高等代数 第四章 线性变换
第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8） 在P n
n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α
故A 是P 3
上的线性变换.
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )
A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=
则
A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)
8)是.因任取二矩阵Y X ,n
n P
?∈,则
A (=+=+=+BYC BXC C Y X
B Y X )()A X +A Y
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X 故A 是n
n P
?上的线性变换.
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:
A 4
=B 4
=C 4
=E,AB ≠BA,A 2
B 2
=B 2
A 2
并检验(AB )2
=A 2
B 2
是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2
a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4
a=(x,y,z)
B a=(z,y,-x), B 2
a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4
a=(x,y,z)
C a=(-y,x,z), C 2
a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4
a=(x,y,z) 所以
A 4
=B 4
=C 4
=E 2) 因为
AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为
A 2
B 2
(a)=A 2
(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以
A 2
B 2
=B 2
A 2
3) 因为
(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2
(a)=(-x,-y,z) 所以
(AB )2
≠A 2
B 2
3.在P[x] 中,A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f =
证明:AB-BA=E
证 任取∈)(x f P[x],则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E
4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k
B-BA k
=k A
1
-k (k>1)
证 采用数学归纳法. 当k=2时
A 2
B-BA 2
=(A 2
B-ABA)+(ABA-BA 2
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.
归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1
-m .则当1+=m k 时,有 A 1
+m B-BA 1
+m =(A
1
+m B-A m
BA)+(A m
BA-BA
1
+m )=A m
(AB-BA)+(A m
B-BA m
)A=A m
E+m A
1
-m A=)1(+m A m
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.
证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A
1
-.
若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1
-,有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1
-b=a 即可.
因此,A 是一个双射.
6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 证 因
A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵;
3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!
1
)1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵A; 4) 六个函数 1ε=e
ax
cos bx ,2ε=e
ax
sin bx
3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx
1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2
1e ax 2x sin bx
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵;
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是??
??
? ??-121011101A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3
中,A 定义如下:
???
??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()
3,0,5(3
21ηηηA A A 其中
???
??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1)
A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε
A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)=
2ε
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???
?
? ??-001110012
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=2
1
1ε+212ε，
A 2ε=
2
1
1ε+212ε
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????
?
??2121212
1
又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???
?
?
?10
00，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =?????
?
?
?
210210
， 3）因为 )!
1()]
2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε ，所以A 0110=-=ε A 01)1(εε=-+=x x A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε
，所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =???
???
?
?
??011010 ， 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε, D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε
，所以D 在给定基下的矩阵为D =??????
??
?
?
?
?---00
0000010000100
001000
01a b b a a
b b a a b b a
， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)?????
??--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???
?
?
??---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=????? ??--111101
011????? ??-121011101????? ??---101110111=?????
??--203022211. 6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)????
?
??--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???
?? ??--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
?? ??----963110505故
A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505??
?
?
? ??--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)????? ?
?----963110505???????
?
??---717
17271767
2
737371
=(1ε,2ε，3ε)??
??
???
?
??-----7247
187
27727574
72072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-????
?
??----963110505 =(1η,2η,3η)????
?
??---011101532。 8．在P
2
2?中定义线性变换A
1
(X )=???
?
??d c b a X, A 2
(X )=X ???
?
??d c b a , A 2
(X )=
???? ??d c b a X ???
? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。
解 因
A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22, 故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 1=????
??
?
?
?d c
d c b a b a 00000000 又因
A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22, 故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 2=????
??
?
?
?d b c a d b c
a 00000000 又因
A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22 A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2
E 21+cd E 22 A 3E 21= ab E 11+b 2
E 12+ad E 21+bd E 22 A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22 故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
????
??
?
?
?=2222
3d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad ab bc ab ac a A 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
? ??3332
31
232221
131211a a a a a a a a a 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵; 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且; 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1)因
A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε A 2ε=+332εa +222εa 112εa A 1ε=+331εa +221εa 111εa 故A 在基123,,εεε下的矩阵为
????
?
??=1112
13
212223
3132333a a a a a a a a a B 2)因
A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka A 3ε=13a 1ε+k
a 23
(2εk )+333εa 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为
?????
? ?
?=3332
31232221
1312112a ka a k a a k a
a ka a B 3)因
A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε
A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa 故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为
???
?
?
?
?+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0,求证
ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关.
证 设有线性关系
0121=+++-εεεk k A l A l l 用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立) 又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l
再用A
2
-k 作用之,得2l A
ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l 即证ε,A ε,, A
ε1
-k (k >0)线性无关.
11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1
-n 0≠但,求证A 在某组下的矩阵是
??
?
??
??
?
??0101010 证 由上题知,
ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 为线性空间
V 的一组基.又因为
A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0 A ε1
-n
A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2
+?+0 A ε1
-n
……
A （A
ε1
-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0 A ε1-n
故A 在这组基下的矩阵为
??
?
??
??
?
??0101010 12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘
变换.
证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.
证 设A 在基下n εεε,,,21 的矩阵为A=(ij a ),只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X
则n ηηη,,21也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1
-,从而即有AX=XA,这说明A
与一切非退化矩阵可交换. 若取
???
?
??
?
??=n X 211 则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j),即得
A=??????
? ?
?nn a a a
22
11
再取
2X =???????
? ??0001100001000010
由A 2X =2X A,可得 nn a a a === 2211
故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
????
??
?
??---2122552131211201
1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵; 2) 求A 的核与值域;
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵; 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?---21
110110003
20001 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=
AX
X 1-=
1
2111011000320001
-???
???
?
??---???
????
??---2122552131211201
??????
?
?
?---21
11011000320001
=
?????
?
?
? ??-----87103403403163831031034322332
2) 先求A
1
-(0).设∈ξ A
1
-(0),它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ),且在A ε
在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,),则
???????
??---2122552131211201??????? ??43
21x x x x =????
??
?
??0000 因rank(A)=2,故由 ??
?
=+++-=++0
32024321431x x x x x x x
可求得基础解系为 X 1=)0,1,2
3
,2('--,X 2=)1,0,2,1('--
若令
a 1=(321,,εεε,4ε)X 1,a 2=(321,,εεε,4ε)X 2 则a 1, a 2即为A 1
-(0)的一组基,所以
A
1-(0)=L(a 1, a 2)
再求A 的值域A V.因为 A 1ε=43212εεεε++- A 2ε=432222εεε-+ A 3ε=432152εεεε+++ A 4
ε3ε=4321253εεεε-++
因rank(A)=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε发秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2
ε可组成A V 的基,从而
A V=L(A 1ε ,A 2ε) 4) 由2)知a 1, a 2是A
1
-(0)的一组基,且知,1ε2ε, a 1, a 2是V 的一组基,又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?--
-10
00010022310
120
1
故A 在基,
1ε2ε, a 1, a 2下的矩阵为
B=
1
10
00010022310120
1-??????
? ?
?--
-???
???
?
??---2122552131211201
??????
? ?
?--
-10
00010022310120
1
=????
?
?
?
??-0022002100129002
5
4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?--10
210121002
10001
故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
1021012100210001
-???
???
?
??--???????
??---2122552131211201
??????
?
??--10
2
1012
1002100
1 =??????
? ?
?00
0000002231291225
15. 给定P 3
的两组基
???
??===)1,1,1()0,1,2()
1,0,1(3
21εεε ???
??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3
21ηηη 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵;
2) 写出在基321,,εεε下的矩阵; 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵. 解 1)由
(321,,ηηη)=(321,,εεε)X
引入P 3
的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1),则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-????? ??????? ?
?----111122
221
=????
???
?
?
?
---25211
2323123232 2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
???
?
?
?
--
-25211
2323
1
23232 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
???
?
?
?
--
-252112323
123232 4) 因
A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.
16.证明
??????? ?
?n λλλ
2
1与????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1相似,其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列.
证 设有线性变换A ,使
A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ????
???
??n λλλ
2
1=)21,,,(n εεε D 1 则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1=( ,,21i i εε,n i ε)D 2 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故??????
?
??n λλλ
2
1
与????
??
?
?
?n i i
i λλλ
2
1相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证 因A 可逆,故A
1
-存在,从而A
1
-(AB)A=( A
1
-A)BA=BA
所以AB 与BA 相似.
18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明:.0000相似与???
?
??????
??D B B A 证 由已知,可设B=X 1
-AX, D=Y 1-CY , 则???? ?
?--11
0Y X ???? ??C A 00???? ??Y X 0
0=???
? ??D B 00 这里???? ??--11
0Y X =???
?
??Y X 001
-
故?
???
??C A 00与???
?
??D B 00相似. 19设A,B 是线性变换, A 2
= A, B 2
=B 证明:
1) 如果(A+B )2
=A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么(A+B-AB)2
=A+B-AB.
证 1)因为A 2= A, B 2=B, (A+B )2
=A+B 由(A+B )2
=(A+B) (A+B)= A 2
+AB+BA+ B 2
, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.
又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2
B-B 2
A= A 2
B+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.
2) 因为A 2
= A, B 2=B, AB=BA 所以(A+B-AB)2
= (A+B-AB) (A+B-AB)
= A 2
+BA- AB A+ AB+ B 2
- AB 2
-A 2
B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB
20. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2
n 维的. 证 .21221111维的是的一组基，是，，，，，，，因n P P E E E E E E n n n n nn n n n ?? 所以V 的全体线性变换与n
n P
?同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2
n 维的.
21. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:
3) 在][x P 中有一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 4) 如
果
)(,0)(==A g A f ,那么
)(=A d ,这里
.)()()(的最大公因式
与是x g x f x d 5) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式.0)()(=A f x f 使
证 1)因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2
n 维的,所以2
n +1个线性变换A
2
n ,A
1
2-n ,、、、,A,E
一定线性相关,即存在一组不全为零的数011,,,22a a a a n n -使
2n a A 2n +12-n a A
1
2-n +1a A+0a E=0
令
11
12
22
2)(a x a x a x a x f n
n n n +++=--,且
.),,2,1,0(22n x f n i a i ≤?=））（（不全为零，
这就是说,在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证. 2)由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0
3)必要性.由1)知,在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即
2n a A
2
n +12-n a A
1
2-n +1a A+0a E=0
若则,00≠a 011
12
22
2)(a x a x
a x a x f n n n n +++=--即为所求.
若
,
00=a 最小的那一个，则
是不为零的系数中下标不全为零，令因j i a n i a ),,2,1,0(2 = 2n a A 2n +12-n a A 1
2
-n
+1a A+0a E=0因 A 可逆，故存在
右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ，
得2n a A
j
n -2+12-n a A
1
2--j n +…+j a E=0
令=)(x f 2n a j
n
x
-2
+1
2-n a 12
--j n x +…+)0(≠j j a a ，即)(x f 为所求.
充分性.设有一常数项不为零的多项式
011
12
222)(a x a x a x a x f n
n n n +++=--)0(0≠a 使0)(=A f
即0011
1=++++--E a A a A
a A a m m m
m 所以E a A a A a A a m m m m 011
1-=+++--
于是E A E a A a a m m =?++-
-)(1
110
又?A E E a A a a m m =++-
-)(1
110
故A 可逆.
22. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的个两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使a A a A a A s ,,,21 也两两不同. 证 令
V }{
a A A V j i ij =∈=ααα, (s j i ,2,1,=)
因为
ij j i V A A ∈==0,000
故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个
向量β,使ββj i A A ≠
故ij V 是V 的非空真子集 设则,,ij V ∈βα
ββααj i i A A A A ==,
于是
)()(βαβα+=+j i A A
即ij V ∈+βα
又 )()(ααααk A kA kA k A j j i i === 于是ij V k ∈α 故ij V 是V 的真子空间.
1)如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设
),,,2,1,(s j i V ij =?α则
ααj i A A ≠(s j i ,,2,1, =)
即证: 存在向量α,使αααs A A A ,,,21 两两不同. 2)如果{ij V }中有V 的平凡子空间0
0j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取,
0≠α
就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1),即知也存在向量α使
αααs A A A ,,,21 两两不同.
23
:
,.,证明的子空间中向量的像组成表示由的子空间是的线性变换是有限维线性空间设W AW V W V A
)dim())0(dim()dim(1W W A AW =?+-
证 因为故上的线形变换也是,W A W A ?-)0(1是.的子空间
W 设W A ?-)0(1的维数 为r,W 的维数为s.
今在W A ?-)0(1
中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +
且s r A A εε,1 +线性无关.所以)dim())0(dim()dim(1
W W A AW =?+- 24.设:,,证明的两个线性变换维线性空间是V n B A
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(
证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,, A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.
因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有
rank (AB)rank ≥(A)+n rank -)B (
故对于B A ,线性变换,也有AB
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(
25.设:,,2
2
证明B B A A ==
1);,A BA B AB B A ==是有相同值域的充要条件
与 2) .,B BA A AB B A ==有相同的核充要条件是
与 证1)必要性.若
高等代数第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
大学高等数学阶段测验卷
第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。 一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（ ） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（ ） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（ ） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误
10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5- 第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义 第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ → 5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+ 第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记： ()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。 高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A 高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页 中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕== 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关. 第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量 第一章 整式的乘除单元测试 卷（一） 一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式8923 3 4 +-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8 421262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()2 2 2 y x y x +=+ D. 342 2 =-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 2 2 a b - B. 2 2 b a - C. 222b ab a +-- D. 2 22b ab a ++- 4. 1532 +-a a 与4322 ---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382 --a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1 312 -=? ? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8 1 23-=- 6. 若 () 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子2 2259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题1分，第 5、6题2 分，共28分） 1.在代数式2 3xy ， m ，362 +-a a ， 12 ， 22514xy yz x - ， ab 32 中，单项式有 个，多项式有 个。 2.单项式z y x 4 2 5-的系数是 ，次数是 。 3.多项式51 34 +-ab ab 有 项，它们分别 是 。 4. ⑴ =?5 2x x 。 ⑵ () =4 3y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ () =-425 y x 。 ⑸ =÷3 9 a a 。 ⑹ =??-024510 。 5.⑴=?? ? ??-???? ??325631mn mn 。 ⑵()()=+-55x x 。 ⑶ =-2 2）（b a 。 ⑷( )()=-÷-2 3 5312xy y x 。 第四章 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 线性变换自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．σ是22?F 上的线性变换，若??? ? ??=100 71 )(A σ，则=-)3(A σ ． 2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，) ,3(),(y x y y x + -=τ， 则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ． 3．设???? ? ?=2231 A ，则向量???? ??11是A 的属于特征值 的特征向量． 4．若???? ? ??--=10 0001 011 A 与???? ? ? ?--10101 01k k B 相似，则k = ． 5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2 3 +--=λλλλf ，则=||A ． 6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1 -=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特 征向量与P 有关． 3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关． 4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则} )(|{)(1 αησηασ==-是 V 的子空间． 三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设??? ? ? ? ?----=a A 3 3242 111 与??? ? ? ??=b B 0 0020 002 相似． （1）求b a ,的值； （2）求可逆矩阵，使B AP P =-1． 第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， 《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域； 第四章 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)高等代数第6章习题解
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