第3章实数

第3章实数

3.1平方根

第1课时平方根、算术平方根

1.能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.(重难点)

2.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.

3.认识非负数的平方根的特点.(重点)

自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.

(一)知识探究

1.平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，(±r)2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.

2.正数a的平方根表示为±a；算术平方根表示为a；负平方根表示为－a.

3.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.

4.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根.

5.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.

(二)自学反馈

1.25的平方根是±5，3是9的算术平方根.

2.3表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.

3.切一块面积为16 cm2的正方形钢板，它的边长是多少？

解：4 cm.

活动1小组讨论

例1分别求下列各数的平方根：36，259，1.21.

解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6.

由于(53)2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53. 由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±1.21＝±1.1.

求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.

例2分别求下列各数的算术平方根：100，1625，0.49.

解：由于102＝100，因此100＝10.

由于(45)2＝1625，因此1625＝45.

由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7.

活动2跟踪训练

1.下列说法不正确的是(C)

A.－2是2的平方根

B.2是2的平方根

C.2的平方根是2

D.2的算术平方根是2

一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.

2.求下列各式的值：

(1)±2.89；(2)－256169；(3)1916；(4)±（－11）2.

解：(1)±1.7.(2)－1613.(3)54.(4)±11.

活动3课堂小结

本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.

第2课时无理数、用计算器求算术平方根

1.理解无理数的概念和它的本质特征.(重点)

2.正确使用计算器求一个数的算术平方根.(重点)

自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.

(一)知识探究

1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：(1)圆周率：π；(2)开方不尽的数：如2；(3)特殊规律的数，如：0.010__010__001….

2.用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.

(二)自学反馈

1.在等式x2＝6中，下列说法中正确的是(D)

A.x可能是整数

B.x可能是分数

C.x可能是有理数

D.x是无理数

2.下列各数中，是无理数的是(B)

A.4

B.π2

C.13

D.12 活动1小组讨论

例用计算器求下列各式的值.

(1)1 024；(2)8(精确到小数点后面第三位).

解：(1)依次按键：1024＝

显示：32

所以，1 024＝32.

(2)依次按键：8＝

显示：2.828 427 125 所以，8≈2.828.

活动2跟踪训练

1.下列说法正确的是(B)

A.有理数只是有限小数

B.无理数是无限小数

C.无限小数是无理数

D.π3是分数

2.在13，

3.141 592 6，0.707 007 000 7…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，2π中，无理数有(B)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.用计算器求下列各数的值(精确到0.01)：

6.24≈2.50；0.24≈0.49；123.47≈11.11;__ 56.88≈

7.54.

4.用计算器分别计算：0.000 9，0.09，9，900，90 000，你能发现什么规律？

解：0.000 9＝0.03，0.09＝0.3，

9＝3，900＝30，90 000＝300.

我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.

活动3课堂小结

学生概括：1.什么是无理数？

2.怎样用计算器求算术平方根？

3.2立方根

1.通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.

2.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.

自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.

(一)知识探究

1.如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作3a.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

2.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.

3.用计算器求正数a的立方根：按2ndF键→按键→输入被开立方数a→按＝键.

(二)自学反馈

－18的立方根是－12，64的立方根的相反数是－4.

活动1小组讨论

例1分别求下列各数的立方根：1，827，0，－0.064.

解：由于13＝1，因此31＝1；

由于(23)3＝827，因此3827＝23；

由于03＝0，因此30＝0；

由于(－0.4)3＝－0.064，因此3－0.064＝－0.4.

可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.

例2用计算器求下列各数的立根：

343，－1.331.

解：按键2ndF343＝

显示：7

所以，3343＝7.

按键：2ndF（－）1.331＝

显示：－1.1

所以，3－1.331＝－1.1.

例3用计算器求32的近似值(精确到0.001).

解：按键：2ndF2＝

显示：1.259 921 05

所以，32≈1.260.

许多有理数的立方根都是无理数，如32，33，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.

活动2跟踪训练

1.下列等式成立的是(C)

A.31＝±1

B.3225＝15

C.3－125＝－5

D.3－9＝－3

2.立方根等于它本身的数是±1，0.

3.求下列各数的立方根：

(1)27；(2)8125；(3)－63.

解：(1)3.(2)25.(3)－6.

4.下列各式是否有意义？为什么？

(1)－33；(2)－3；(3)3（－3）3；(4)31103.

解：(1)、(3)、(4)有意义，因为任何一个数都有立方根；(2)－3没有意义，因为负数没有平方根.

活动3课堂小结

1.一个数只有一个立方根，且当a>0时，3a>0；a＝0时，3a＝0；a<0时，3a<0.

2.3－a＝－3a.

3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根.

3.3实数

第1课时实数的有关概念

1.了解实数的概念，能对实数按要求进行分类.(重点)

2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.(重点)

3.了解实数和数轴上的点一一对应.

自学指导：阅读教材P116～118，完成下列问题.

(一)知识探究

1.有理数和无理数统称为实数.

2.实数有理数整数分数（有限小数或无限循环小数）无理数（无限不循环小数）

3.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示唯一的一个实数.

即：实数和数轴上的点一一对应.

4.规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.

5.与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中一个叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数.0的相反数是0.实数a的相反数记作－a.

6.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝

对值是0.

(二)自学反馈

1.下列说法正确的是(D)

A.实数包括有理数、无理数和零

B.有理数包括正有理数和负有理数

C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数

D.无论是有理数还是无理数都是实数

2.－3的相反数是(C)

A.3

B.－3

C.3

D.－3

活动1小组讨论

例1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

2，0，1.414，9，π，－23，32，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间逐次增加一个0).

解：0，1.414，9，－23是有理数，

2，π，32，0.101 001 000 1…是无理数.

实数可以分为有理数和无理数，还可以分为正实数、零和负实数. 例2求下列各数的相反数和绝对值：

－3，π－3.14.

解：因为－(－3)＝3，－(π－3.14)＝3.14－π，

所以－3，π－3.14的相反数分别为3，3.14－π.

由绝对值的意义得：|－3|＝3，|π－3.14|＝π－3.14. 活动2跟踪训练

1.把下列各数填入相应的大括号内：

7.5，15，4，917，23，3－27，0.31，－π，0.15?

(1)有理数：{7.5，4，23，3－27，0.31，0.15?…}；

(2)无理数：{15，917，－π，…}；

(3)正实数：{7.5，15，4，917，23，0.31，0.15?…}；

(4)负实数集合：{3－27，－π，…}.

2.求下列各数的相反数和绝对值：

(1)7；(2)3－8；(3)49.

解：(1)7的相反数是－7，绝对值是7.

(2)3－8的相反数是2，绝对值是2.

(3)49的相反数是－7，绝对值是7.

活动3课堂小结

学生回答：本节课我们学到了哪些知识？

第2课时实数的运算和大小比较

1.了解有理数范围内的运算法则及运算律对于实数仍然成立，会进行实数范围内的运算.(重难点)

2.会用计算器进行实数的运算，并能比较两个实数的大小.(重点)

自学指导：阅读教材P118～120，完成下列问题.

(一)知识探究

1.有理数的运算法则和运算律等对于实数仍然适用.

2.实数可以比较大小：对于实数a，b，如果a－b>0，那么a>b；如果a－b<0，那么a

3.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；在实数范围内，负实数没有平方根；每个实数a有且只有1个立方根.

4.实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.

(二)自学反馈

1.比较大小：13<4.(填“＞”“＜”或“＝”)

2.计算：22－1－32＋5.

解：原式＝(22－32)＋(5－1)＝4－2.

活动1小组讨论

例1计算下列各式的值：

(1)(3＋5)－5；(2)23－33.

解：(1)(3＋5)－5

＝3＋(5－5)(加法结合律)

＝3＋0

＝3.

(2)23－33

＝(2－3)3(乘法对于加法的分配律)

＝－3.

例2用计算器计算：2×5(精确到小数点后面第二位).

解：按键：2×5＝

显示：3.162 277 66

精确到小数点后面第二位得3.16.

所以，2×5≈3.16.

在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 活动2跟踪训练

1.比较下列各组数的大小，正确的是(C)

A.1.7＞3

B.π＜3.14

C.－5>－6

D.5＜3100

2.计算：

(1)33－53；(2)1－2＋2－3＋3－2.

解：(1)－23.(2)1.

3.用计算器计算(精确到0.01)：

(1)π－2＋3(精确到0.01)；(2)12＋3×6. 解：(1)3.46.(2)4.74.

活动3课堂小结

本节课你有什么收获？