刚体的基本运动

第三章 刚体力学

§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动

§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量

1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。

2.描述刚体位置的独立变数

描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。

刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。

二、刚体的运动分类

1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.

任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)

2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ

3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要三个独立变量。

4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。

5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量

定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.

刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为

0lim

t d t dt ?→?==

?n n

ω

角速度反映刚体转动的快慢。

线速度与角速度的关系：

,t d d d d =??∴=

=r

v r n r ωr

§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识

1.力系：作用于刚体上里的集合。

平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系。 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同。

力系的简化：用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。 二、公理：

1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不改变其作用效果，F 与F `等效。 三、力偶力偶矩

1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。力偶所在平面叫力偶面。

2. 力偶矩: 力F 对任意一点O 的位置矢量为r ,则力偶矩为 =?M r F ，其大小为 M=Fd ,d 为力偶臂。上式表明:

1) 力偶矩与矩心无关,故M 可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量;

2) M 的唯一效果是引起转动效应;

3) 力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有M=0, 发生矛盾). 3. 等效力偶:

(1)力偶可在力偶面内任意般动, M 不变时等效； (2)可使M 不变,改变F,d, 与原力偶等效。 四、力的平移定理

若将作用于刚体上的力F 平移至同一刚体上不在力F

的作用线上的其它点O ，则必须相应增加一个附加力偶，其力偶矩M 等于原力F

对平移点O 的矩，才能保证原力对刚体的

作用效果。这一结论称为力的平移定理。显然M 垂直于由点O 与原力F

的作用线所作出的

平面。

上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点O 的某个力1F

与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩M 垂直时，则该力和力偶可以合成为一个力F

，其力矢与原长1F 相同，

平移的垂直方向为M F

?1方向，平移和垂直距离为M / F 1 。

力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。

五、空间任意力系的简化

空间任意力系向任一点O （称为简化中心）简化后，一般可得一个力和一个力偶。其

中这个力的作用线过简化中心，其力矢与该力系主矢R

相同，这个力偶的力偶矩与该力系

对简化中心的主矩O M

相同。

上表说明，力系的主矢R

和主矩O M 完全确定了力系的最简简化结果，由此也就不难

理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。 六、平行力系

平行力系中心若平行力系存在合力，当平行力系的各力保持其大小和作用点不变，而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度，所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过的那个唯一确定的点C ，称为平行力系中心。取力的作用线的某一方向为正向，其单位矢

量为e ，则平行力系中各力可表示为),...,2,1(n i e F F i i

== ，若它们的作用点相对于空间某一确定点O 的矢径为),...,2,1(n i r =

，则平行力系中心相对于点O 的矢径公式为

∑∑=

i

i

i C F

r F r

例 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力1F 、2F

和3F ，它们的大小

均等于F ，当它们能简化为一合力时，长方体的长、

宽、高的尺寸a 、b 、c 之间的关系如何？ 解 1) 建立图示直角坐标系oxyz

2) k F F j F F i F F

===321

,, 于是力系的主矢为

∑=++==31

i i k

F j F i F F R

3) 取点O 为简化中心，各力对点O 的矩为

0)(1=F m O , i Fc F m O -=)(2 , j Fa i Fb F m O

-=)(3

于是力系对点O 的主矩为

j

Fa i Fc Fb F m M i i O O

--==∑=)()(31

4) 显然

0,0≠≠O M R

，因此，该力系要简化为一个合力，则必须0=?O M R ，即

0)()(=-+-Fa F Fc Fb F 于是有 c b a -= 七、刚体运动微分方程

取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体

上，就是刚体运动微分方程，即

,

c d m dt '

'==J a F

M ，在直角坐标系中为

cx x cy y

cy y

ma F ma F ma F === '

''

'

''y

x z x y

z dJ dJ dJ M M

M dt

dt

dt ===

对保守力系，机械能守恒定律成立，即有 T + V = E §3.4 刚体平衡方程

一、刚体的平衡

刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态，称为物体的平衡。物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态，这一点将在动力学中看到，但物体若平衡，则作用于其上的力系必为平衡力系，即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件，而非充分条件。

二、平面任意力系的平衡方程 1）一矩式

)(,0,01

1

1

===∑∑∑===n

i i A n

i iy n

i ix F m F F

其中x 、y 轴不平行，可以是正交的，也可以是斜交的。

2）二矩式

0,0)(,0)(1

1

1

===∑∑∑===n i il n i i B n i i A F F m F m

其中A 、B 两点的连线不与投影轴l 垂直，il F 表示i F

在l 轴上的投影。

3） 三矩式

0)(,0)(,0)(1

1

1

===∑∑∑===n i i C n i i B n i i A F m F m F m

其中A 、B 、C 三点不共线。

三、平面特殊力系的平衡方程 1） 平面汇交力系

(1)

,011==∑∑==n

i iy n

i ix

F F

(其中x 、y 轴不平行)

(2)

)(,01

1

==∑∑==n

i i A n

i ix F m F

(其中点A 与汇交点的连线不与x 轴垂直)

(3)

0)(,0)(1

1

==∑∑==n i i B n

i i A F m F m

(其中点A 、B 与汇交点不共线)

2） 平面力偶系

1

=∑=n

i i

M

(

i M 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩，它为一个代数量)

3） 平面平行力系

(1)

)(,01

1

==∑∑==n

i i A n

i ix F m F

(其中x 轴不与各力的作用线垂直)

(2)

0)(,0)(1

1

==∑∑==n i i B n

i i A F m F m (其中A 、B 两点的连线不与各力的作用线平行)

四、空间任意力系的平衡方程的基本形式

0)(,0)(,0)(,0,0,01

1

1

1

1

1

======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y n

i i x n

i iz n

i iy n

i ix F m F m F m F F F

空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件，但讨论起来比较麻烦，一般不作教学要求。 §3.5 转动惯量

一、转动动能

222

22

111

111()()sin 222n n n i i i i i i i i i i i T m r r m r m ωωωθωρ====??==∑∑∑

令

2

1

n

i i i I m ρ==∑ 则转动动能为

212T I ω=

二、转动惯量

转动惯量计算公式为：

2

1

n

i i i I m ρ==∑

对刚体可用积分形式 dm

r I m z 2?=

式中i ρ是质点

)(dm m i 到z 轴距离，dm 是微元体的质量。

转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物体的转动惯量，一方面决定于物体的形状，另一方面又决定于转动轴的位置。

平行轴定理 2

md I I c z +=

z 轴与c z 轴平行，两者之间的距离为d ，C 为刚体的质心。

三、惯量张量

刚体对坐标轴的轴转动惯量

222222(),(),()xx yy zz I y z dm I z x dm I x y dm

=+=+=+???

惯量积的定义为

,,xy yx yz zy zx zx I I xydm I I yzdm I I zxdm

======???

若刚体绕任一转动轴转动，其相对于坐标轴的方向余弦为α、β、γ ，则刚体绕此转动轴的转动惯量为

222222xx yy zz xy yz zx I I I I I I I αβγαββγγα

=++---

3个轴转动惯量和6个惯量积作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度，

可以排成一个矩阵形式，我们把它叫惯量张量

xx xy xz yx

yy yz zx zy

zz

I I I I I I I I I ??--

?-- ?

?--??

刚体的转动惯量可表示为 I =（α β γ）xx xy xz yx

yy yz zx zy

zz

I I I I I I I I I ??--

?-- ?

?--??

αβγ?? ? ? ???

四、惯量主轴

选择适当的坐标轴，可以使惯量积等于零。这样使惯量积等于零的坐标轴就叫惯量主轴。对均质刚体，其对称轴就是惯量主轴。对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量，用I 1，I 2，I 3表示。这时，刚体的转动惯量、动量矩和转动动能将简化为

22212312322

21231()

2x x y z y z I I I I I I I T I I I αβγωωωωωω=++=++=++J i j k

§3.6 刚体的平动与定轴转动

1． 刚体的平动

刚体在运动过程中，若其上任一直线的方位相对于所选参考系始终保持不变，则称此刚体相对于该参考系作平动。根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线，又将平动分为直线平动和曲线平动。

当刚体作平动时，刚体内各点的轨迹具有相同的形状；在每一瞬时，各点具有相同的速度和加速度。

对平动刚体的研究可以归结为质点的运动的研究。 2． 刚体的定轴转动

刚体运动时，如果相对于某一参考系而言，刚体内（或其延拓部分）有一条直线保持不动，则称此刚体相对于该空间作定轴转动。

（1） 刚体的运动方程、角速度和角加速度

定轴转动刚体时，具有一个自由度，可以用广义坐标，即转角?来确定任一瞬刚体时在空间的位置。运动变化规律可由运动方程描述，即

)(t ??=

上述方程描述了转角的变化规律，也称为刚体的转动方程。

?随时间的变化情况可进一步用其对时间的一阶、二阶导数刻画。这些量反映了刚体转

动快慢和转动方向，它们是角速度ω和角加速度ε.

t d d ?ω=

2

2d d d d t t ?ωε== 物理量角速度和角加速经常用矢量表示 →

→

=k ωω →

→

=k εε

其中→

k 是沿转轴正向的单位矢量。→

ω与→

ε有下述关系

t d d →

→

=

ωε

（2） 转动刚体上任意一点的运动

刚体作定轴转动时，除了转轴以外，刚体上各点的轨迹均是位于垂直于转轴平面内

的圆，圆心在转轴上，半径等于点到转轴的距离，称为转动半径。其运动方程为

?R s =R 是转动半径，?是定轴转动刚体的转角。 该点的速度为 ωνR =

沿轨迹的切向，指向与ω的转向一致。

切向加速度和法向加速度分别为

ετR a =， 2

ωR a n =

全加速度→

a 的大小为 42ωε+=R

a

→

a 与转动半径的夹角θ为

2tg ωεθ=

（3） 转动刚体上任一点速度和加速度的矢量表示法

刚体的角速度、角加速度矢量→

ω、→

ε，体上任一点的矢径为→

r ，那么该点的速度 →

→

→

?=r ων 加速度为

→

→

→

→

→

?+?=νωεr a

其中r ?ε为切向加速度分量τa ，v ?ω为法向加速度分量n a

例 图示折杆OAB ，已知l AB OA ==，

120=∠OAB ，O 与固定铰连接，ω、

大小已知ε，转向如图所示。试求AB 中点C 的速度和加速度。

解：

1°研究点C 。OAB 作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点C 的速度和加速度。

2°速度分析 ω?=oc v c

其中

120c o s 2222???-+=AC OA AC OA OC

30sin 22)2(22l l l l ??++=2

47

l =

l OC 27=

所以 ωl v C 23=

方向如图所示

3° 加速度分析

ετ

?=oc a c εl 27=

2ω?=oc a n c 2

27ωl = 方向如图示。

例 图示机构，杆AB 在

45=?时以匀速u 作直线平动，试求在任意位置

)450( <

解：

1°研究系统。OD 作定轴转动，AB 作直线平动，取?为杆OD 的转角。由题意知杆OD

的角速度ω 转向如图示，并设出ε 的转向。

2°运动速度分析。杆AB 上点A 的运动方程为 ?tg l y A =

其速度、加速度为 ?

?

2

cos 1l y

v A Ay == 由图示杆AB 的速度知

u

j u v Ay

-=?=

因此 u l ??2cos -= 0c o s c o s s i n 2223=+==????? l l v a Ay Ay

根据图示ω、ε的 转向有 ?

ω -=，?ωε +=-= 所以 u

l ?ω2cos =， ??ε222cos 2sin ?-=l u

计算结果说明，ε的真实转向与图示所设相反。 §3.7刚体的平面平行运动 1．刚体平面运动的描述

刚体运动时，如果其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则刚体的这种运动称为刚体的平面运动。

（1） 对刚体平面运动的研究可简化为对平面图形（此图形所在平面与上述固定平面相平行，图形的大小、形状不受限制，可以根据需要进行延伸）在其自身所在平面内运动的研究。

（2） 平面图形S 在其平面内的位置，完全可由图形上任一直线AB 的位置来确定。 （3） 直线AB 的位置可由其上的任一点（不妨取为点A ）和AB 的方位角?来确定。若S 所在面为oxy 平面，则刚体平面运动方程为：

??

?

??===)

()()

(321t f t f y t f x A A ?

如果刚体运动不再受其它限制时，上述三个量是独立的，这样的平面运动刚体具有三个自由度。

上述方程的前两个方程是关于点的方程。点的运动研究已在第二章学习过；第三个方程

是对刚体整体运动?—方位的描述，与描述定抽转动刚体运动的转角?有相似之处，但又不完全一样。

2．平面图形的角速度和角加速度

平面图形上任意两直线方位角的变化率均相同，因此将某一直线方位角的变化率称为平

面图形的角速度，以ω表示。ω为代数量，其数值为：t d d ?

ω=

，表示了刚体方位变化的

快慢，正、负号表示刚体方位的转向情况。

通常，在图上用一带箭头的弧线表示ω转向。由?

所得ω，其箭头应画在?增加的方向上，当0>ω，表明刚体的方位改变方向与图中一致；当0<ω，刚体的方位变化与图示相反。

平面图形角速度ω对时间t 的变化率称为平面图形的角加速度，以ε表示。ε为代数量，其数值为：

?

?

ωε ===22d d d d t t

反映了刚体角速度ω的变化情况。同样用带箭头的弧线表示ε的转向，其转向的确定，以

及正、负号的含意与ω类似。物理量ω、ε也可以用矢量表示，则k

ωω=，k

εε=，其

中k 为垂直于平面图形的单位矢量，且有

t d d ωε

=

3．平面图形上各点的速度 （1） 速度瞬心法

平面图形在运动过程中的任一瞬时，图形上（或其延伸部分）都惟一地存在速度等于零的点P —? 瞬时速度中心。不同瞬时，图形有不同的速度瞬心。刚体的平面运动是由一系列绕不同速度瞬心的瞬时转动所组成。图形上各点的速度分布与定轴转动完全一样，转轴为过点P 与图形垂直的直线，因此其上任一点A 的速度为

→

?=PA v A ω

或 ω?=PA v A

其方向垂直于PA，与图形角速度 的转向一致。

如果已知某瞬时平面图形的角速度及其速度瞬心的位置，由上式可求出图形上任一点的速度。这种方法称为瞬心法

速度瞬心P的位置的确定方法见表3.1

已知的方向，但不平行已知平行反向，

已知平行同向，已知

此时，已知平行，

此时，,

（2） 平面图形上两点的速度关系 平面图形上任意两点的速度具有如下关系

BA A B v v v +=

式中 →

?=AB v BA ω

或 ω?=AB v BA

方向垂直于AB ，并与图形角速度ω的转向相一致。

上式又称为基点法，A 是基点。它表明平面图形上某点的速度等于基点的速度与图形以其角速度绕基点转动时该点所具有速度的矢量和。 （3） 速度投影定理

平面图形上任意两点的速度在其连线上投影具有相等关系，即

AB B AB A )v ()v (

=

这就是速度投影定理。此定理对于任何形式的刚体运动均成立。

4．平面图形上各点的加速度

平面图形上任意两点的加速度具有如下关系

τBA

n BA A B a a a a ++=

式中 )AB (a n BA →??=ωω ，→?=AB a BA ετ

或 2

ω?=AB a n

BA ， ετ

?=AB a BA

n BA a 的方向由B 指向A ，τBA a 的方向垂直于AB ，并与图形角加速度ε的转向一致。

上式表明平面图形上某点的加速度等于基点的加速度与图形以其角速度ω，角加速度

ε绕基点转动时该点所具有加速度的矢量和。

5. 刚体作平面平行运动时，动力学方程

→

∑∑∑===)

(F m I F Ma F Ma c c y cy x cx ε

如果作用于刚体上的外力只有保守力，则由机械能守恒律可知

2211

22zz mv I V E ω++=

例：一匀质的圆柱重W ，半径为r ，无初速地放在倾角为α的斜面上，不计滚动阻力，求

其质心C 的加速度。

解：滚动物体在斜面上的运动情况，根据接触处的光滑而有所不同。下面分三种情况讨论： （1） 接触处是理想光滑的，斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心C ，

这种情况下，物体上的作用力对质心的主矩等于零。因此，它只能在斜面上滑下而不发生滚动。此时，可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为αsin ?g 。

（2） 设接触处相当粗糙，就是说有足够大的摩擦阻力来阻止接触点A 的相对滑动。在此

情况下，滚动物体在斜面上作纯滚动，其摩擦阻力F 小于其极限值m F 。

取y x 、轴如图所示，列出动力学方程，有

F W ma F ma c x cx -=→=∑αsin

α

cos 0?-=→=∑W N F ma y cy

Fr

I F m I c c c =→=→

∑εε )(

此外，由运动学知，作纯滚动时，

εr a c =。于是得：

)

(sin 2r I m W a c c +=

α

令c ρ为滚动物体对于其质心C 的回转半径，则2

c c m I ρ=，

2

)(

1sin r

g a c

c ρα+?=

∴　

同时得到： 2

2

)(1c

c c r W S i n

r a I F ρα+=

=

由于物体作纯滚动，

αcos fW fN F F F m m ==≤，而，所以

2

2)(1tg )(1sin cos c

c r f r W fW ρα

ραα+≥?+≥

上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚动的条件。 （3）设接触处的摩擦系数并不满足上述条件，即当

2

)(1tg c

r f ρα

+<

时，则物体在斜面上不能保持纯滚动而将连滚带滑地运动。在这个情

况下，将不存在εr a c =这个关系式，但是，满足另一关系式fN F =。与动力学方程联立，

可以求得：

2

cos cos c c c c frg I fWr I fNr I Fr ρααε====

)cos (sin )cos sin (1

)sin (1αααααf g fW W m F W m a c -=-=-=

例 半径为r 的圆盘在水平面上作直线纯滚动，其轮心O 的速度

O v 为常量。杆AB 长

l ，其B 端用铰链与圆盘边缘相连接。求在水平面上运动的A 端的加速度（以转角?表示之）。

解： 这是两个作平面运动刚体组成的系统。每个刚体均有自己的运动量εω,，而点B 为两刚体的连接点，应为求解本题的关键点。解决本题所用知识为平面运动点的速度、加速度分析，具体步骤为：

1°运动分析。杆AB 作平面运动，其上点A 的轨迹为直线。圆轮作平面运动，且为纯滚；其上轮心的轨迹为直线，而且运动是已知的。

2°速度分析

圆轮：速度瞬心为点1P

，角速度1ω转向如图（b ）所示。

r /v O =1ω

2s i n

22s i n 21?

?ωO O B v r v r PB v =?=?= 杆AB 的速度瞬心为点2P ，角速度2ω转向如图（b ）所示，其大小可由速度瞬心法或由定义求出。下面用定义求。因为

2s i n 22s i n s i n 21?

?θr BP l =?= 该式两边对时间求一阶导数，有

???θ

θ 212cos 2sin 22cos ???=?r l

?

?θθ ?=?sin cos r l 由图示θ?、知：它们分别是平面图形的方位角，因此

θω?ω ＝　，　21=

可求出

l v O

?θ?ωc o s s i n 2＝

3°加速度分析 轮：

01==r /a O ε

→→

=n BO

B a

a

其中

r v

r a

O

n BO

2

21

==ω，方向如图

杆AB →

→→

→

+

+=

τAB n AB

B

A

a a

a a

大小 ？ √ 2

2ωl √ ?2εl

作出加速度矢量图（图（b ））。该方程在ξ轴上投影

2

2

cos sin sin 90cos cos )v l (l )(r v )

(a a a O O B n

AB A θ?θ?θ?θ++--?+=? ＝

2

3

222

3222cos sin cos sin cos sin cos sin O

O O

O A v l v r )(v l l v r )(a θ?θ?θθ?θ?θ++++=　＝

求轮上点B 的加速度时，经常犯这样的错误，即使用这样的结果：2

11ω?=BP

a n

B ，011=?=ετBP a B 。点1P

是速度瞬心，其加速度不为0，由1P O 、两点加速度关系可知2

1

11ωr a a n

O

P P ==。上面τ

B n

B a ,a 的计算结果，实际是以点1P

为基点，点B 相对1P 的法向加

速度和切向加速度：2

111ω?=BP a n

B P ， 111ετ?=BP a B

P 。