高一数学同步辅导教材(第5讲)
高一数学同步辅导教材（第5讲）
一、本讲教学进度
（1.6-1.7）(P28-35)
二、教学内容
1、命题与逻辑联结词
2、真值表
3、四种命题
三、重点、难点选讲
1、命题与逻辑联结词
（1）所谓命题，是指能够判断其真假的语句，因此疑问句、祈使句都不是命题.
.
句”，如：“0432
=+-x x ”也是开语句.
例2：指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么.
（1）6是18和24的公因数；
（2）x ?(A )B ?;
(3) 矩形的对角线相等且互相平分；
（4）方程.4,2086212===+-x x x x 的解是
解（1）该命题是“p 且q ”的形式，p ：6是18的因数，q ：6是24的因数.
（2）该命题是“非p ”的形式，p ：).(B A x ?∈
（3）该命题是是“p 且q ”的形式，p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分.
（4）该命题是“p 或q ”的形式，p ：x .086221的解是方程=+-=x x
q:.086422的解是方程=+-=x x x
2、真值表
（1）一个简单命题的真假易于判断，但一个复合命题的真假不一定容易判断，真值表是判断复合命题真假的有力工具。
（2）对一个复合命题，如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词，只要逐一判断简单命题的真假，就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假.
（3）真值表中，“非p”形式的复合命题的真假与p相反；“p且q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为真时为真，其余情况均为假；“p或q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为假时为假，其余情况都为真.
例3：对于简单命题p、q的下列几种情况列出“非p”，“非q”，“p且q”，“p或q”的真值表：（1）p真，q真；（2）p真，q假；
（3）p假，q真；（4）p假，q假.
解：
例4 若用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，对于命题p和q的下列几种情况列出命题“p 或q”，“非（p或q）”，“（非p）且（非q）”，“非（非p）”的真值表：
（1）p真，q真；（2）p真，q假；
p）”与“p”的真值相同.
例5 （1）如果命题“p且q”是真命题，判断命题“（非p）或(非q)”的真假；
（2）如果命题“p且q”是假命题，判断命题“（非p）或（非q）”的真假.
解（1）若命题“p且q”是真命题，由真值表知，命题p和q都是真命题，因此“非p”、“非q”都是假命题，所以命题“（非p）或（非q）”是假命题.
（2）若命题“p且q”是假命题，由真值表知有三种情况可能出现：
①p真，q假，这时“非p”为假，“非q”为真，因此“（非p）或（非q）”为真.
②p假，q真，这时“非p”为真，“非q”为假，因此“（非p）或（非q）”为真.
③p假，q假，这时“非p”为真，“非q”为真，因此“（非p）或（非q）”为真.
综上可知，“（非p）或（非q）”为真
评析：由本题可见，命题“非（p且q）”与“（非p）或（非q）”的真值相同.
3．四种命题
（1）在初中学习原命题和逆命题的基础上，引进了否命题和逆命题的概念。
（2）将一个命题采用①交换命题的条件和结论，②同时否定命题的条件和结论；③同时否定和交换命题的条件和结论，分别产生了原命题的逆命题，否命题和逆否命题。如果原命题为“若p则q”，则逆命题为“若q则p”，否命题为“若? p 则? q”，逆否命题为“若? q 则? p”.
（3）在四种命题之间关系的图示中，要理解其中互逆，互否，互为逆否的含意.原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.
例6 分别写出下列命题的否定形式及命题的否命题，并判断它们的真假.
（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
（2）数字和能被3整除的整数能被3整除；
（3）自然数的平方不都是正数.
解（1）否定形式：如果两个三角形全等，那么它们的面积不相等，是假命题.
否命题：如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等，是假命题.
（2）否定形式，数字和能被3整除的整数不能被3整除，是假命题.
否命题：数字和不能被3整除的整数不能被3整除，是真命题.
（3）否定形式：所有自然数的平方都是正数，假命题.
否命题：有些自然数的平方是正数，真命题.
评析：（1）命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，若原命题为“p →q ”则命题的否定形式是“p →?q ”，而否命题是“?p →?q ”.
例7 写出命题“直角均相等”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.
解 原命题可改写为“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”，是真命题.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题.
否命题：如果两个角不都是直角，那么这两个角不相等，是假命题.
逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不都是直角，是真命题.
评析：有些命题不是很明显的p →q 的形式，在写它的逆命题，否命题，逆否命题之前，应先将它改写为条件，结论的形式.
例8 已知原命题如下，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
（1）若,,d b c a ==则 ;d c b a +=+
（2）若,0=xyz 则,0=x 或,0=y 或0=z .
解 （1）逆命题：若,d c b a +=+则,c a =且.d b =是假命题.
否命题：若.c a ≠或d c b a d b +≠+≠则,是假命题.
逆否命题：若.,d b c a d c b a ≠≠+≠+或则是真命题.
（2）逆命题：若.0,0,0,0====xyz z y x 则或或是真命题.
否命题：若,0,0,0,0≠≠≠≠z y x xyz 且且则是真命题.
逆否命题；若.0,0,0,0≠≠≠≠xyz z y x 则且且是真命题.
评析：（1）原命题的条件“d b c a ==,”的命题结构是“p 且q ”的形式，它的否定是“?p 或?q ”，而不是“?p 且?q ”.
（2）原命题的结论是“p 或q 或r ”的形式，它的否定是“?p 且?q 且?r ”，而不是“?p 或?q 或?r ”.
练 习
一、选择题
1．如果命题p 为真，命题q 为假，则下列结论中错误的是 （ ）
A ．命题“p 且q ”为假
B ．命题“p 或q ”为真
C ．命题“非p ”为假
D ．命题“非q ”为假
2．命题p 与命题“非p ” （ ）
A ．可能都是真命题
B ．可能都是假命题
C ．有且只有一个是真命题
D ．以上情况都有可能
3．已知命题p ：若x 、y 是实数，且022=+y x ，则0==y x ，命题q ：若0=ab ，则 0=a ，且0=b ，下列说法中正确的是（ ）
A ．p 真，q 假，p 且q 假
B ．P 真，q 假，p 或q 假
C ．P 假，q 假，p 或q 假
D ．P 真，q 真，p 且q 真
4．命题“若1-=x ，则12=x ”的否命题是（ ）
A ．若1-=x ，则12≠x
B ．若1-≠x ，则12≠x
C ．若12=x ，则1-=x
D ．若1-≠x ，则12=x
5．已知p:a 、R b ∈，且022≠+b a ，命题①若p 则a 、b 全为0；②若p 则a 、b 不
全为0；③若p 则a 、b 全不为0；④若p 则a 、b 至多有一个为0；⑤若p 则a 、b
至少有一个为0.其中真命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．与命题“能被5整除的整数的末位数是5”等价的命题是（ ）
A ．能被5整除的整数的末位数不一定是5
B ．不能被5整除的整数的末位数不是5
C ．末位数不是5的整数不能被5整除
D ．末位数是5的整数能被5整除
二、填空题
7．若复合命题“p 或q ”是假命题，则命题p 与命题q 的真、假情况是 。
8．已知命题p:0是自然数，命题q:9是无理数，则命题“非p ”，“非q ”，“p 或q ”，“p 且q ”中，假命题是 。
9．命题“若012,12
>++-≠x x x 则”的否定命题是 ；否命题是 。
10．命题“未位数字是偶数的整数能被2整除”的逆否命题是 。
三、解答题
11．已知命题p ：4是2的倍数；命题q:6是2的倍数，写出命题“p 或q ”，“p 且q ”，以及“非p ”。
12．已知命题p:π是无理数，命题q:2是有理数，写出命题“非p ”,“非q ”，“p 或q ”，“p 且q ”并判断它们的真假。
13．写出命题“若α=β，则tan α=tan β”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。
14．写出命题“若1=x 或,2=x 则0232=+-x x ”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。
答案与提示
[答案]
一、1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C
二、7．P 假，q 假
8．非p ，p 且q
9．若012,1;012,122≤++-=≤++-≠x x x x x x 则若则
10．不能被2整除的整数的末位数字不是偶数.
三、11．P 或q:4是2的倍数或6是2的倍数，p 且q:4是2的倍数且6是2的倍数.非p:4不是2的倍数
12．非p:π不是无理数，为假,
非q:2不是有理数，为真，
p 或q ：π是无理数或2是有理数，为真，
p 且q: π是无理数且2是有理数，为假.
13．逆命题：若tan α=tan β，则α=β,为假，
否命题：若α≠β，则tan α≠tan β，为假，
逆否命题：若tan α≠tan β，则α≠β，为真.
14．逆命题：若.21,0232===+-x x x x 或则为真.
否命题：若023,2,12≠+-≠≠x x x x 则且，为真，
逆否命题：若.21,0232≠≠≠+-x x x x 且则为真.