('=-f ，求)(x f 在]2,2[-上的最大值和最小值； （3）若 )(x f 在]2,[--∞和),2[+∞上都是递增的，求a 的取值范围。 解：（1）a x ax x x f 44)(23+--=，423)('2--=∴ax x x f （2）令0)1(1=-f ，解得21= a ，此时43)('2 --=x x x f 由 0)('=x f ，得：1-=x 或34=x ，又29)1(=-f ，27 50 )34(- =f ， 0)2(=-f ，0)2(=f 所以 )(x f 在]2,2[-上最大值为 2 9，最小值为27 50- （3） 423)('2--=ax x x f )('x f ∴为开口向上且过点)4,0(-的抛物线，由条件知：0)2('≥-f ，0)2('≥f 即?? ?≥-≥+0 280 84a a 解得：22≤≤-a ，所以a 的取值范围是]2,2[- 变式引申2：（2006年江西卷）已知函数f （x ）＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c 在x ＝－ 2 3 与x ＝1时都取得极值。（1）求a 、b 的值与函数f （x ） 的单调区间；（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ） 恒成立，求c 的取值范围。 解：（1）f （x ）＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x 2 ＋2ax ＋b 由f '（23－ ）＝ 124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得，a ＝1 2 －，b ＝－2 f '（x ）＝3x 2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表： 所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－ 3 ）与（1，＋∞），递减区间是（－ 3 ，1） （2）f （x ）＝x 3－ 12 x 2 －2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－ 2 3 时，f （x ）＝ 2227 ＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ） （x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c 2 >f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c >2 变式引申3：已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-= x x ax x f ，设a x 2 01<<，记曲线)(x f y =在点))(,(1x f x M 处的切线为l 。 （I ）求l 的方程； （II ）设l 与x 轴交点为)0,(2x ，证明（i ）a x 10 2≤ <（ii ）若a x 11<，则a x x 1 21<< 解：（I ） 2 1 )('x x f - =，由此得切线l 的方程为)(1 1121 11x x x x ax y --=-- （II ）切线方程中令 0=y ，有)2()1()(1 10111112121 11ax x x ax x x x x x x ax -=+-=?--=-- 即)2(112ax x x -= 其中a x 2 01< < (i)a x 201< < ，21<∴ax ，0)2(112>-=ax x x ，又a a x a x 1)1(212+--= a x 102≤<∴，当且仅当a x 11=时，a x 1 2= (ii)当a x 11<时，11 2< 所以a x x 1 21<< 说明：例7～例10及其变式引申1～3及解不等式以及不等式恒成立问题、方程根的问题，是导数与不等式、方程的综合题 例11、)0,0)1,1(),1( ),1,23，且过点（ ；减区间为的增区间为（-+∞-∞-+++=c bx ax x y ，求a 、b 、c 的值。 解：由题可得c ＝0， 所以b ax x y ++=232/，由条件可知－1，1为方程b ax x y ++=232/＝0的根，则由韦达定理得a=0,b=-3 例12、若函数ax x x f +=2)(在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围为 （B ） 0 a A 、 0 a B 、 C 、0≥a 0≤a D 、 例13、若函数的取值范围为有三个单调区间，则b bx x y +-=33 4 （A ） 0 0 0 0 ≤≥b D b C b B b A 、、、、 例14、已知曲线x qx px x y s 的图像与++=23:轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求p 、q 的值。 解：由题可知方程02=++q px x 有两个不同的解，则042=-=q p ?① q px x y ++=232/ 则2 1p x -=是方程0232/=++=q px x y 的一个解，则由韦达定理知另一个解为6 2322p p p x -=+- =，则曲线s 经过点 46436636)4,6(23323-=?-+?-++=-- p p p p qx px x y p 得代入，解得6=p ，代入①得9=q 说明：以上均是导函数对应的方程根的问题，注意根的判别式及其韦达定理的使用。 例15、计算下列定积分 （1） ? 271 3 1dx x (2)2 40 cos 2x dx π ? (3) 1(2)e x e dx x -? （4） ? +5 23 1 dx x x （5）34|2|x dx -+? 解：（1）令332 123x x F x x F ==)()/ ，（，则原式＝ 121272 3 32 27 1 31 =-=? - )(dx x （2）)sin ()(cos cos x x x F x x +=+=212122 ，令 ，则240cos 2x dx π ?＝） （）－（04 F F π ＝ 4 2 822421＋）＝＋（ππ （3）原式＝ e e e dx x e dx e e e e x --=---=- ? ? 2 2221222121 1 ln ln )ln (ln )(ln （4）原式＝ ? ? ? ? +- =+- =+-+5 5 5 5 2 2 2 31 1 1 dx x x xdx dx x x x dx x x x x )( ＝ 262 1 22512621225ln )ln (ln －－=- （5）原式＝ 3 4 |2|x dx -+? =23 4 2 22x dx x dx ----+++??（） （） =2241( 2)|2x x ---+ +23 21(2)|2x x -+=292 变式引申1：已知 221,[2,2]()1,(2,4] x x f x x x +∈-?=?+∈?,求k 值, 使340 ()3k f x dx =?. 333 3 2 3332222 3 2 2:2322:(1)2340 ()(1)()(39)()333 , 340 340 (1)(4)012 3 1(2)22()(21)(1)(k k k k k k k x k f x dx x dx x k k k k k k k k k k k k k k f x dx x dx x dx ≤<-≤<≤<=+=+=+-+=++=+-++=∴+-+=∴=-≤<∴=--≤<=+++=????解分和两种情况讨论当时 整理得即又 舍去 当时 3 3 2 232 222)() 384040 (42)()(39)(2)()333 0,0 1. , 01 k k x x x x k k k k k k k k k k +++=+-+++-+=-+= ∴+===-==-?即或综上所述或 变式引申2： 计算（1）? =+-4 0244dx x x 4 （分段函数） （2） ? =4 2 24dx x ）－－（ π2 （利用几何意义） 说明：求定积分要能熟练取出被积函数的原函数，并注意有时要将被积函数进行适当的变形，对于分段函数要分段求，对于有些求 定积分要回到其几何意义上。 例16、在曲线 )0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为 12 1 .试求：切点A 的坐标以及切线方程. 解：由题可设切点为),2 0x x （，x y 2=/ ，则切线方程为2002x x x y -=，与x 轴的交点坐标为（)2 00x ，，则由题可知 有 121 122302 2 00220 2 00==+-+? ? x dx x x x x dx x x x x )(，10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y 说明：求一些曲边图形的面积要注意利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积不是与定积分一定相等， 如函数 ］［０ π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.定积分的几何意义是： x b x a x x f y b a 以及与直线上的曲线在区间===,)(],[轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 的 代 数 和 ， 即 轴下方的面积轴上方的面积－x x dx x f b a =?)(. 五、高考题及高考模拟题研究 1、导数的概念、微积分基本定理 高考对导数要求了解其实际背景，作为函数在某一点处的导数的定义及导数的几何意义，对于定积分基本定理的考查，主要是定理的应用即简单计算，关键是被积函数的原函数的寻找，题型一般以选择题、解答题形式出现。 例1、 ?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ C ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解：令x x x F x x x F cos sin )(,sin cos )/ +=+-=则（，所以 21122=--=--+? -)()()()cos (sin 2 2 π ππ πF F dx x x ＝ 说明：关键是原函数的寻找，要求能熟悉一些函数的导数。 例2、已知)0( )2004()2)(1()(f x x x x x f '+++=试求， 分析：本题考查运用导数定义解决问题的能力，求一个可导函数)()(0x f x f '的导函数值，通常是先求出这个函数的导函数，在将0 x x =代入，这是一般处理方法，‘然而在本题情况下，)(x f '不易求出，此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求，求法如下： !2004)2004()2)(1(lim ) (lim 0 )0()(lim )0(000 =+++==--='→→→x x x x x f x f x f f x x x 说明：对运用导数的概念求函数的导数考查较少，但这一点这是是高考要求考生必须了解的内容，随着高考对导数考查思路的逐步成熟，高考对这一点的考查会适当拓宽，如还可能在“可导与连续”、“可导与有切线”的联系处，或在导数定义的变式处设置选择题，以考查学生应用导数概念解题的能力。 2、导数、定积分的几何意义 高考对导数的几何意义考查的要求是理解，试题一般以选择题、填空题的形式出现，常与解不等式、不等式的证明及圆锥曲线有关 这是结合起来考查。小题小综合、大题大综合，尤其是导数与圆锥曲线、不等式的证明等知识的综合，数学思想丰富、解法灵活多变、方法多样。请加强这方面的训练 例3、（2006年安徽卷）若曲线 4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=（ ） 解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4 y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 分析：本题是在导数的几何意义直线的联系处命题的，根据导数的几何意义，过点M ))(,(11l x f x 处的切线为的斜率为)(1x f '，于是先求 )(x f 的导数，并利用点斜式写出l 的方程。 例4、（2006年江苏卷）对正整数n ，设曲线)(x x y n -=1在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列? ?? ???+1n a n 的前n 项和 的公式是 ▲ 解： ()()/ 11 2 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为 ()012n y n =+，所以21n n a n =+，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和() 12122212n n n S +-= =-- 分析：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。 例5：直线 32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积是（ C ） A 20 B 3 28 C 332 D 3 43 解：直线 32+=x y 与抛物线2x y =的交点坐标为（－1，1）和（3，9），则3 32 3223 1= ? -dx x x S )－＋（＝ 例6：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 说明：力对质点的做功就是求定积分。 3、利用导数研究函数的性态 高考对这一知识点考查的要求为：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值，注意数形结合。 例7、（2006年天津卷）函数 )(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间) ,(b a 内有极小值点（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 例8、（2006年江西卷）对于R 上可导的任意函数 f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ C ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在 （1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C 变式引申：已知]2,2[,(62)(23-+-=在为常数） m m x x x f 上有最大值为3，那么此还是在[－2，2]上的最小值为 A 、－37 B 、－29 C 、－5 D 、－11 （A ） 解 ： 由 ),2(6126)(2/-=-=x x x x x f 2 00)(/或得==x x f ，m f m f m f +-=-+-==40)2(,8)2(,)0( ，则有 37)2( 3 )2()2()0(-=-∴=∴-f m f f f 最小值为 例9、（2006年北京卷）已知函数 32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)， (2,0)，如图所示.求： （1）0x 的值； （2）,,a b c 的值. 解：（1）c bx ax x f ++=232)(/ ，由图可知当 010101<>=><)()(,)(///x f x x f x x f x 时，，当＝时，当时，， 故当1＝x 时，函数取得极大值，所以0x =1 （2）由图可知21==x x ,为方程 0=)(/x f 的两个根， 则有,023=++c b a ① ,0412=++c b a ② ，由（1）可知51=++=c b a f )( ③ 由①②③解得2,9,12a b c ==-=. 例10：（2006年福建卷）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （1）求 ()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （2）是否存在实数,m 使得 ()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不 存在，说明理由。 解：（1） 22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+ 综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++ =≤≤??-+>? （2）函数 ()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln , 62862(1)(3) '()28(0), x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=()(1)7,()(3)6ln315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，() 0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ()70, ()6ln 3150,x m x m φφ=->??? =+- 最大值最小值 即7156ln 3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数 ()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).- 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。 例11、设函数轴的图像与y d cx bx ax x f y +++==23)(交于点P ，若过P 的切线方程为02912=-+y x ，且当x=4时，函数 )(x f 取 极值－19，试求)(x f 的解析式，并求这个函数的单调递减区间。 解：由c f c bx ax x f y ='∴++='=')0( 23)(2，这是过P 点的切线的斜率。0 , 12=-==∴x k c 把代入切线方程02912=-+y x ， 29 )29,0( 29=∴=∴d P y 即， 4 2912)(23=+-+=∴x x bx ax x f 由，时，)(x f 的极值为－19，则19)4( 0|4-=='=f y x ， ， ?? ????????-==-=+?-?+?=-?+?∴343 1929412440124243232b a b a b a 解得 )4,3 4 ()( 434 012649 2912343)(223-∴--='+--= ∴的单调递减求解为解得－令x f x x x y x x x x f 例12、设函数)(x f 是定义在2 12)( )0,1[ ]1,0()0,1[x ax x f x + =-∈?-时，当的奇函数，（a 为实数）； （1）当的解析式时，求)( ]1,0(x f x ∈；（2）若上的单调性，在，试判断]1,0()(1x f a - 并证明你的结论； （3）是否存在实数；有最大值为－时，使得当，6)( ]1,0( x f x a ∈ 分析：第（1）设2 2 1)(12])(2[)()( )0,1[ ]1,0(x x ax x a x f x f x x - = + --=--=-∈-∈-，则， （2）（3）首先求出导函数3 22)(x a x f y + ='='， 然后解含参数a 的不等式)0,0(0)( ='x f ，要进行分类讨论。本题的第（2）实际上为第（3）作铺垫，因为 上单调递增在所以，即，，，]1,0()( 0)( 01 11 , ]1,0( 1x f x f x a x x a '+ ≥∈-； （3）当（不合题意，舍去）上单调递增，在知，时，由 2 56)1()( ]1,0()( 0)( 1max -=?=='-a f x f x f x f a 当22 2261)( ]1,0( 1 ,0)( 13max 3-=-=?-=??? ? ??-=∈-=='-≤a a a f x f a x x f a 故存在，易求得，时，使6]1,0()(上有最大值为－在x f 。 4、利用导数解应用性问题 利用导数解决科技、经济、生产、生活中的最值问题，是新课程高考要求学生必须掌握的内容，与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中利用导数求出函数的最值。 例13、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析 式可以表示为：313 8(0120).12800080 y x x x = -+<≤已知甲、乙两地相距100千米。 （I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 2.540 =小时， 要耗没313 ( 40408) 2.517.512800080 ?-?+?=（升）。 （II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015 ()( 8).(0120),1280008012804 h x x x x x x x =-+=+-<≤ 33 22 80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x = 当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数。 ∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 分析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。由于三个正数的均值不等式 高考不作要求，所以关于x 的三次函数的最值，只有用导数求其最值。 例14：（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图 所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO 1为x m ，则41< 由题设可得正六棱锥底面边长为： 2 2228)1(3x x x -+=--，（单位：m ） 故底面正六边形的面积为：(436?? 22)28x x -+=)28(2 332x x -+?， （单位：2 m ） 帐篷的体积为：)(V 22823 3x x x -+=） （]1)1(31[+-x )1216(2 33x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(2 3 V'2x x -= ）（。 令0V' =）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21< ∴当2=x 时，）（x V 最大。 答：当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m 。 点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 导数应用的题型与方法 四、热点题型分析 题型一：利用导数定义求极限 例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→? 解：（1）h h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2) ()()()3(lim 2)()3(lim 00 --+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21 )('23) ()(lim 213)()3(lim 232) ()(lim 2)()3(lim 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）?? ????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim ) ()(lim 00)('lim )()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。 题型二：利用导数几何意义求切线方程 例2．．已知曲线21: C y x =，曲线22:(2)C y x =--，直线l 与12C C 、都有相切，求直线l 的方程。 解：设直线l 与12,C C 的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ， 1 2 2112 212()'2,22(2),2x x x x x x y x y x x x ==' '=∴===--∴=- 又21 1y x = 222211(2)y x x y =--=-=- 22 211111*********(2)221 y y y x x k x x x x x x x ---∴=====----- 10x ∴=或12x =， 04k k 或∴==l ∴的方程为：0y = 或 44(2)y x -=-。 题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 例3已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数 2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数 )(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过 ))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 而过 .13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故?? ?-=-=+?? ?-=-=++3 023 323c a b a c a b a 即 ∵ 124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2） ).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,3 2 2;0)(,23<'< ≤->'-<≤-x f x x f x 时当时 13)2()(.0)(,13 2 =-=∴>'≤ ,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b x ,0212)2()(,26 min 时； ③当.60,012 12)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ 例4：已知三次函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； ① ② (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； (3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件． 解：(1) 2 ()32f x x ax b '=++， 由题意得，1,1-是2 320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-． 再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3 ()32f x x x =--． (2) 2 ()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， 当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=； 当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1, ]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-． (3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，()f x 在 ()上1,-∞-是增函数,f(1)=-5∴4420m --=-，即4m =． 于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知 ，-163,24≤≤≤-≤n n 即 综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，63≤≤ n 例5：已知函数f(x)=－x 3 ＋3x 2 ＋ax ＋b 在x ＝(1，f(1))处的切线与直线12x －y －1＝0平行． （1）求实数a 的值； （2）求f(x)的单调递减区间； （3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（1） ∵f ’(x)＝－3x 2 ＋6x ＋a ∴f ’(1)＝3＋a=12,∴a=9 （2） f ’(x)＝－3x 2 ＋6x ＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （3）因为f(－2)＝8＋12－18＋b=2＋b ，f(2)＝－8＋12＋18＋b ＝22＋b ， 所以f(2)>f(－2)． 因为在（－1，3）上f ‘(x)>0， 所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减， 因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋b ＝20，解得 b ＝－2． 故f(x)=－x3＋3x 2 ＋9x －2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 例6：已知函数 3221 ()3(0)3 f x x bx a x a =-+-≠在x a =处取得极值， （1）用,x a 表示 ()f x ； （2）设函数33()23'()6,g x x af x a =--如果()g x 在区间(0,1)上存在极小值，求实数a 的取值范围. 解：（1） 22'()23f x x bx a =-+-, 3221 '()02()233 f a b a f x x ax a x =?=?=-+- （2）由已知3223() 23123,g x x ax a x a =+-+ ,1266)('22a ax x x g -+=∴令)('x g ＝0.2a x a x -==?或 ①若0>a ,则当a x a x 2-<>或时，)('x g >0；当2a x a -<<时，'()0g x <. 所以当(0,1)x a =∈时，()g x 在(0,1)有极小值. ②同理当0a <时，2(0,1)x a =-∈，即1 (,0)2 a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值. 综上所述：当1 (0,1)(,0)2 a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值. 例7：已知).R a (x 3ax 2x 32)x (f 2 3∈--= (1)当4 1 |a |≤ 时, 求证)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解: (1) ∵,x 3ax 2x 3 2) x (f 23 --= ∴.3ax 4x 2)x (f 2--=' ∵41|a |≤ , ∴,0 )41a (4)1(f 0)4 1a (4)1(f ??? ??? ? ≤+-=≤-=-' 又∵二次函数)x (f '的图象开口向上, ∴在)1,1( -内0)x (f <', 故)x (f 在)1,1( -内是减函数. (2)设极值点为),1x 1(x 0 <<-∈则0)x (f =' 当41a >时, ∵,0 )41a (4)1(f 0)4 1a (4)1(f ??? ??? ?<+-=>-=-' ∴在)x ,1(0 -内,0) x (f >' 在)1,x (0 内,0)x (f <' 即)x (f 在)x ,1(0 -内是增函数, )x (f 在)1,x (0 内是减函数. 当41 a > 时)x (f 在)1,1( -内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当41 a -<时, 同理可知, )x (f 在)1,1( -内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当4 1 a 41≤≤-时, 由(1)知)x (f 在)1,1( -内没有极值点. 故所求a 的取值范围为),4 1 ()41,(∞+--∞ 例8：设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若 ()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 解：（1）2 ()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1． （2）当b=1时，()0f x '=令得方程2 32(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=? a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)(' x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。 题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。 例9 用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=(902)(482)x x x --,(0 =3 242764320x x x -+ ∵V ′=2 125524320x x -+ 由V ′=2 1255243200x x -+=得1210,36x x == ∵010x 时，V ′>0,10 所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960，并且又是最大值 所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 例10：设函数 .10,323 1 )(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值. （2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 解：（1）22 ()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a == 列表如下： x （-∞，a ） a （a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0 + 0 - ()f x 极小 极大 ∴ ()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减 x a =时，34 ()3 f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小 （2）22 ()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+， ∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减 ∴22(1)4(1)321Max f a a a a a '=-+++-=-，22min (2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=- 依题|()|f x a '≤?||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4 [,1)5 例12：（2006全国卷）设a 为实数，函数()()322 1f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞都是增函数，求a 的取值范围。 解： 22()32(1)f x x ax a '=-+-，判别式22241212128a a a ?=-+=- ① 若 21280,a a ?=-==，当 (,)(,)33 a a x x ∈-∞∈+∞或时() 0f x '，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，所以 a =符合题意。 ,( 2 a ∴∈ 题意。 ③若2 1280, a ?=-即 6 , 22 a()0 1 f x-∞+∞ 在（，）和（，）都是增函数，只须 (1)0 (0)013 01 3 f f a a ? ?'≥ ? '≥?≤ ? ? ? ? ， 又 6 , 22 a -所以a ? ∈? ?? 综上：a的取值范围为(,[1,) -∞?+∞ 例13：已知函数()()() 331,5 f x x ax g x f x ax =+-=--，其中() 'f x是的导函数 （Ⅰ）对满足11 a -≤≤的一切a的值，都有()0 g x<，求实数x的取值范围； （Ⅱ）设2 a m =-，当实数m在什么范围内变化时，函数() y f x =的图象与直线3 y=只有一个公共点 解：（Ⅰ）由题意()2335 g x x ax a =-+- 令()()2 335 x x a x ?=-+-，11 a -≤≤ 对11 a -≤≤，恒有()0 g x<，即()0 a ?< ∴ () () 10 10 ? ? < ?? ? -< ?? 即 2 2 320 380 x x x x ?--< ? +-< ? 解得 2 1 3 x -<< 故 2 ,1 3 x ?? ∈- ? ?? 时，对满足11 a -≤≤的一切a的值，都有()0 g x< （Ⅱ）() '22 33 f x x m =- ①当0 m=时，()31 f x x =-的图象与直线3 y=只有一个公共点②当0 m≠时，列表： ∴ 211 f x f x m m ==--<- 极小 又∵f x的值域是R，且在, m+∞上单调递增 ∴当x m >时函数() y f x =的图象与直线3 y=只有一个公共点。 当x m <时，恒有()() f x f m ≤-由题意得()3 f m -<即3 2 21213 m m m -=-< 解得()()30,2 m∈；综上，m的取值范围是( 例14．（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 2 3 与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x） 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b 由f'（ 2 3 －）＝ 124 a b0 93 －＋＝，f'（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ 1 2 －，b＝－2 f' 2 所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23 ）与（1，＋∞），递减区间是（－ 2 3 ，1） （2）f （x ）＝x 3 － 12 x 2 －2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－ 2 3 时，f （x ）＝ 2227 ＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ） >f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c >2 题型六：利用导数研究方程的根 例15：已知平面向量a =( 3,－1). b =( 21,2 3 ). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥ y ，∴x y ?=0 即[a +(t 2 -3) b ]2(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2 a +[t-k(t 2 -3)] a b ?+ (t 2 -3)22 b =0 ∵a b ?=0，2a =4，2 b =1，∴上式化为-4k+t(t 2 -3)=0，即k= 4 1 t(t 2 -3) (2)讨论方程41t(t 2 -3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41 t(t 2 -3)与直线y=k 的交点个数. 于是f ′(t)= 4 3(t 2 -1)= 43 (t+1)(t-1). 令f ′ 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－ 2 1 函数f(t)= 4 1t(t 2 -3)的图象如图13－2－1所示， 可观察出： (1)当k ＞ 21或k ＜－21 时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21 时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜2 1 时,方程f(t)－k=0有三解. 例16：设a 为实数，函数32 ()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点． 解：2 ()321,f x x x '=--令121()0,,13 f x x x '==-=，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表所示 x 1(,)3-∞- 13- 1 (,1)3 - 1 (1,)+∞ ()f x ' + 0 — 0 + ()f x 极大值 极小值 所以()f x 的极大值=15 ()327 f a -= +，极小值(1)1f a =-。 （2）1()(1)3f f -，所以当50,1027a a +-或时曲线()f x 与x 轴仅有一个交点。所以当5 (,)(1,)27 a ∈-∞- ?+∞时曲线 ()f x x 与轴仅有一个交点。 例17： 已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围. 解（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02a x ax x ax x f a -=-='≠.令a x x x f 2,00)(21= =='得. 当（i ）a>0时， 若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a -∞上是增函数； 若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a 上是减函数； 若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2 (+∞a 上是增函数； （i i ）当a ＜0时， 若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a -∞上是减函数； 若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a 上是减函数； 若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2(a 上是增函数； 若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，且函数)(x f y =在a x x 2 ,0==处分别是取得极值a f 3 1)0(- =，134)2(2+--=a a a f . 因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2 ()0(≤?a f f .即0)3 1)(134(2 ≤-+- -a a a 所以 0) 4)(3)(1(2 ≤--+a a a a .故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且. 解得 －1≤a ＜0或3≤a ≤4.即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 题型七：导数与不等式的综合 例18：已知,0>a 函数),0[,)(3+∞∈-=x a x x f ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。 （Ⅰ）求l 的方程； （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(2x ，证明：①31 2 a x >；②若311 a x > ，则123 1x x a <<。 解：（1）)(x f 的导数2 3)(x x f ='，由此得切线l 的方程 )(3)(1213 1x x x a x y -=--， （2）依题意，在切线方程中令0=y ，得2 1312 13112323x a x x a x x x +=--=， （ⅰ）)32(3131 2131213 1 2a x a x x a x -+=-0)2()(3131 12 31 12 1 ≥+-=a x a x x ， ∴3 1 2 a x ≥，当且仅当3 11 a x =时取等成立。 （ⅱ）若3 11a x >，则031 >-a x ，032 1 3112<-=-x a x x x ，且由（ⅰ）31 2a x ≥， 所以123 1x x a <<。 例19：设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围； （2）设0x ≥1，)(x f ≥1，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =. 解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须,3,02x a y ><'即这样的实数 a 不存在.故 )(x f 在 [)+∞,1上不可能是单调递减函数. 若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤23x ， 由于[)33,,12≥+∞∈x x 故.从而0 （2）方法1、可知)(x f 在[)+∞,1上只能为单调增函数. 若 1≤ )(00x f x <，则,))(()(000矛盾x x f f x f =< 若 1≤ )(),())((,)(000000x f x x f x f f x x f <<<即则矛盾，故只有 00)(x x f =成立. 方法2：设 0)(,)(x u f u x f ==则， ,,03030x au u u ax x =-=-∴两式相减得00330)()(x u u x a u x -=--- 020200,0)1)((x a u u x x u x =-+++-∴≥1,u ≥1， 30,32020≤<≥++∴a u u x x 又，01202 0>-+++∴a u u x x 例20：已知a 为实数，函数2 3()()()2 f x x x a =++ （1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）证明对任意的12(1,0)x x ∈-、，不等式125 |()()|16 f x f x -<恒成立 解： 3233()22f x x ax x a =+++，23 '()322 f x x ax ∴=++ 函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解 2344302a ∴?=-??≥，2 92a ≥，所以a 的取值范围是3[22 -∞+∞（，，） '(1)0f -=，33202a ∴-+=，94a =，2931 '()33()(1)222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或12x >-；由1 '()0,12 f x x <-<<- ()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为1 (1,)2-- 易知()f x 的最大值为25(1)8f -=，()f x 的极小值为149()216f -=，又27 (0)8f = ()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =，最小值49 16 m = ∴对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495|()()|81616 f x f x M m -<-= -= 函数()y f x =在区间(0,)+∞内可导，导函数'()f x 是减函数，且' ()0f x >。 例21：设0(0,)x ∈+∞，y kx m =+是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程，并设函数()g x kx m =+。 （I ）用0x ， 0()f x ，'0()f x 表示m ； （II ）证明：当(0,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥； 解：（I ）'000()()m f x x f x = -； （II ）令()()()h x g x f x =-，0()()(),h x f x f x '''=-令()0h x '=，因()f x '递减，所以()h x '递增，当0,()0,x x h x '当 0,()0x x h x '， 所以0x 是()h x 唯一极值点，也是最值点，所以得min 0()()()()0h x h x h x h x ≥===极小值；当(0,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥； 题型八：导数在实际中的应用 例22：某工厂每月生产x 吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为800（万元），可变成本为20x （万元）．市 场对这种商品的需求函数为p=100－x （0＜x ＜100），其中p 为这种商品的单价（单位：万元），x 为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）． （1）把月利润y （万元）表示为产量x （吨）的函数（利润＝销售收入－成本）； （2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？ 解：（1）y=p 2x －20x －800 =x 2(100－x)－20x －800=－x 2 +80x －800(0x<100)< （2）y=－x 2 +80x －800=－（x －40）2 +800 ∴当x=40时，y max =800. 此时单价p=100－x=60 ∴每生产40吨，能获得最大利润单价60万元. 题型九：导数与向量的结合 例23：设平面向量3113 ( ),().2222 a b =-=，，若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ， 使，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2 （1）求函数关系式()S f t =； （2）若函数()S f t =在[)∞+，1上是单调函数，求k 的取值范围。 解：（1）).2 3 ,21(),21,23( =-=10a b a b ==?=， 2 2 2 2223,0000x y x y a t k b sa tb sa t t k b t st sk a b s t k t s f t t kt ⊥?=??+--+=??-+--+?=∴-+-===-又，得 （）（） ，即（）-（）。 （），故（）。 （2）[)上是单调函数， ，）在（且）（∞+-='132t f k t t f 则在[)+∞,1上有00)(≤'≥'）（或t f t f 由3)3(3030)(min 2 22≤?≤?≤?≥-?≥'k t k t k k t t f ； 由2 23030)(t k k t t f ≥?≤-?≤'。 因为在t ∈ [)+∞,1上23t 是增函数，所以不存在k ，使23t k ≥在[)+∞,1上恒成立。故k 的取值范围是3≤k 。 利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题 导数是高中数学的 重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如 3269100x x x -+-=， 22ln x x -=x -方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤 是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。 一、有关三次方程根的问题： 对 320Ax Bx Cx D +++=的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根0x ，然后转化为()()200x x ax bx c -++=，再展开， 应用待定系数法即可求出,,a b c 。再对2 0ax bx c ++=求根得解。如32320x x -+=；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们 就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。 例1、方程3 269100x x x -+-=的实根的个数是 （ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。 解：令 ()f x =326910x x x -+- 则()'f x =23129x x -+ 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值 高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0； 当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 导数复习经典例题分类（含答案） 导数解答题题型分类之拓展篇(一) 编制：王平审阅：朱成2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立; 经验1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4; 1 例「已知函数f(x) 3 x 3 bx 2 2x a，x 2是f (x)的一个极值点. (I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当围. 2 2 x [1, 3]时，f (x) a —恒成立，求a的取值范 3 2x 例 2.设 f (x) , g(x) ax 5 2a(a 0)。 x 1 (1)求f(x)在x [0,1]上的值域； (2)若对于任意人[0,1]，总存在x0 [0,1],使得g(x。)f(xj成立，求a的取值范围 _ 3 2 例3.已知函数f(x) x ax 图象上一点P(1,b)的切线斜率为 3 , (t 1)x 3 (t 0) (U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域; ax 3 2ax 2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是 (U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值 x 3 2J10 例5.已知函数f (x) -y 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ----------- ，函数 a 5 (、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3. a (1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实 数m 的 g(x) (I)求a,b 的值; (川)当x ［1,4］时，不等式f (x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围 例4.已知定义在R 上的函数f(x) —11. (I)求函数f(x)的解析式; 范围? 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 . 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 导数大题专题训练 1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切x∈（0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立． 2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围. 3．设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数 f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
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