半角的正弦、余弦、正切
两角和与差的三角函数，解斜三角形·半角的正弦、余弦、正切
教学目标
1．使学生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式容及推导方法．
2．初步掌握公式的应用，能用联系的观点理解各公式，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．提高学生思维的严谨性．
教学重点与难点
教学重点是半角公式的推导过程．
教学难点是对公式的分析和理解．
教学过程设计
一、新课引入
师：这节课我们研究一组新的三角变换的工具——半角公式．什么
表示．
（尽快揭示课题，引导学生的思维尽快进入问题情境．）
板书：半角的正弦、余弦和正切
二、学习新课
1．公式的推导．
师：表示式中除有α角三角函数外，还有其它角的三角函数，能否只用α角的三角函数来表示？
师：以上两位同学的推导，虽然未能完成，但在思路上有一定的价
（对倍角公式的换元处理，体现了对“倍”的相对性的认识）
师：好．这一点很重要，这个等式正是我们所需要的，能否继续完成这种推导？
师：解释一下这里“±”号的含义，是正与负两个都要吗？
这就是半角的正弦公式，我们把它记下来．
师：这里又出现了“±”号，请举例说明这里“±”号的含义．
选负号．
师：也就是说这里“±”号选取方法与前面公式选取方法是相同的，这就是半角的余弦公式．
师：半角的正切公式该怎样来推导呢？
里的“±”号需稍加解释，由于分子、分母都是“±”号，能否把“±”号约掉？
生：不能．
师：怎么理解结果中的“±”号呢？
生：应是分子，分母的“±”号搭配的结果．具体地说，共有四种情况：当分子，分母取同号时，结果为正；当分子，分母取异号时，结果为负．
师：也就是说这里的“±”号由分子，分母符号的选取共同决定的，
这就是半角的正切公式．
师：公式（3）从形式上似乎还有化简的余地，可以使它变得更简单，更便于使用．找一个同学试对公式（3）进行化简．
生：分子、分母同时乘以1+cosα，即
师：能乘1+cosα吗？
生：可以．因为在公式（3）中1+cosα在分母位置上，可以保证其不为零．
师：1+cosα开出根号，能保证它一定为正吗？
生：由-1≤cosα≤1及1+cosα≠0可以保证1+cosα一定为正．
师：从形式上看化简结果并不理想，如果没有“±”号和绝对值就好了，这样做行吗？
（对这个问题的解决，有一定难度，可以让学生讨论，研究一下，最终由老师加以解释．）
是等价的．简单分析如下，|sinα|去掉绝对值需看sinα的符号，“±”
师：对于公式（3）化简的方法应当是不唯一的，能否有其它的化简方法呢？
师：这个化简过程与刚才的很类似，而且“±”号和绝对值的处理
的正切公式的第三种形式记录下来．
取相应的推导方法．）
师：到此完成了半角公式的全部推导过程．回顾公式的推导，发现半角的正余弦公式推导是借助了倍角公式来完成的，说明倍角与半角公式是密切联系的，我们正是利用这种关系，应用方程思想得到了半角公式．（给短暂的停顿，让学生从整体上记忆这组公式．）
师：下面对这组公式作初步理解与记忆．
2．公式的初步理解与记忆．
师：先明确何时能用这些公式，即公式成立的条件是什么呢？先看公式（1）、（2）．
（板书（1）公式成立的条件）
生：公式（1）、（2）成立的条件是α∈R．
（把条件同时板书在各公式的后面．）
师：再看公式（3）和（4）．
师：再看看公式（5）的条件．
k∈Z，即α≠kπ（k∈Z）．
师：公式（4）和公式（5）都是由（3）推出的，为什么成立的条件不同呢？
生：因为同乘1-cosα时不能保证它一定不为零，为保证变形的等价性，需添加上这个条件，即要求α≠2kπ，k∈Z，故增加了公式的使用条件，这与（4）有所不同．
师：了解它们成立的条件，在使用时请稍加注意．
（板书（2）公式的恒等性）
师：这五个公式均为三角恒等式．恒等的含义具体指什么？
生：公式中的α角可以取任意角．
师：准确地说，应当是在公式成立围的任意角均使公式成立，即公式具备恒等性．
正因为α是任意的，故公式中角可以有多种表示方法，如果用换元思想去认识公式中的角，左式中角可以用α，那么右式中角则应换为……
生：（共答）2α．
指左式中的角是右式中角的一半．自然，这种相对性还可以理解为右式中的角又是左式中角的2倍，这就是倍的相对性．从这个角度上又一次揭示了倍与半之间的密切联系，它们的实质是相同的，只是研究的角度不同罢了．
（板书（3）“半”的相对性）
下面我们简单谈一下公式的记忆．
（公式的记忆固然需要在理解的基础上去记忆，但有时一些技巧对公式记忆也很有帮助．）
师：公式（4）和（5）虽然形式简单，但很容易相互混淆．但仔细观察能发现（3），（4），（5）三个公式中出现了三个因式1+cosα，1-cosα和sinα，而1+cosα若出现一定会在分母上，1-cosα若出现则一定在分子上，（4）和（5）两个公式，一旦分子或分母确定了，另一个位置上一定是sinα．
通过这种方法，从公式中的联系出发，找到了记忆的方法，但是最好的记忆方法还是在公式使用时去熟练记忆．
（板书）
3．公式的应用．
先一起看一组小题．
（板书）
师：打算用什么公式来求值？
生：用半角公式．
师：为什么用半角公式？
计算最方便．
（有些学生想利用倍角公式来求值，此时应提醒学生这样做没有错，只不过又推了一次半角公式，而不是直接用公式，所以要注意倍、半公式的选择．）
师：用半角公式，仅有cosα值够不够？
师：现在这两个条件都具备，找个同学具体计算一下．
（板书）
（3）α是第三象限角．
师：对（2）和（3）只要求指出各值的符号即可．
师：对于这组题的计算还有什么问题吗？
第三象限角，为什么（1）只有一组解，而（3）却有两组解呢？师：问题提得好．有哪位同学能帮忙解决吗？
生：（1）中α角是区间角，是第三象限角中很小的一部分，
师：好．区间角和象限角是不同的两个概念，在解题时注意加以区分．
师：这节课主要对半角公式进行了推导，并做了初步的理解与应用．在整个过程中有几点启示，需引起我们注意：
（1）在公式推导中发现，倍角和半角是紧密相联的，它们是同一种关系的不同表现形式．
（2）具体推导时，就是利用方程的思想和联系的观点得到半角的五个公式，同时我们也应能利用联系的观点把握其余各组公式间的联系．
（3）在正确记忆公式的同时，应注意公式在表达形式上存在着正负号的选择问题．
至于对公式进一步的综合应用将在下节课继续研究．
作业：课本P224第1，2，3题．
课堂教学设计说明
1．这节课是一节典型的公式课，传统的教学方法往往是以最快速度给出公式，然后展开大规模的练习，这样教学的结果会让学生只会死套公式，而不能灵活运用公式并合理选择公式．因此本节课采用启发式教学，让学生对公式的容、推导进行独立思考、探索，使学生充分吸取公式推导中的营养成分．
2．对于半角第一个公式的推导是整套公式推导的起点，为充分引导学生思考，拓展思路，我事先做了多种方案的准备，其中有这样一条思
略或被轻易否定了．其实这条路也是很有价值的一种推导思路，下面简
在这里又出现了“±”号和绝对值并存的现象，需进一步化简，当cosα≥0时，|cosα|=cosα，此时α在第Ⅰ或第Ⅳ象限或y轴上，则
当cosα＜0时，|cosα|=-cosα，此时α是第Ⅱ或第Ⅲ象限角，此
后面几个公式推导略．
在这个推导过程中，同样用到方程思想，数形结合思想以及很多三角函数的旧知识，也是很有价值，值得向学生推荐的推导方法．
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切 学习目标： 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接： 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ； cos 2α= = = ； tan 2α= . 一、预习案： 问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2 α= ， cos 2α = ，tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式：sin 2 α= （1） cos 2α= （2） tan 2α = = = （3） 问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？
问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π 二、学习案： 例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2 ，求sin φ，cos φ的值． 例2：化简： 1. (1＋sin α＋cos α)? ????sin α2－cos α22＋2cos α (180°＜α＜360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练： 化简： 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
半角的正弦、余弦和正切
半角的正弦、余弦和正切 （课堂教学实录） 广西防城港市上思县上思中学 [教者]王春雷 [点评]凌旭球（中学特级教师） 一、教学目标 1、 掌握半角公式及推导方法。 2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。 3、 能熟练、合理地运用公式。 二、重点、难点分析 1、 重点：2 αS ，2 αC ，2 αT 公式的推导、识记及熟练运用。 2、 难点：2 αS ，2 αC 公式中双重符号的选择、2 αT 三个公式的灵活运用。 三、教学用具、准备 电脑和投影设备，自制电脑课件。 四、教学过程设计 （一）复习引入 师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下： αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= （师生合作回答，然后用投影显示） 评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。 下面，我们一起来看一道习题：)4 ,0(,542cos π αα∈= ，求α4cos 和α2cos 的值。（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗 生：能，用二倍角公式。 师：那好，下面我们就一起来完成这道题：
25 7 1)54(212cos 2)]2(2cos[4cos 22= -?=-==ααα ?-=1cos 22cos 2αα109254122cos 1cos 2=+ = +=αα 10103 cos ±=?α 1010 3 cos =?α （生集体回答，师板书） 评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。 师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不 需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。 现在，我们再来看另一道习题，已知：)2,0(,54cos παα∈=，求2 cos α 的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢 评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任 务学。 生：不能。 师：但如果我们把看成上题的α2角，那2 α 角就变成了上题的什么角 生：α角。 师：所以，2 cos α 的值是……（稍作停顿） 生： 1010 3 。 师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的α2角换成α角，把公式中的α角换成 2 α 角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师板书课题） 评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的 欲望与热情。 （二）新课讲授 1、公式推导 师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先探讨如何将公式
二倍角的正弦余弦和正切公式教案
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
【知识梳理】 1，二倍角公式：sin22sin cos； 22 cos2cos sin； 2 2tan tan2 1tan 升幂公式：2 cos22cos12 cos212sin 降幂公式：2 1cos2 cos 2 2 1cos2 sin 2 2，半角公式： 1cos sin 22 ， 1cos cos 22 ， 1cos tan 21cos 3，万能公式： 2 2tan 2 sin 1tan 2 ， 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 ， 2 2tan 2 tan 1tan 2 4, 辅助角公式： ) cos( ) sin( cos sin2 2 2 2? ?- + = + + = +x b a x b a x b x a 例如：sinα±cosα＝2sin? ? ? ? ? ± 4 π α＝2cos? ? ? ? ? ± 4 π α． sinα±3cosα＝2sin? ? ? ? ? ± 3 π α＝2cos? ? ? ? ? ± 3 π α等． 5.积化和差公式： 和差化积公式：
8 8 2 2tan 22.5 1tan 22.5 22sin 75 555 cos sin cos sin 12 12 12 124 2 2 1 11tan 1 tan （4）2 1 2cos cos2 ,,13 2
1cos sin1cos sin 1cos sin1cos sin 2 2tan1tan 3 1tan 3tan cos cos cos cos 的值等于 9999
7 22 ，则1sin等于（ 2cos 2 B. 2cos 2 C. 2sin 2 D. 2sin 2 2 sin2cos4的值等于（） sin2 B. cos2 C. 3cos2 D. 3cos2 sin6cos24sin78cos48 B. 1 16 C. 1 32 D. 51 ，则 4 4134，求 cos2 cos 4 若没有给出限定符号的条件，则三角比的值应取正、负值，其详细变化见下表： 2sin 2 cos 2 tan 2 第一、三象限- - 第一、三象限- - tan 21cos sin ，表明tan 2 与tan 2 ，用起来非常 要理解并掌握二倍角公式及其推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数式的化简、
最新3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教案
马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科： 数学 年级： 高一 授课时间： 一课时 主备人：朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3．1．3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能： 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法： 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观： 树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示［3分钟］ 1. 引入新课：一、复习准备： 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 2.学习目标展示［2分钟］ 1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导［30分钟］ 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 导入部分： 激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
正弦 余弦 正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
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【知识梳理】 1，二倍角公式:sin22sin cos； 22 cos2cos sin; 2 2tan tan2 1tan 升幂公式:2 cos22cos12 cos212sin 降幂公式:2 1cos2 cos 2 2 1cos2 sin 2 2，半角公式： 1cos sin 22 , 1cos cos 22 ， 1cos tan 21cos 3，万能公式: 2 2tan 2 sin 1tan 2 ， 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 ， 2 2tan 2 tan 1tan 2 ４, 辅助角公式: ) cos( ) sin( cos sin2 2 2 2? ?- + = + + = +x b a x b a x b x a 例如：siｎα±cｏsα＝2sin? ? ? ? ? ± 4 π α＝2cos? ? ? ? ? ± 4 π α. sinα±3cosα=２sin? ? ? ? ? ± 3 π α＝2coｓ? ? ? ? ? ± 3 π α等. 5.积化和差公式：??? 和差化积公式：??? 【典型例题分析】 例1，不用计算器,求下列各式的值
（1）sin15cos15 (2）22 cos sin 8 8 （３)2 2tan 22.5 1tan 22.5 (４)212sin 75 变式练习:求下列各式的值 （１）5555 cos sin cos sin 12 12 12 12 (2)44 cos sin 2 2 (3)1 11tan 1 tan （4）2 1 2cos cos2 例2、若tan 3，求sin2cos2的值 例３、已知5sin ,,13 2 ,求sin2,cos2,tan2的值 例4、化简:1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 3．当]2 ,2[π π- ∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2 1- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 （ ） A ．2 1 B ． 2 2 C ．2 2- D ．2 2± 5．已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－56 65 6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于 （ ） A ． 4 3 B ． 8 3 C ．8 1 D ． 4 1 7．函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 （ ） A ．)()(x g x f 与 B ．)()(x h x g 与 C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
人教版数学高一B版必修4优化练习半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知cos α=-cos 22α，则cos 2 α等于( ) A.±33 B.33 C.33- D.±3 1 解析：由二倍角余弦公式，得3cos 2 2α=1，所以cos 2α=±33. 答案:A 2.若cos α=21，则sin 2 α等于( ) A.21 B.21- C.±2 1 D.±23 解析：sin 2α=±2cos 1α-=±21或由1-2sin 22α=cosα?sin 2α=±21. 答案:C 3.设α∈（π，2π），则2 )cos(1απ+-等于（ ） A.sin 2α B.cos 2α C.-sin 2α D.-cos 2 α 解析： 2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos 2α｜，又α∈（π，2π)， ∴2α∈（2π，π).∴｜cos 2α｜=-cos 2 α. 答案:D 4.已知sin θ=54- ，θ为第三象限的角，则tan 2 θ=______________. 解析：由条件，求得cosθ=53-，于是tan θθθcos 1sin 2+==-2. 答案:-2 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列各式与tan α相等的是（ ） A.αα2cos 12cos 1+- B.α αcos 1sin + C.αα2cos 1sin - D.α α2sin 2cos 1-
解析：由于α ααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tanα. 答案:D 2.设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么4 sin θ等于（ ） A.2 1a +- B.21a -- C.21a +- D.21a -- 解析：由于5π＜θ＜6π， ∴45π＜4θ＜2 3π. ∴sin 4θ=2 122cos 1a --=--θ. 答案:B 3.已知sin α=2524- ，且α为第三象限角，则tan 2 α等于（ ） A.34- B.43- C.34 D.4 3 解析：由sinα=2524-，且α为第三象限角，则cosα=25 7-， 所以tan 3 425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα. 答案:A 4.已知sin 2α-cos 2α=55-，450°＜α＜540°，则tan 2 α=______________. 解析：由sin 2α-cos 2α=55-， ∴（sin 2α-cos 2 α)2=（55-)2,得sinα=54. 又450°＜α＜540°， ∴cosα=5 3-.
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
1 二倍角与半角的正弦、余弦和正切 一、基础知识熟练记忆 1、基本公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin2α=2sin αcos α（S 2α）; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααα αβαβαT -=?-+ 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为 1cos 22cos 2-=αα或 αα2sin 212cos -=)(2αC ' 变形22cos 1sin ,22cos 1cos 22α -=αα +=α 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式． 2、*积化和差公式的推导 sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ? sin αcos β =21 [sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ? cos αsin β =21 [sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ? cos αcos β =21 [cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ? sin αsin β = -21 [cos(α + β) - cos(α - β)] 3、*和差化积公式的推导 若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ +θ=α，2φ -θ=β 代入得： )sin (sin 21 )]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ -θ +φ+θ=φ-θφ+θ ∴2cos 2sin 2sin sin φ -θφ+θ=φ+θ 2sin 2cos 2sin sin φ -θφ+θ=φ-θ 2cos 2cos 2cos cos φ -θφ+θ=φ+θ 2sin 2sin 2cos cos φ -θφ+θ-=φ-θ 4、半角公式 α+α -±=αα+±=α α - ±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于正弦函数和余弦函数的计算公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα
正弦余弦换算公式
三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切是“＋”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) s in(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
高中数学：26 半角的正弦、余弦和正切
课时分层作业(二十六) 半角的正弦、余弦和正切 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．下列各式与tan α相等的是( ) A. 1－cos α 1＋cos α B.sin α1＋cos α C.sin α1－cos 2α D.1－cos 2αsin 2α D [1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin α cos α＝tan α.] 2．已知180°<α<360°，则cos α 2的值等于( ) A ．－ 1－cos α 2 B.1－cos α 2 C ．－ 1＋cos α 2 D. 1＋cos α 2 [★答案★] C 3．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ? ? ? ??2x ＋π3＋θ. 当θ＝2 3π时，f (x )＝2sin (2x ＋π)＝－2sin 2x .] 4．化简2＋cos 2－sin 21等于( ) A ．－cos 1 B ．cos 1
C.3cos 1 D ．－3cos 1 C [原式＝2＋2cos 21－1－(1－cos 21)＝3cos 21＝3cos 1，故选C.] 5．已知450°＜α＜540°，则12＋12 12＋1 2cos 2α的值是( ) A ．－sin α2 B ．cos α 2 C ．sin α2 D ．－cos α 2 A [因为450°＜α＜540°， 所以225°＜α2＜270°. 所以cos α＜0，sin α2＜0. 所以原式＝12＋12 1＋cos 2α 2 ＝12＋12cos 2α ＝12＋1 2|cos α|＝ 12－1 2cos α ＝ sin 2α2＝???? ??sin α2＝－sin α 2.故选A.] 二、填空题 6．已知sin α2－cos α2＝－55，且α∈? ???? 5π2，3π，则tan α2＝________. 2 [由条件知α2∈? ???? 5π4，3π2， ∴tan α2>0.由sin α2－cos α2＝－5 5， ∴1－sin α＝1 5. ∴sin α＝45，cos α＝－35，tan α2＝sin α 1＋cos α ＝2.] 7．函数f (x )＝sin ? ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． π [∵f (x )＝22sin 2x －2 2cos 2x －2(1－cos 2x )
人教版数学高一人教B版必修四学案半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 知识点 半角公式 思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？ 思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2 . 思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2 与sin α，cos α有怎样的关系？ 梳理 正弦、余弦、正切的半角公式 sin α2 ＝________，????S α2 cos α2 ＝________，????C α2 tan α2 ＝____________________ .????T α2 类型一 应用半角公式求值
例1 若π2＜α＜π，且cos α＝－35，则sin α2 ＝________. 反思与感悟 容易推出下列式子： (1)sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tan α21＋tan 2α2 . (2)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2 . sin α、cos α都可以表示成tan α2 ＝t 的“有理式”，将其代入式子中，从而可以对式子求值. 跟踪训练1 若tan θ2＋1tan θ2 ＝m ，则sin θ＝________. 例2 已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 . 反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子； ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练2 已知sin α＝－ 817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2 . 类型二 三角恒等式的证明