函数和它的表示方法

2.1函数和它的表示方法(2)

湖南省新邵县酿溪中学王军旗

教学目标

1、通过具体问题进一步理解函数的意义，学会用不同的表示方法表示函数关系，

2、会用描点法画出函数图像。

3、通过具体问题感受函数自变量的取值可能会有限制条件。

4能从一些函数图像上获得信息。

教学重点、难点

重点：会用描点法画出函数图像。难点：从函数图像上获得信息。

教学过程

一、创设情境，导入新课

1、回顾上节课

问题1 ，我们曾经从P31面图2---1的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在作一些理性的思考．先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？

投影图2-1（对着图形分析），有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实际上给出了某日的气温T（℃）与时间t（时）的函数关系．例如，上午凌晨4时的气温是10℃，表现在X气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（10，2）．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝4．气温曲线上每一个点的坐标（t，T），表示时间为t时的气温是T．

2、什么是函数的图像？

建立直角坐标系，以自变量的每个值为横文坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形叫函数的图像。

提醒：函数图像有两层意思：一是以自变量的一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出一个点，这个点一定在函数图像上；二在函数图像上任意一个点的坐标一定适合解析

3 函数有哪些表示方法？

这节课我们继续学习函数和它的表示方法。

二、合作交流，探究新知

1、函数表示方法的综合利用

探究;

用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。

（1）填写下表

(2)你能用公式表示这个函数关系吗？这个关系你是怎么得到的？利用公式求1000个这样的等边三角形拼成的图形的周长；

（3）你能用图像法表示这个函数关系吗？

（4）能否把这些点连接起来？为什么？

强调：这个函数的自变量是正整数，所以图像是一些不连续的点，不能连接起来，从这

个例子我们也看到函数的自变量的取值是有范围的。

2、 怎样求函数自变量的取值范围？ 先试试看： （１）对于代数式2x+1，它的值是随x 的改变而改变，对于x 的每一个值，代数式2x+1也有唯一的值与它对应，所以代数式2x+1的值是x 的函数。设y=2x+1，即y 是2x+1的函数。这里的x 可以取什么数呢？

（2）张老师到商店买了x 千克白菜和一个袋子，每千克白菜2元，每个袋子1元，张老师花了y 元，显然y 是x 的函数，你会写出它的关系式吗？这个函数中x 只能取什么数？

从上面两个问题我们看到对于代数式，自变量的取值只要使函数关系式有意义就可以了。而对于实际问题还要考虑使实际问题有意义。

考考你：

求下列函数中自变量x 的取值范围： （1） y ＝3x －1； （2） y ＝2x 2＋7； （3） y =

2

1

+x ； （4） y ＝2-x ．

3、 从函数图像上获取信息

函数图像能直观的看出自变量和因变量的变化趋势，从函数图像上我们可以获得一些信息。下面试试看：

王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图18.2.6中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系

（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题： （1） 小强让爷爷先上多少米？

（2） 山顶高多少米？谁先爬上山顶？

三、 应用迁移，巩固提高

1、综合利用函数表示方法描述函数关系

例1已知等腰三角形的周长为12cm ，若底边长为y cm ，一腰长为x cm. （1） 写出y 与x 的函数关系式； （2） 求自变量x 的取值范围； （3） 画出这个函数的图象. 2、从函数图像上获取信息

例2 （1）．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h （厘米）与点燃时间t 之间的函数关系的是（ ）.

(2)小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？

（第3题）

3、 函数图像的定义 例3 已知点（1

-

2

，1）在函数y=(3m-1)x 的图像上，（1）求m 的值，（2）求这个函数的解析式。

四、 课堂练习，巩固提高 P 35练习1，2

五、 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

1、 要善于综合利用函数的各种表示方法，从不同角度研究函数。

2、 函数的自变量有时是有限制的。对于代数式，只要使这个代数式有意义就可以了。而实际问题要考虑使实际问题有意义。 作业：P 37 5 ,B 1--3

2．1函数和它的表示法(第二课时)

〖教学目标〗

◆1、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．

◆2、理解函数值的概念．

◆3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：函数的表示法，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．

◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．

〖教学过程〗

教学过程分以下6个环节：

1．创设情境

问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表：

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）

（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．

问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2

s (0

085

.0v

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）

(2)计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)?

(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗?

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．

本环节设计的意图：通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备．

2．探究新知

函数的表示法

①解析法：问题1、2中，m=16t和2

s 这两个函数用等式来表示，这种表示函

085

.0v

数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．

②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如表（图7-2）表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．

③图象法:我们还可以用法来表示函数，例如图7-1中的图象就表示骑车时热量消耗

W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列

表法是函数的三种常用的表示方法．

教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．

（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．（3）函数值概念

与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．

若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．

例如对于函数m=16t，当t=5时，把它代人函数解析式，得m=16×5=80(元)．

m=80叫做当自变量t=5时的函数值．

由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．

若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当m=2时，函数值T=5.1；当m=10时，函数值T=17.1．

若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系

中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．

教师指出：当函数用解析法表示时，函数值的概念与学生已经学过的代数式的值的概念几乎没有什么区别，所以课本没有对函数值的概念作重新定义，教学中可以增加一些求函数值的练习，使学生感悟函数值与代数式的值两个概念之间的关系．

3．应用新知

例1 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：

（1）y关于x的函数解析式；

（2）当腰长AB=7时，底边的长；

（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？

答案：（1）y=20-2x；（2）腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．

说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20

y的形式，一定要把y写成x的代数式

+x

2=

（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5

例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:

（1）y是x的函数吗？为什么？

（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．

答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；

（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；

当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；

当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．

说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每

度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．

例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：

(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？

(2)求当t=5分时的函数值？

(3)当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？

(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？

答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；

（2）当t=5分时函数值为1km；

（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；

（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．

4．作业课本P34练习第1，2，3．

2．1函数及它的表示法（第三课时）

〖教学目标〗

◆知识技能目标

1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；

3.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围.

◆过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：求函数解析式是重点．

◆教学难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)学生不易理解．〖教学过程〗

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，你能写出y与x的函数关系式吗?

解 如图能发现涂黑的格子成一条直线． 函数关系式为： y ＝10－x ．

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式． 解 y 与x 的函数关系式：y ＝180－2x ．

问题3下图是表示某一个月的日平均温度变化的曲线，根据图象回答问题： ① 这个曲线反映了哪两个变量之间的 关系？日平均温度T 是x 的函数吗？ ②求当x=5,13,16,25时的函数值？ ③这个月中最高与最低的日平均温度各 是多少?

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围． 问题2，因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ． 解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9； 问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90； 问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．

上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：

s ＝60t ， S ＝πR 2．

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自

T x

变量R 的取值范围就应该是R ＞0．

三、实践应用

例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)2

1

+=

x y ；(4)2-=

x y ．

分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，2

1

+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．

解 (1)x 取值范围是任意实数； (2)x 取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是x ≠－2； (4)x 的取值范围是x ≥2．

归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2 等腰三角形ABC 的周长为10,底边长为y,腰AB 长为x.求:

(1) y 关于x 的函数解析式； (2) 自变量x 的取值范围； (3) 腰长AB=3时,底边的长.

分析 (1)问题中的x 与y 之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出? (2x+y=10)

(2)这个等式算不算函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形? (3)结合实际,x 与y 应满足怎样的不等关系?

归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式；

(2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:

①代数式要有意义；②要符合实际.

例3 如图，正方形EFGH 内接于边长为1的正方形ABCD ．设AE=x ，试求正方形EFGH 的面积y 与x 的关系，写出自变量x 的取值范围，并求当x=1

4

时，正方形EFGH 的面积．

A B

C

D

E

F

G

H

x

解：正方形EFGH 的面积=大正方形的面积-4?一个小三角形的面积，

则 y 与x 之间的函数关系式为

1

14()2

y x x =-?

1- (0

当x ＝1

4

时，21152()21448y =?-?+=

所以当x ＝14时，正方形EFGH 的面积是5

8

．

例4 求下列函数当x = 2时的函数值： (1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)1

2

-=

x y ； (4)x y -=2． 分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值． 解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×22 =－12； (3)当x = 2时，y =

1

22

-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0．

例5 游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t 时,游泳池内的存水量为Q 立方米.

(1)求Q 关于t 的函数解析式和自变量t 的取值范围； (2)放水2时20分后，游泳池内还剩水多少立方米? (3)放完游泳池内的水需要多少时间?

分析 此题要先弄清楚放出的水量,剩余的水量和原存水量之间的关系.然后让学生直接得出函数解析式；第(2)题是由自变量的值求函数值,可由学生自己完成；第(3)题则与第(2)题相反，是已知函数值,求相应自变量的值,可化归为解方程. 四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0． (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x 的取值范围：

(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)3

6+=

x x

y ； (4)12-=x y ． 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值： (1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)1

2

-+=x x y ． 六、作业布置

P36～37习题2。1