差分方程及其应用(精)
差分方程及其应用
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理
一、 基本概念
1、函数的差分
对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，
，，，Λ210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ?，即
)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+?。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是
)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，
若将上式写作
)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，
则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记
))()1()(t R t R t R -+=?，
并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差
分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2?，即
)()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y ---=-==++++?????
t t t y y y +-=++122。
依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为
t t t t t t t y y y y y y y ????????+-=-==+++12212232)(
t t t t y y y y -+-=+++12333。
一般地，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分定义为
t n t n t n t n y y y y 1111-+---==?????）（ ∑=-++---=
n k k n t k y k k n n n 0!
)1()1()1(Λ。 上式表明，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分是该函数的n 个函数值，t n t n t y y y ，，
，Λ1-++的线性组合。
例1 设322-+=t t y t ，求t y ?，t y 2?。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ?。
t
t t t t y y y y y +-==++1222)(???
232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
2、 差分方程的基本概念
先看例题。
设0A 是初始存款（0=t 时的存款），年利率)10(< t t t rA A A +=+1，),2,1,0(Λ=r ， （1-1） 如写作函数)(t f A t =在t 的差分t t t A A A -=+1?的形式，则上式为 t t rA A =?，),2,1,0(Λ=r ， （1-2） 由（1-1）式可算出t 年末的本利和为 01A r A t t ）（+=，),2,1,0(Λ=r 。 （1-3） 在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数)(t f A t =，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值t A 和1+t A ，在方程（1-2）中含有未知函数的差分t A ?，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数 值)(t f A t =的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是1，即 11=-+t t ）（，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。 （1-3）式是t A 在t 之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。 由上例题分析，差分方程的基本概念如下： 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。 由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。 例如 0332=---t y y y t t t ??就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数)(t f y t =在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为0512=-+-++t y y y t t t 。正因如此，差分方程又可定义为 含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。 n 阶差分方程的一般形式可表示为 0),,,,(2=t n t t t y y y y t ???ΦΛ， （1-4） 或0),,,(1=++n t t t y y y t F Λ， （1-5） 由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。 若把一个函数)(t y t ?=代入差分方程中，使其成为恒等式，则称)(t y t ?=为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。 一阶差分方程的初始条件为一个，一般是00a y =（0a 是常数）；二阶差分方程的初始 条件为两个，一般是00a y =，11a y =（0a ，1a 是常数）；依次类推。 二、线性差分方程解的基本定理 现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。 二阶线性差分方程的一般形式 ）t f y t b y t a y t t t ()()(12=++++， （1-6） 其中)(t a ，)(t b 和)(t f 均为t 的已知函数，且0)(≠t b 。若0)(≠t f ，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若0)(≡t f ，则（1-6）式称为 0)()(12=++++t t t y t b y t a y ， （1-7） 定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的解，则 )()()(2211t y C t y C t y +=， 也该方程的解，其中1C 、2C 是任意常数。 定理2(齐次线性差分方程解的结构定理) 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则)()()(2211t y C t y C t y C +=是该方程的通解，其中1C 、2C 是任意常数。 定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（1-6） 的一个特解，)(t y C 是齐次线性差分方程（1-7）的通解，则差分方程（1-6）的通解为 )()(*t y t y y C t +=。 定理4 (解的叠加原理) 若函数)(*1t y ，)(* 2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程 )()()(112t f y t b y t a y t t t =++++与)()()(212t f y t b y t a y t t t =++++ 的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解。 §2 一阶常系数线性差分方程的迭代解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 )(1t f ay y t t =++， （2-1） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2-1）式称为一阶非齐次差分 方程；当0)(≡t f 时，差分方程 01=++t t ay y 。 （2-2） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。 下面给出差分方程（2-2）的迭代解法。 一、求齐次差分方程的通解 把方程（2-2）写作t t y a y )(1-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得 Λ Λ Λ,2,1,0)()()()(), ()(020201=-=-=-=-=-=-=t a C y a y a C y a y a C y a y t t t ，， 最后一式就是齐次差分方程（2-2）的通解。特别地，当1-=a 时，齐次差分方程（2-2）的通解为 C y t =，Λ,2,1,0=t 。 二、求齐次线性差分方程的通解 1、设b t f =)(为常数 此时，非齐次差分方程（2-1）可写作 b y a y t t +-=+)(1。 分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得 ] )()()(1[)(])()(1[)()()] (1[)()()(12020323021201--++-+-++-=-+-++-=+-=-++-=+-=+-=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y b y a y ΛΛ Λ。 （2-3） 若1≠-a ，则由（2-3）式用等比级数求和公式，得 a a b y a y t t t +--+-=1)(1)(0，Λ,2,1,0=t ， 或 a b a C a b a b y a y t t t ++-==+++--=1)(1)1()(0，Λ,2,1,0=t ， 其中a b y C +-=10为任意常数。 若1=-a ，则由（2-3）式，得 bt C bt y y t +=+=0，Λ,2,1,0=t ， 其中0y C =为任意常数。 综上讨论，差分方程b ay y t t =++1的通解为 ?????-=+-≠++-=。，1, 1,1)(a bt C a a b a C y t （2-4） 上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次差分方程（2-1）的一个特解。 这里，当1-≠a 时，由上式所确定的解序列)2,1(Λ=t y t 的特性作两点说明： 例1 求解差分方程5 1321=- +t t y y 。 解：由于32-=a ，51=b ，531=+a b 。由通解公式（2-4），差分方程的通解为 5 3)32(+=t t C y ，（C 为任意常数）。 2、)(t f 为一般情况 此时，非齐次差分方程可写作 )()(1t f y a y t t +-=+。 分别以Λ,2,1,0=t 代入上式，得 。， ， ， )1()()() 1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1021020323021201---+-=-+--++-+-+-=+-+-+-=+-=+-+-=+-=+-=∑-=--k t f a a C t f t f a f a f a y a y f f a f a y a f y a y f f a y a f y a y f y a y t k k t t t t t ΛΛ Λ （2-5） 其中0y C =是任意常数。（2-5）式就是非齐次差分方程（2-1）的通解。其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2-1）的一个特解。 例1 求差分方程t t t y y 21=++的通解。 解 由于1=a ，t t f 2)(=。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解 ()t t t t t k k t k t t k k t y 131231211)21(12)21(22)1()(11 011 10*--=+-==-=-=--=----=∑∑， 于是，所求通解为 t t t t t t C C y 23 1)1()1(31231)1(1+-=--+-=。 其中3 11- =C C 为任意常数。 §3 常系数线性差分方程 一、一阶常系数线性差分方程的解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 )(1t f ay y t t =++， （3-1） 与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程为 01=++t t ay y 。 （3-2） 1、求齐次线性差分方程的通解 为了求出一阶齐次差分方程（3-2）的通解，由上节定理2，只要求出其一非零的特解即可。注意到方程（3-2）的特点，1+t y 是t y 的常数倍，而函数t t λλλ ?=+1恰满足这个特 点。不妨设方程有形如下式的特解 t t y λ=， 其中λ是非零待定常数。将其代入方程（3-2）中，有 01=++t t a λλ， 即 0)(=+a t λλ。 由于0≠t λ，因此t t y λ=是方程（3-2）的解的充要条件是0=+a λ。所以a -=λ时，一阶齐次差分方程（2）的非零特解为 t t a y ）（-=。 从而差分方程（3-2）通解为 t c a C y )(-=（C 为任意常数） 。 称一次代数方程0=+a λ为差分方程（3-1）或（3-2）的特征方程；特征方程的根为特征根或特征值。 由上述分析，为求出一阶齐次差分方程（2）的通解，应先写出其特征方程，进而求出特征根，写出其特解；最后写出其通解。 2、求非齐次线性差分方程的特解和通解 下面仅就函数)(t f 为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（3-1）的特解。 根据)(t f 的形式，按表1确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解)(*t y 。 说明：当)sin cos ()(t b t a t f t θθρ+=时，因ρ和θ为已知，令)sin (cos t i t θθρδ+=， 则可计算出δ。 例1 求差分方程t t t y y 21=++的通解。 解：特征方程为01=+λ，特征根1-=λ。齐次差分方程的通解为 t C C y )1(-=。 由于)(2)(0t P t f t t ρ==，2=ρ不是特征根。因此设非齐次差分方程特解形式为 t B t y 2)(*=。 将其代入已知方程，有 t t t B B 2221=++， 解得31=B ，所以t t y 23 1)(*=。于是，所求通解为 t t C t C t y y y 23 1)1()(*+-=+=，（C 为任意常数）。 例2 求差分方程t y y t t 231+=++的通解。 解：特征方程为01=-λ，特征根1=λ。齐次差分方程的通解为 C y C =。 由于)(23)(1t P t t f t ρ=+=，1=ρ是特征根。因此非齐次差分方程的特解为 )()(10*t B B t t y +=。 将其代入已知差分方程得 t t B B B 232110+=++， 比较该方程的两端关于t 的同次幂的系数，可解得20=B ，11=B 。故2*2)(t t t y +=。 于是，所求通解为 2*2t t C y y y c t ++=+=， （C 为任意常数）。 例3 求差分方程13331+=--t t t t y y 的通解。 解：已知方程改写为13)1(3311++=-++t t t t y y ，即3 13)1(1+ +=-+t t t t y y 。求解如下两个方程 )1(31+=-+t y y t t t ， （3-3） 3 11=-+t t y y ， （3-4） 对方程（3-3）：特征根1=λ，)()1(3)(1t P t t f t t ρ=+=，3=ρ不是特征根，设特 解为)(3)(10*1t B B t y t +=，将其代入方程（3-3）有 [])1(3)(3)1(310101+=+-+++t t B B t B B t t t ， 可解得410- =B ，211=B 。故)2 141(3)(*1t t y t +-=。 对方程（3-4）：特征根1=λ，)(3 1)(0t P t f t ρ==，1=ρ是特征根，设特解为Bt t y =)(*2。将其代入方程（3-4）解得31=B 。于是，t t y 31)(*2=。 因此，齐次差分方程的通解为C t y C =)(。所求通解为 t t C y y y y t c t 3 1)4121(3*2*1+-+=++=，（C 为任意常数）。 例4 求差分方程t y y t t 2sin 31π =-+的通解。 解：因特征根3=λ，齐次差分方程的通解t C C y 3=。 )sin cos (2sin )(t b t a t t f t θθρπ +==，0=a ，1=b ，1=ρ，2π θ=。令 i i i =+=+=2 sin 2cos )sin (cos ππθθρδ。 因为i =δ不是特征根，设特解t B t A t y 2sin 2cos )(*π π +=。将其代入原方程有 t t B t A t B t A 2 sin 2sin 2cos 312sin 12cos πππππ=+-+++）（）（）（。 （3-5） 因为t t 2sin 12cos π π-=+）（，t t 2cos )1(2sin π π=+，将其代入（3-5）式，并整理得 t t B A t A B 2 sin 2sin )3(2cos )3(π ππ=+--。 比较上式两端的系数，解得101-=A ，10 3-=B 。故非齐次差分方程的特解 t t t y 2 sin 1032cos 101)(*ππ--=。 于是，所求通解为 t t C y y y t C t 2 sin 1032cos 1013*ππ-- =+=，（C 为任意常数）。 二、 二阶常系数线性差分方程的解法 二阶常系数线性差分方程的一般形式为 )(12t f by ay y t t t =++++， （3-6） 其中a ，b 为已知常数，且0≠b ，)(t f 为已知函数。与方程（7）相对应的二阶齐次线性差分方程为 012=++++t t t by ay y 。 （3-7） 1、求齐次线性差分方程的通解 为了求出二阶齐次差分方程（3-7）的通解，首先要求出两个线性无关的特解。与一阶齐次差分方程同样分析，设方程（3-7）有特解 t t y λ=， 其中λ是非零待定常数。将其代入方程（3-7）式有 0)(2=++b a t λλλ。 因为0≠t λ，所以t t y λ=是方程（3-7）的解的充要条件是 02=++b a λλ 。 （3-8） 称二次代数方程（3-8）为差分方程（3-7）或（3-8）的特征方程，对应的根称为特征根。 （1）、特征方程有相异实根1λ与2λ 有限差分法及其应用 1有限差分法简介 有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 2有限差分法的数学基础 有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。 3有限差分解题基本步骤 有限差分法的主要解题步骤如下： 1）建立微分方程 根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。 2）构建差分格式 首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。 3）求解差分方程 差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种:精确法和近似法。其中精确法又称直接发，主要包括矩阵法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法，间接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和检验 对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。 4商用有限差分软件简介 商用有限差分软件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，FLAC是一个基于显式有限差分法的连续介质程序，主要用来进行土质、岩石和其他材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析；UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静，动态载荷作用下的反应；PFC是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特征主要取决于粒子之间接粗状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题，以及颗粒的流动(大位移）问题。 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。 现代电路理论 -------分歧理论及其应用 分歧理论及其应用 引言：近二、三十年来，分歧现象（bifurcation phenomena）及理论（bifurcation theory）在数学及自然科学上受到格外的重视及研究。随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现于自然科学、工程技术乃至社会科学的许多领域，成为当前科学研究的热点。分歧现象是普遍存在的，是非线性系统的重要特点之一，它普遍地存在于数学、物理学、化学、经济学、社会学、生态学等各个领域，像数学中的解不唯一、物理学中的相变、工程中的静力与动力失稳、经济学中的马太效应、电子学中的周期振荡等等，都可以从分歧的角度去研究[1]。 1.分歧理论概述 分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支，它反映的是流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异，不论在数学理论上还是在现实应用中都具有极为重要的意义。近半个世纪以来，分歧理论的研究一直受到人们的广泛关注，也得到了很大的发展。国际电力界从20世纪80年代开始研究和应用分歧理论，在电压稳定、轴系扭振以及低频振荡的研究中均取得了新的突破。在上个世纪七十年代初，Crandall和Rabinowitz的两个基本分歧定理是由隐函数定理证明的，至今在数学，生物，工程上广为应用[2]。 分歧的含义是：对于含参数的系统，当参数发生变动并经过某些临界值时，系统的定性性态（即其拓扑结构，例如平衡状态、解的数目、周期运动的数目以及稳定性等）发生突然变化的现象。从数学角度而言，分歧理论主要是研究非线性代数方程（微分方程、积分方程、差分方程等）中参数对解的定性性质的影响，其中参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究重点。 2. 分歧的定义 首先我们来看看一个经常可见到的现象。拿一根细长的金属棒。在棒的两头向内稍稍用力，此时棒不会弯曲。当力量够大时，则棒会弯起来。再继续加大压力，棒可能会弯了两弯。其变化如下图： 差分方程及其应用 在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。 §1 基本概念 线性差分方程解的基本定理 一、 基本概念 1、函数的差分 对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。 设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数 )(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ?，即 )()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+?。 由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。 例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是 )()()()1(t Q t P t R t R -+=+， 若将上式写作 )()()()1(t Q t P t R t R -=-+， 则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记 ))()1()(t R t R t R -+=?， 并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。 按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差 本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用 学生姓名：雷晶 学号： 1004970226 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导老师：舒蕊艳 完成日期：2014年5月20日 差分方程在经济学中的应用 内容摘要 本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广. 本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金. 差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一. 关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型 , . . , , , , . a . ’s . , ’s ’s m n , . , . a . a ’s . 目录 一、绪论 (1) （一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1) （二）研究背景 (2) 二、研究的理论基础 (2) （一）差分 (2) （二）差分方程 (3) （三）差分方程的解 (4) （四）特征根法 (4) 三、差分方程的经济应用模型简介 (5) （一）贷款模型 (5) （二）存款模型 (6) （三）乘数-加速数模型 (7) （四）哈罗德-多马经济增长模型 (10) （五）投入产出模型 (11) （六）筹措教育经费模型 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (16) 收稿日期：2013-11-05 基金项目：国家自然科学基金（51278221，51378076） 作者简介：周林华（1981-），男，博士，E-mail ：zhoulh@https://www.360docs.net/doc/c77121973.html, 长春理工大学学报（自然科学版） Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition ） Vol.37No.2Apr.2014 第37卷第2期2014年4月 差分方程模型在交通流计算中的应用研究 周林华，胡宏华，梁辰，刘琪，李军，李延忠 （长春理工大学 理学院，长春130022） 摘 要：针对交通流计算中车道被占对道路通行能力的影响以及所导致的车辆排队长度等问题，本文给出了一种能快速计 算车辆排队长度的数学模型，且以此可以分析不同车道被占对道路实际通行能力的影响。首先明确道路实际通行能力的定义，并将车道被占后的时间离散化，然后根据车辆流动数量关系建立车辆排队长度的差分方程计算模型。通过实际视频资料的验证，利用差分方程模型计算的结果能很好地与实际情况相吻合。该研究结果能用于车道被占后，为上游路口车辆放行数量与放行方向等交通信号控制提供预判依据。关键词：交通流；差分方程；道路通行能力中图分类号： U491.1+12 文献标识码：A 文章编号：1672-9870（2014）02-0117-07 Research on Difference Equation Model in Traffic Flow Calculation ZHOU Linhua ，HU Honghua ，LIANG Chen ，LIU Qi ，LI Jun ，LI Yanzhong （School of Science ，Changchun University of Science and Technology ，Changchun 130022） Abstract ：In order to analyze the influence of an accident on the road capacity and calculate the vehicle queue length ，a mathematic model was provided ，which could quickly obtain the vehicle queue length.Firstly ，the definition of the actual road capacity is made sure ，and after the lane being occupied the time discretization is got ，then a difference equation model was proposed based on the quantitative relation of the vehicle.The feasibility of the difference equation model is verified by actual video data.The results could be used to provide basis of predictions of the vehicles release quantity and orientation in the upstream intersection when the lanes are occupied.Key words ：traffic flow ；difference equation ；road capacity 由于城市化进程的加快，交通问题日趋严重，因 此对于交通流问题的正确了解与分析成为解决交通问题的关键。交通流问题理论是分析研究道路上行人和机动车辆（主要为汽车）在个别或成列行动中的规律，探讨车流流量、流速和密度之间的关系，以求减少交通时间的延误，事故的发生和提高道路交通设施使用效率的理论。目前对此研究的方法主要有概率论方法，流体力学方法和动力学方法等，其中动力学方法［1］，即跟车理论，就是在交通流中追随前车的后车，假设其向前移动有某种规律性，据此可求得各车辆动力学状态的微分方程式。后两种方法使用较多，主要应用于道路服务水平与通行能力的评价，交通量与交通事故预测，交通信号控制和估算、消除 汽车排队长度等方面。 对道路实际通行能力给出了定义，然后利用差 分方程［2， 3］ 建立了车辆排队长度的计算模型，进而可以讨论交通流问题中车道被占用对车辆排队长度的影响，为上游车辆放行数量与方向等交通信号控制提供预判依据；利用两个具体的视频材料对模型进行了验证分析，结果表明差分方程模型能很好的与实际情况吻合。 1 道路实际交通能力及车辆排队长度计算的数学建模 1.1道路实际通行能力 为了研究车道被占对道路实际通行能力的影 差分方程模型的稳定性分析及其应用The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期： 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日 全概率公式及其应用 (清华大学数学科学系 叶俊) 命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 1. 全概率公式和Bayes 公式 概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)| (i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要 使用全概率公式和Bayes 公式。 背景：例如，在医疗诊断中， 中的哪一种，可用Bayes 完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。 定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i ≠=φ 且Ω=∞ =i i B 1 。进而，如还有 ,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。 一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。 定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任 有 )()()(1 i i i B A P B P A P ∑∞ == 定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足 则 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(11), 1402-1404 Published Online November 2018 in Hans. https://www.360docs.net/doc/c77121973.html,/journal/aam https://https://www.360docs.net/doc/c77121973.html,/10.12677/aam.2018.711163 Dynamics of the Difference Equation ()11n n n x =x p +x +? Shaogao Deng 1, Lijun Zhu 2* 1School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan 2 School of Mathematics and Information Science, North Minzu University, Yinchuan Ningxia Received: Oct. 23rd , 2018; accepted: Nov. 13th , 2018; published: Nov. 20th , 2018 Abstract This paper considers the difference equation ()(),+1102n n n x =x p +x p n ?≥≥ with the initial values ,120>0x x >. The asymptotic stability of the positive solutions is proved under some assumptions. Keywords Difference Equation, Equilibrium Point, Asymptotic Stability 差分方程()11n+n n x =x p +x ?的动力学性质 邓绍高1，朱立军2* 1西南交通大学数学学院，四川 成都 2 北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏 银川 收稿日期：2018年10月23日；录用日期：2018年11月13日；发布日期：2018年11月20日 摘 要 本文讨论了差分方程)(),+1102n n n x =x p +x p n ?≥≥的动力学性质，其中参数p 是非负数，初始值 ,120>0x x >。在一定的条件下，方程的正解的渐近稳定性得到了证明。 * 通讯作者。 附录：差分方程及其应用 一、 差分的概念 定义1 设函数).(t y y t = 称改变量 t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为 t y ?, 即 t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2 ? , 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… ),(),(3423t t t t y y y y ??=???=? 例1 设322-+=t t y t ，求t y ?，t y 2?。 解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ?。 t t t t t y y y y y +-==++1222)(??? 232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。 二、差分方程的概念 定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程. 差分方程的一般形式：0),,,,,(2 =???t n t t t y y y y t F 或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解. 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解. 定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程. 线性差分方程的一般形式是 )()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++ 其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）有限差分法及其应用
微分方程与差分方程详细讲解与例题
分歧理论及其应用
差分方程及其应用
差分方程在经济学中的应用应用数学
差分方程模型在交通流计算中的应用研究_周林华
差分方程模型的稳定性分析及其应用毕业设计论文
全概率公式及其应用范文
差分方程xn+1 = xn ( p + xn
考研数学——差分方程及其应用