等差数列前n项和的最值问题
问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212
n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:
当n>1时:1122n n n a s s n -=-=
=-
当n=1时:2
11131122
a s ==+?= 综上:122n
a n =-
,其中:13
2
a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n
s pn qn r =++其中:为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的
首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是
一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列
{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大
分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1
490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49
6.52
n +==，
而n N *
∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。 1.
已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.
解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,
由???≤≥+0a 0a 1n n 即???≤+-≥-0
)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值. 2.
已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．
结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=
=5时，数列a n 前5项和取得最大值．
二、转化为求二次函数求最值
例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2
)1(3-n n ＝23[(n －496)2－
2
4936],
∴ 当n=
496最小时，n S 最小，但由于n N *
∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且8
9S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.
点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处49
6
介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。 3.
已知等差数列
{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（B ）
A 、7
B 、78或
C 、8
D 、9 4.
已知a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，则数列a n 前n 项和的最大值为 76 ．
分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n 项和，它是关于n 的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n 的取值．
解答：解：（1）∵a n 是等差数列，其中a 1=31，公差d=﹣8，∴数列a n 前n 项和s n =﹣4n 2
+35n ，
根据二次函数的性质，当n=时，前n 项和s n 取到最大值，∵n ∈N ，∴n=4，∴前n 项和s n 的最大值是s n =﹣64+140=76， 5.
已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少n S =n n 212
+- 当N=10或11时，取最大值为110
6.
已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是
设{a n }的公差为d ，由题意得a 1+a 3+a 5=a 1+a 1+2d+a 1+4d=105，即a 1+2d=35，①a 2+a 4+a 6=a 1+d+a 1+3d+a 1+5d=99，即a 1+3d=33，②由①②联立
得a 1=39，d=-2，∴s n =39n+ ×（-2）=-n 2+40n=-（n-20）2
+400，故当n=20时，S n 达到最大值400．
7.
已知等差数列a n 的公差d ＜0，若a 3a 7=9，a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 49 ．
分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a 3和a 7关于x 的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d 小于0可得到a 3和a 7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n 项和公式，配方后即可求出数列的前n 项和S n 的最大值．解答：解：由题意a 1+a 9=10，得到a 3+a 7=10，又a 3a 7=9，得到a 3，a 7为方程x 2
﹣10x+9=0的两根，且d ＜0，得到a 3=9，a 7=1，则d=﹣2，所以a 1=13，S n =﹣n 2
+14n ﹣49+49=（n ﹣7）2
+49，则当n=7时，该数列的前n 项和S n 的最大值为49．故答案为：49 8.
在等差数列a n 中，a 1=25，S 17=S 9，求S n 的最大值．
解：由S 17=S 9，得到=，即17（2a 1+16d ）=9（2a 1+8d ），又a 1=25，得：d=﹣=﹣2，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=﹣2n+27，
则S n ===﹣n 2+26n=﹣（n ﹣13）2
+169，所以当n=13时，S nmax =169．
三、在等差数列
{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥??≤?的项数m 使得m S 取最大.(2)当1a <0,d>0时，满足1
00m m a a +≤??≥?的项数m 使得
取最小值。
例3：已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大 由a n ＝24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0 9. 已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小 解：由bn ＝2n －17n 知当8≤n 时，0 点评：通过数列中数的特性，可由?? ?≤≥+0 a 0 a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数 与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合 10. 已知等差数列{a n },满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大最大值是多少 解法一:由2 19)219(23824402 22 +--=+-=?-=n n n S n a n n 180 2192191021092 210=+--===∴）（最大，最大值：时，或当S S n n n 解法二:, 440n a n -= 令 1090 1≤≤??? ?≤+≥+n a a n n 180,10910===∴S S S n n n n 最大值：最大，或． 11. 在等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是 5或6 ． 分析：根据d ＜0，|a 3|=|a 9|，判断出a 3=﹣a 9，进而根据等差数列的通项公式求得a 1+5d=0，判断出a 6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n 项和S n 取得最大值的自然数n 的值． 解答：解：∵d ＜0，|a 3|=|a 9|，∴a 3=﹣a 9，∴a 1+2d=﹣a 1﹣8d ，∴a 1+5d=0，∴a 6=0，∴a n ＞0（1≤n ≤5）， 12. ∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6．故答案为：5或6等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12 =a 102 ，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值 时的项数n= 5 ． 分析：由a 12 =a 102 ，得到a 1和a 10相等或互为相反数，因为公差d 小于0，所以得到a 1和a 10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a 5和a 6的和等于a 1和a 10的和等于0，得到数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数为5．解答：解：由d ＜0，a 12 =a 102 ，知a 1+a 10=0∴a 5+a 6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故S n 取得最大值时的项数n=5．故答案为：5． 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题． 13. 已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12， a 1<0，设前n 项和为S n ,求S n 取最小值时n 的值． [分析]求等差数列前n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由A B A B n A S n 4)2(2 2-+=完成. 解法一:.5 76 ),11(8)4(3,83111125 d a d a d a a a - =+=+∴=即 ,0,01>∴ =∴点(n,S n )是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数x d a x d y )2 (212-+=的图 象上, 其对称轴,7.15257621=- -=- - =d d d d d a x 距离x=最近的整数点(16,S 16 ), .16=∴n S n 最小时 解法二: .5 76 ,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴ ,02 22,02,4)2(122=? - +=+-+=d d a n A B n A B A B n A S n 即令.16),(7.155762*最小时，n S n N n d d d n =∴∈=+=∴ 14. 已知等差数列{a n }，3 a 4 =7 a 7， a 1>0，设前n 项和为S n ,求S n 取最大值时n 的值．9 15. 已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1 302 n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值. 分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系； ②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小. 解 1n a +=1n s +-n S = 2112)8 n a ++（-212)8n a +（，即81n a +=（1n a ++22） -（n a +22），所以（1n a +-22）-（n a +22 ）=0， 即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0，因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0，所以1n a +-n a =4， 因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s = 2112)8a +（,解得1a =2.所以n a =4n-2,则1 302 n n b a =-=2n-31. 即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122 n ≤≤，因为n * N ∈，所以n=15,故{n b }的前15项为负值，因 此15s 最小，可知1b =-29，d=2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s = 1529215312 -+?-（） =-225. 16. {}n a 为等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，576S S S >>,则下列结论中不正确的是（A ） （A ） 0 （B ）011>S （C ）012 17. 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确结论 是-------------- ( A ) A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．②④ 18. 等差数列 的前项和的最大值只有，且，则使的的最大值为 。 19. 数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 ⑴求数列的公差； ⑵求前n 项和S n 的最大值；⑶当S n >0时，求n 的最大值。 解：⑴∵a 1 ＝23，a 6 >0，a 7 <0，∴115060 a d a d +>??+ ⑵23(4)2n S n =+ ?-＝23)1(2--n n n ＝－2n n 252+ =－2 )4(22+ -n ∴当6=n 时，S n 最大＝78。⑶S n ＝－2n 2 +25n>0得02 25 < 20. (92高考)设等差数列{n a }的前n 项和为 n s ，已知3a =12，12 s >0,13 0s <, (1)求公差d 的取值范围；（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 解析 （1）由3a =12，得：1a +2d=12,即1a =12-2d,由12s >0，得：121a + 12*1102 d >，所以d>-24 7, 由130s <,得：131a +13*1202 d <，所以d<-3, 因此，d 的取值范围为（-24 7,-3）. (2)解法一：1(1)n a a n d =+-=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d 令0n a >，得：n<3-12d ,由（1）知：24 7 - 372d <-<，又*n N ∈,故由等差数列的单调性可知：当6n ≤时，0n a >；当n>6时，0n a <，因此，6s 最大. 解法二：由题意可得：n S =n 1a +(1)2n n d -=n(12-2d)+ 22n n d - =25 (12)22 d n d n +-显然d ≠0, n S 是关于自变量n 的二次函数，由（1）知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n= 5122d -,由（1）知：2437 d -<<-，所以6<5122d -<13 2,又因为n *N ∈,故当n=6时，n S 最大，即6s 最大.简析：函数认识等差数列的和为项数的二次函数，构建不等式解范围；等差数列求和整体思维研究单调性求解。⑴()()()()0724692662 123312112112>+=++-=+=+=d d a d a a a a a S ()()()04121341313213 3713113<+=+==+= d d a a a a S 解得，4 12724-<<-d ；⑵031230367>+=+= 21. 已知123n S n =++++,*1()()(32)n n S f n n N n S += ∈+,则()f n 的最大值是 1 50 《等差数列的前n项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 二、背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。 四、教学目标 1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； 2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题； 3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力； 4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点 等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√ [小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得 §2.3 等差数列的前 n 项和 授课类型：新授课 （第1课时） 一、教学目标 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。 二、教学重点 等差数列n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入 “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。” 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 2、讲授新课 （1）等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ② ①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2 )(1n n a a n S += 2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等 《等差数列的前n项和》教学设计 一．教学目标： （1）掌握等差数列前n项和公式的推导和应用； （2）体会方程、函数和数形结合的数学思想； （3）发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等学科核心素养； （4）感受数学文化，品味数学魅力. 二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用 教学难点：等差数列前n项和公式的推导 三．教学过程： （一）公式探究 公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种有形数。比如：三角形数：1，3，6，10，...... 1 3 6 10 ...... 问题1：三角形数的第100个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示成果 问题2：三角形数的第n个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示不同方法，在比较争论中感悟倒序相加的优势 追问1：为什么要对和式配对？ 追问2：为什么要倒序相加？ 追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？ 追问4：所有等差数列都可以用倒序相加法求和吗？ 【学生活动】回答问题，相互补充 小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而最终这一目的可以达到的根本原因是：等差数列自身的性质。 （二）公式应用 问题3：在等差数列{}n a 中， （1）1503,101a a ==，求50S ； （2）113,2 a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+ . 问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222 n n d a S ===-，求1a 及n . （三）感悟提升 问题5：回顾刚刚的探究过程，我们有什么收获？ 【学生活动】展开讨论，总结收获 1. 数学知识： （1）1()2n n a a S += （2）1(1)2 n n n d S na -=+ 2. 数学方法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？） 3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想 4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明了垛积术； 《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都研究过等差数列的求和问题。 等差数列前n项和公式教学案例分析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《等差数列前n项和公式》教学案例分析教学案例： 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 （1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法； （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31 解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A. 等差数列的前n项和 一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书?数学（5）》（人教A版）中笫二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用?等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法. 二、学生学习情况分析 在本节课之询学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想?高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍. 三、设计思想 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主.合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习.同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的. 四、教学目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n 项和公式；了解倒序相加法的原理； 2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质. 五、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得. 六、教学过程设计.V ? ? ? '、 （一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝??：?：?：?：?：?：?：?：?：？石镶饰而成，共有100 层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ §2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？ 问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？ 《等差数列的前n项和公式》教学设计 职业技术学校刘老师 大纲分析： 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析： 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。 教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 过程与方法目标： 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标： 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学用具：ppt 整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现1： 首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道 这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。 问题呈现2： 图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 高三数学《等差数列及其前n项和》知 识点总结 www.5y kj.co m 一、等差数列的有关概念 ．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A ＝/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 ．通项公式：an＝a1＋d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2. 三、等差数列的性质 ．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当 a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． 四、解题方法 .与前n项和有关的三类问题 知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A. 利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥?? （2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（） 等差数列的前n 项和（1） 学习目标1．理解数列前n 项和的概念；2．会推导等差数列前n 项和的公式； 3．会应用等差数列前n 项和公式解题。 学习重点和难点 1．重点：等差数列通项公式的推导及应用； 2．难点：等差数列公式的推导。 学习过程：一．自学、思考 （一）问题导引 等差数列前n 项和n S =1a +2a +…+1-n a +n a . n S =n a +1-n a +…+2a +1a . 由倒序相加法可得 2n S = 即n S = 如果带入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，n S 也可以用首项1a 与公差d 表示，即 n S =＿ ＿＿还可以写成n S =＿＿ ＿ （二）知识的应用 例1．已知等差数列{}n a 中184,18a a =-=-，求8S ； 练习：根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）120a =，54n a =，999n S =，求d 及n ；（2）1 3 d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ； （3）156a =，1 6 d =-，5n S =-，求n 及n a ；（4）2d =，15n =，10n a =-，求1a 及n S . 例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 练习1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 练习2.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若734 a a ?=2a , 832S =,求10S . 练习3.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n. 等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务： 前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50 （一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100 方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?= 等差数列的前n项和 一．教学目标： （1）掌握等差数列前n项和公式的推导和应用； （2）体会方程、函数和数形结合的数学思想； （3）发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等学科核心素养； （4）感受数学文化，品味数学魅力. 二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用 教学难点：等差数列前n项和公式的推导 三．教学过程： （一）公式探究 公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种有形数。比如：三角形数：1，3，6，10，...... 1 3 6 10 ...... 问题1：三角形数的第100个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示成果 问题2：三角形数的第n个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示不同方法，在比较争论中感悟倒序相加的优势 追问1：为什么要对和式配对？ 追问2：为什么要倒序相加？ 追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？ 追问4：所有等差数列都可以用倒序相加法求和吗？ 【学生活动】回答问题，相互补充 小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而最终这一目的可以达到的根本原因是：等差数列自身的性质。 （二）公式应用 问题3：在等差数列{}n a 中， （1）1503,101a a ==，求50S ； （2）113,2 a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+ . 问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222 n n d a S ===-，求1a 及n . （三）感悟提升 问题5：回顾刚刚的探究过程，我们有什么收获？ 【学生活动】展开讨论，总结收获 1. 数学知识： （1）1()2n n a a S += （2）1(1)2 n n n d S na -=+ 2. 数学方法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？） 3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想 4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明了垛积术； 《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都研究过等差数列的求和问题。 §2.3 等差数列前n项和(第一课时) 人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修五 授课人：XXX 【教学内容分析】 《等差数列前n项和》选自人教版A版高中数学必修5§2.3章节的内容。是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式及其简单应用。 推导等差数列前n项和公式是一种从特殊到一般的研究方法，在此过程中，还提出了一种崭新的数学方法——倒序相加法。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。 【教学对象分析】 教学对象是已经掌握一定知识基础的高二学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于实践和练习的机会较少，思维尽管活跃，敏捷，却缺乏冷静、深刻，易片面、不严谨。合作交流的意识也尚有待加强。 【教学目标】 根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标: 1、知识目标 掌握等差数列前n项和公式及其应用，会用等差数列前n项和公式解决一些相应问题。 2、能力目标 通过公式的推导和公式的应用，使学生体会数形结合的数学思想，领会从特 殊到一般，再从一般到特殊的思维规律。培养学生观察、归纳、反思的能力，形成认识问题，解决问题的一般思路和方法。 3、情感目标 公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。通过实际生活中的案例使学生感受到数学源于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的情感。 【教学重点和难点】 教学重点：等差数列前n项和公式的推导、掌握及其实际应用。 教学难点：通过“倒序相加法”思路推导等差数列前n项和公式。 【教学方法】 1、教法分析 运用“引导探索发现法”，通过“情景引入——自主探究——成果交流——变式应用——反思回授”等5个环节，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获得解决问题的方法，启发学生自主性学习，有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。 2、学法指导 教给学生方法比教给学生知识更重要，注重调动学生积极思考、主动探究，尽可能增加学生参与教学活动的时间和空间，培养他们的学习习惯并学会善于用数学思维去分析问题和解决问题。 利用简单的数学问题联系到等差数列前n项和的求解方法。 引导学生通过推导出，及公式的基本应用。 3、教学手段 在教学中，使用多媒体辅助教学，充分发挥其快捷、清晰、形象的特点。 2.2.3等差数列的前n 项的和（1） 【学习目标】 1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程． 2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 【学习过程】 预习书本第39-41页 【问题1】等差数列的前n 项和公式 如何推导此公式？ 【问题2】例1、在等差数列｛a n ｝中， （１）已知31=a ，10150=a ，求50S ； （２）已知31=a ，2 1=d ，求10S ( 3 )已知21=d ，23=n a ，2 15-=n S ，求1a 及n . 【点评】: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a ，ｄ，ｎ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量． 练习：)在等差数列｛a n ｝中， ⑴已知1a =7，4310-=a ，求10S ⑵已知1001=a ，2-=d ， 求50S ． （3）已知1015-=a ，2=d ，求20S （4）已知5a =8，249=a ，求n n S a , 【问题3】例2、在等差数列｛a n ｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和． 【思考】：在例2中，你能否发现10S ,20301020,S S S S --这三者之间有何关系？并将这一结论推广至一般情形？ 若数列｛a n ｝是等差数列,前n 项和是n S ,那么 仍成等差数列,公差为 练习：在等差数列｛a n ｝中，已知S 392,100168==S ,求24S 【数学应用】 1、在等差数列｛a n ｝中， （1）已知,6,294-==S S 求n S （2）已知12+=n a n ，求n S 2、求等差数列1，5，9，…，401的各项的和。 编制人： 张进锋 审核人：冯王林 日期：2013年10月28日 编号： 班级： 姓名： 组别： 评价： 太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ 今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。 等差数列及其前n 项和（1） 【学习目标】 利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题． 【重点难点】 通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题. 基础知识梳理 1．等差数列的定义 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与前一项的差是 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数为等差数列的 ，公差通常用字母 表示． (2)数学语言表达式： ，d 为常数． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 3．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝ ，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝ . 4．等差数列及前n 项和的性质 (1)如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝ . (2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ （n ，m ∈N +)． (3)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ， (m ，n ，p ，q ∈N +)． 复习自测 1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( )． A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 2．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1 2，S 4＝20，则S 6＝( )． A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )． A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝kn －3，并且它的第8项是－7，则它的第14项是________． 探究案 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 12＝12，a 2·a 7·a 12＝28，求数列{a n }的通项公式． 我的收获：《等差数列前n项和公式》教学设计53171
等差数列的前n项和
最新2.3等差数列的前n项和第一课时教案
等差数列前n项求和
高中数学必修五《等差数列的前n项和》名师教学设计
等差数列前n项和公式教育教学案例分析
等差数列前n项和公式及性质
等差数列的前n项和教学案例
等差数列前n项和1-导学案(公开课)
等差数列前n项和公式》教学设计
高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结
等差数列前n项和性质
等差数列的前n项和(1)
完整版等差数列前n项和教案
等差数列前n项和优质课教案 doc
等差数列的前n项和公开课教案
等差数列前N项和 教案
2012高中数学 第二章《等差数列前n项和》学案(1) 大纲人教版
等差数列及其前n项和(1)