第26章 反比例函数导学案

第26章反比例函数

一教材分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化的重要内容和数学模型，学生曾经学过一次函数等内容，对函数有了初步认识，在此基础上讨论反比例函数及其图像和性质可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为了后继学习打下基础。

本单元通过对具体情境的分析，概括出发比例函数的解析式，明确反比例函数的概念，通过例子和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义，结合实例经历列表、描点作图等活动，理解函数的三种表示方法，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维的空间，通过对反比例函数的图象全面观察和比较，发现函数自身的规律，进行语言表述，在相互交流中发展从函数中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的性质。

本单元最后讨论了反比例函数的某些应用，包括在实际中的应用和在数学内部的应用，在这些数学活动中，注意用函数观点来处理问题和对问题的解决用函数作出某种解释，用以加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系。

二：教学目标

1﹒知识与技能

会画出反比例函数的图象，，根据图象和解析式探索并理解反比例函数的主要性质，能依据已知条件确定反比例函数，领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路。

2．过程和方法

经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义。

3．情感、态度、价值观

逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合思想，感悟其应用价值。

三；重难点和关键

1．重点；

掌握反比例函数的图象及其性质，依据已知条件确定反比例函数。

2难点；

理解反比例函数性质。

3关键；

充分利用观察比较发现反比例函数的自身规律，结合数形来突破难点。

四课时划分

26 1 反比例函数 3课时

26 2 实际问题和反比例函数 2课时

复习与交流 1课时

九年级数学下册教案备课人：26．1．1反比例函数的意义

教学目标1．使学生理解并掌握反比例函数的概念。

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念以及意义。

培养观察、推理、分析能力，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。

重点难点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式理解反比例函数的概念

教学准备教师准备课件或导学案是否需要

课件

是学生准备学案

一、创设情境、导入新课

1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？问题提出：电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？

（2）利用写出的关系式完成下表：

R/Ω20 40 60 80 100

I/A

当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？

（3）变量I是R的函数吗？为什么？

学生小组合作讨论。

概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成

)0

(≠

=k

k

x

k

y为常数，

的形式，那

么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。留白：

（供教师个性化设计）

二、联系生活、丰富联想 做一做

1.一个矩形的面积为202

cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数吗？为什么？

学生先独立思考，再进行全班交流。

2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m （公顷/人）是全村人口数n 的函数吗？为什么？ 学生先独立思考，再同桌交流，而后大组发言。

3.y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值： x

-2

-1 21-

21

1 3 … y

32

2

-1

……

（1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。

学生先独立练习，而后再同桌交流，上讲台演示。 三、举例应用 创新提高：

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数

（1）

3x y =

（2）x y 2

-

= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）

31+=

x y （7）y ＝x －4

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成

x k

y =

（k 为常数，k ≠0）

的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=

，

分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m 取什么值时，函数2

3)2(m

x m y --=是反比例函数？

分析：反比例函数

x k

y =

（k ≠0）的另一种表达式是1

-=kx y （k ≠0），后一种写法

中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。 解得m ＝－2

例3．（补充）已知函数y ＝y 1＋y 2，y1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 求y 与x 的函数关系式

当x ＝－2时，求函数y 的值

分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x 和y2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。

略解：设y 1＝k 1x （k1≠0），

x k y 22=

（k2≠0），则x k

x k y 2

1+=，代入数值求得

k 1＝2，k 2＝2，则

x x y 2

2+

=，当x ＝－2时，y ＝－5

四、随堂练习

1．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为

2．若函数2

8)3(m

x m y -+=是反比例函数，则m 的取值是

3．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为

4．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ，当x ＝－3时，y ＝

5．函数

21

+-

=x y 中自变量x 的取值范围是

五、课后练习

已知函数y ＝y1＋y2，y1与x ＋1成正比例，y2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值 答案：y ＝4 六、作业布置

数学书P3页第3题

七、板书设计：

26.1.1反比例函数

1、概念 3、小结

2、例题 4、练习 八、课后反思：

九、作业反馈：

九年级数学下册教案 备课人： 26．1．2反比例函数的图象和性质（1）

教学

目标

会用描点法画反比例函数的图象 结合图象分析并掌握反比例函数的性质

体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 重点难点 理解并掌握反比例函数的图象和性质 理解并掌握反比例函数的图象和性质 教学准备

教师准备 课件或导学案 是否需要课件 是

学生准备

学案

教学过程设计 课堂引入 提出问题： 1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 3．反比例函数的图象是什么样呢? 例习题分析

例2．见教材P4，用描点法画图，注意强调： （1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数3

2)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m

值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件

略解：∵3

2)1(--=m x

m y 是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0

又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0 解得2±=m 且m ＜1 则2-=m

留白： （供教师个性

化设计）

例2．（补充）如图，过反比例函数x

y 1

=

（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）

（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2

（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定

分析：从反比例函数x

k

y =（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝2

1

，故

选B

随堂练习

1．已知反比例函数x

k

y -=

3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与x

a

y -=（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x

k

y =

（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 课后练习

1．若函数x m y )12(-=与x

m

y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是

2．反比例函数x

y 2

-

=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ；

当x ＞－2时；y 的取值范围是

3． 已知反比例函数

y a x a

=--()22

6

，当x >0时，y 随x 的增大而增大，

求函数关系式

答案：3．x

y a 2

5,5--=

-= 五、作业布置

数学书P8页3、4题

六、板书设计：

26.1.2反比例函数

1、概念 3、小结

2、例题 4、练习

七、课后反思：

八、作业反馈：

九年级数学下册教案 备课人： 26．1．2反比例函数的图象和性质（2）

教学

目标

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 重点难点 理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 学会从图象上分析、解决问题 教学准备

教师准备 课件或导学案 是否需要课件 是

学生准备

学案

教学过程设计

在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从"数"和"形"两方面去分析问题、解决问题。

一、例题的意图分析

教材第7页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由"数"到"形"，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。

教材第7页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由"形"到"数"，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。

补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。

补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。

四、课堂引入

复习上节课所学的内容

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？

五、例习题分析

例3．见教材P7

分析：反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。

例4．见教材P7

例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k ＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以

b＞a＞0＞c

说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调"在每一象限内"，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误。

此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。

例2．（补充）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A （－2，1）、B（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围

分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B

点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次留白：

（供教师个性化设计）

函数解析式y＝－x－1，第（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，

这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个

在下方。

六、随堂练习

1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数的图象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

2．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线上，则下列关系式正

确的是（）

（A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2

（C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2

七、课后练习

1．已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且

k的值还满足≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式

2．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标

和点B的纵坐标都是－2 ，

求（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积

答案：

1．或或

2．（1）y＝－x＋2，（2）面积为6

六、作业布置

数学书P9综合运用的5——7题

七、课后反思：

八、作业反馈：

九年级数学下册教案备课人：课题：26．2 实际问题与反比例函数

教学内容：26．2 实际问题与反比例函数第1课时

教学目标

1．知识与技能

学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2．过程与方法 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力

3．情感、态度与价值观

体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯

重点用反比例函数解决实际问题．

难点构建反比例函数的数学模型．

教学准备教师准备课件或导学案是否需要

课件

是学生准备学案

教学过程设计

（一）创设情境，导入新课

一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／时的平均速度用6?小时到达目的地．

（1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

（2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？

（二）合作交流，解读探究

探究（1）原路返回，说明路程不变，则80×6=480千米，因而速度v和时间

t满足：vt=480或v=480

t

的反比例函数关系式．

（2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于480

4

=120（千米

/时）．

归纳常见的与实际相关的反比例

（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；

（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；

（3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；

（4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；

（5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；

（6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例．

（三）应用迁移，巩固提高

例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．

（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；

（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．

【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．

解：（1）设y=k

x

，把x=0.25，y=400代入，得400=

0.25

k

，

所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=100

x

．

（2）当y=1 000时，1000=100

x

，解得=0.1m．

例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？留白：

（供教师个性化设计）

【分析】当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．

解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，?所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m3）．

（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=48000

t

；

（3）若要6h排完水池中的水，那么

每小时的排水量为：V=48000

6

=8000

（m3）；

（4）如果每小时排水量是5 000m3，

那么要排完水池中的水所需时间为：t=

48000

6

=8000（m3）

备选例题

（中考·四川）制作一种产品，需先

将材料加热到达60℃后，再进行操作．设

该材料温度为y（℃），从加热开始计算

的时间为x（分钟）．据了解，设该材料

加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x?成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5?分钟后温度达到60℃．

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

【答案】（1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15（0≤x≤5），?停止加热

进行操作时的关系式为y=300

x

（x>5）；（2）20分钟．

（四）总结反思，拓展升华

1．学会把实际问题转化为数学问题，?充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理．

2．能用函数的观点分析、解决实际问题，?让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决．

板书设计：

26.2.1实际问题与反比例函数

1、概念3、小结

2、例题4、练习

作业布置：

数学书P16页复习巩固的1——5题

教后反思：

作业反馈：

九年级数学下册教案备课人：课题：26．2.2 实际问题与反比例函数

教学内容：第2课时

教学目标1．知识与技能

学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2．过程与方法 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力．

3．情感、态度与价值观

体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯

重点难点重点：用反比例函数解决实际问题．难点：构建反比例函数的数学模型

教学准备教师准备课件或导学案是否需要

课件

是学生准备学案

教学过程设计

（一）创设情境，导入新课

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！

（二）合作交流，解读探究

问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，?分别是1200N 和0.5m．

（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1. 5m时，?撬动石头至少要多大的力？

（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

【分析】（1）由杠杆定律有FL=1200×0.5，即F=600

l

，当L=1.5时，F=

600

1.5

=400．

（2）由（1）及题意，当F=1

2

×400=200时，L=

600

200

=3（m），

∴要加长3-1.5=1.5（m）．

思考你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，?动力臂越长越省力？

联想物理课本上的电学知识告诉我们：用电器的输出功率P（瓦）两端的电压

U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR= u2，也可写为P=

2

u

R

．

（三）应用迁移，巩固提高

例1在某一电路中，电源电压U保持不变，

电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如

图所示．

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）结合图象回答：当电路中的电流不超

过12A时，电路中电阻R?的取值范围是什么？

【分析】由物理学知识我们知道：当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系．

解：（1）设，根据题目条件知，

当I=6时，R=6，所以，

所以K=36，所以I与R的关系式为：I=36

R

．

（2）电流不超过3A，即I=36

R

≥12，所以R≥3（Ω）．

注意因为R>0，所以由36

R

≤12，可得R≥

36

12

．

留白：

（供教师个性

化设计）

例2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（?千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千

帕时，气球将爆炸，为了完全起见，

?气球的体积应不小于多少？

【分析】在此题中，求出函数

解析式是关键．

解：设函数的解析式为P=k

V

，

把点A（1.5，64）的坐标代入，得

k=96，?所以所求的解析式为P=96

V

；

（2）V=0.8m3时，P=96

0.8

=120

（千帕）；

（3）由题意P≤144（千帕），所以96

V

≤144，所以V≥

96

144

=

2

3

（m3）即气体

的体积应不小于2

3

m3．

备选例题

1．（中考变式·荆州）在某一电路中，电

流I、电压U、电阻R三者之间满足关系I=U

R

．

（1）当哪个量一定时，另两个量成反比例

函数关系？

（2）若I和R之间的函数关系图象如图，

试猜想这一电路的电压是______伏．

2．（中考·扬州）已知力F对一个物体作的功是15焦，则力F?与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是（）

【答案】1．（1）当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例函数关系，（2）10；2．B

（四）总结反思，拓展升华

1．把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系．

2．利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题．

3．注意学科之间知识的渗透．

作业布置：

数学书P16综合运用的6——9题

板书设计：

26.2.2实际问题与反比例函数

1、概念3、小结

2、例题4、练习教后反思：

作业反馈：

反比例函数复习教案

学科: 任课教师： 授课时间： 年 月 日 时到 时 学生姓名： 年级： 学管师：

教学目标 知识点：1.反比例函数意义；反比例函数 反比例函数图象； 考点： 2.反比例函数性质；

方法 ： 3. 待定系数法确定函数解析式.

重点难点

教学内容

1.反比例函数的概念

反比例函数y=

k x 中的k x 是一个分式,自变量x ≠0,函数与x 轴、y 轴无交点,y=k x

也可写成y=kx -1

(k ≠0),注意自变量x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件. 2.反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数y=k

x

的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点. 3.反比例函数y=

k

x

中k 的意义 注意:反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k

x

(k ≠0)上任意一点引x 轴、y

轴垂线,所得矩形面积为│k │.[来源:学科网ZXXK]

1. 反比例函数的图象和性质

k 的符号

k ＞0 k ＜0 图像的大致位置

经过象限 第 象限 第 象限

性质

在每一象限内y 随x 的增大

而

在每一象限内y 随x 的增大 而

o

y

x

y

x

o

2．k 的几何含义：反比例函数y ＝k

x

(k ≠0)中比例系数k 的几何意义，如图17-37所示，若点A （x ，y ）为反比例函数k

y x =

图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，作AC ⊥y 轴于C ，则 S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1

||2

k .

考点一:反比例函数的概念、图像和性质

【例题1】已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ． 【例题2】已知点(,)P a b 在反比例函数2

y x

=

的图象上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数 k

y x

=

的图象上，则k 的值为 . 【例题3】点A (2，1)在反比例函数y k

x

=的图像上，当1﹤x ﹤4时，y 的取值范围是 .

【例题4】点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)都在反比例函数3

y=x

-

的图象 上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 【 】 A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3 【例题5】函数y ＝ 2

|x |

的图象是 【 】

【例题6】过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6

于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k x

(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是 【 】 A ．2≤k ≤9 B ．2≤k ≤8 C ．2≤k ≤5 D ．5≤k ≤8 考点二:关于k 的几何意义

【例题7】如图，点A 、B 在反比例函数)0,0(>>=

x k x

k

y 的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC,△AOC 的面积为6，则k 的值为________.

O O O O x x x x

y

y

y

y

A ．

B ．

C ．

D ．

A

B

C

O

x

y 例题6图

例题9图

【例题8】如图，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A(-1,0),B(0，-2),顶点C 、D 在双曲线y=x

k

上，边AD 交y 轴于点E,且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k=__________

【例题9】（2011?陕西）如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x

y 4-

=和 x

y 2

=

错误！未找到引用源。的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为 .

【例题10】如图，点A 在双曲线y ＝ 1 x 上，点B 在双曲线y ＝ 3

x

上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，

若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 ．

例题10图 例题11图

【例题11】(2011?兰州)如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在

反比例函数221

k k y x

++=的图象上．若点A 的坐标为(﹣2，﹣2)，则k 的值为____________

考点三：待定系数法、一次函数与反比例的综合问题

【例题12】（2011 河南 20题9分）如图，一次函数112y k x =+与反比例函数2

2k y x

=的图象交于 点(4,)A m 和(8,2)B --，与y 轴交于点C. （1）1k = ，2k = ；

（2）根据函数图象可知，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是 ；

（3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E ，

x

C O

M B

N y

A

例题7图

E C

D B

A

o x

y

例题8图

当ODAC S 四边形：ODE

S

=3：1时，求点P 的坐标.

【例题12】如图，直线1y k x b =+与反比例函数2

k y x

=(0)x >的图象交于(16)A ，，(3)B a ，两点． （1）求12k k 、的值； （2）直接写出2

10k k x b x

+-

>时x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC OD ∥，OB CD =，OD 边在x 轴上，过点C 作CE OD ⊥于

E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ．当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关

系，并说明理由．

O

P

E D

C

B

A

y

x

1.如图，一次函数y kx b =+的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数n

y x

=的图象在第二象限的交点为C ，CD⊥x 轴，垂足为D ，若OB=2，OD=4，△AOB 的面积为1． （1）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当0x <时，0k

kx b x

+-

>的解集．

2.如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，双曲线y ＝(k ＞0)经过边OB 的 中点C 和AE 的中点D ．已知等边△OAB 的边长为4．

(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF 的边长．

3.如图,等腰梯形ABCD 放置在平面直角坐标系中,已知A(-2,0)、B （6，0）、D （0，3）， 反比例函数的图象经过点C.

(1)求点C 坐标和反比例函数的解析式;

(2)将等腰梯形ABCD 向上平移m 个单位后,使点B 恰好落在曲线上,求m 的值.