高中数学：变量间的相关关系与统计案例练习
高中数学：变量间的相关关系与统计案例练习
1．(辽宁丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有 的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．( C )
附：
P (K 2≥k )
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k
2.706
3.841 5.024
6.635
10.828
C ．1%
D ．0.1%
解析：因为6.635＜6.705＜10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C.
2．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( C ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
解析：由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关，故选C.
3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝1
3x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^
的值是( B )
A.116 B ．18 C.14
D ．12
解析：依题意可知样本点的中心为? ??
??
34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^
＝18.
4．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法正确的是( C ) A ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 B ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 C ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 D ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果
解析：根据两个等高条形图知，药物A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B 实验显示明显大，
∴药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选C. 5．(河南焦作一模)已知变量x 和y 的统计数据如下表：
x 3 4 5 6 7 y
2.5
3
4
4.5
6
根据上表可得回归直线方程为y ＝b x －0.25，据此可以预测当x ＝8时，y ^
＝( C ) A ．6.4 B ．6.25 C ．6.55 D ．6.45
解析：由题意知x ＝
3＋4＋5＋6＋7
5
＝5，
y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋65
＝4，
将点(5,4)代入y ^＝b ^x －0.25，解得b ^＝0.85，则y ^
＝0.85x －0.25， 所以当x ＝8时，y ^
＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C.
6．(南昌模拟)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.
附表：
由K 2
＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2
＝58×42×35×65≈9.616，参照附表，
得到的正确结论是( C )
A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：由题意K 2的观测值≈9.616＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．
7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^
＝0.77x ＋52.9.
解析：由已知可计算求出x ＝30，而线性回归方程必过点(x ，y )，则y ＝0.77×30＋52.9＝76，设模糊数字为a ，则
a ＋62＋75＋80＋90
5
＝76，计算得a ＝73.
8．(赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：
人)
0.025 .
附表：
解析：由列联表计算K 2
的观测值k ＝30×20×20×30≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的
概率不超过0.025.
9．(安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：
有
解析：由2×2列联表可知，K 2
＝100×(25×30－10×35)2
40×60×35×65
≈2.93，因为2.93＞2.706，所以
有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．
10．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝ 10 .
解析：x ＝
9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n
5，回归直线一定经
过样本点中心(x ，y )，即6＋n 5＝－3.2? ?
?
??8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.
又因为m ＋n ＝20，即??? 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得???
m ＝10，
n ＝10，
故n ＝10. 11．(重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：
(1)5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；
(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.
注：K 2
＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝1
10. 所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×1
10＝3(人)．
抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs .
其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs . 故所求的概率为P ＝6
10＝0.6. (2)由题意，得K 2的观测值为
k ＝80(30×20－20×10)2(30＋20)(10＋20)(30＋10)(20＋20)＝16
3
≈5.333＞5.024.
又P(K2≥5.024)＝0.025.
故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”．
12．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：∑
i＝1
7
y i＝9.32，∑
i＝1
7
t i y i＝40.17，
∑
i＝1
7
(y i－y)2＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r＝
∑
i＝1
n
(t i－t)(y i－y)
∑
i＝1
n
(t i－t)2∑
i＝1
n
(y i－y)2
，
回归方程y
^
＝a
^
＋b
^
t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b
^
＝
∑
i＝1
n
(t i－t)(y i－y)
∑
i＝1
n
(t i－t)2
，a
^
＝
y －b ^t －.
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝
4，∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝28，
∑i ＝17
(y i －y )2＝0.55，
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝1
7
t i y i －t ∑i ＝1
7
y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，
r ≈
2.89
0.55×2×2.646
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．
(2)由y ＝9.32
7≈1.331及(1)得b ^＝
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝17
(t i －t )2
＝2.89
28≈0.10，
a ^＝y －
b ^ t －
＝1.331－0.10×4≈0.93. 所以y 关于t 的回归方程为 y ^
＝0.93＋0.10t .
将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^
＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨．
13．(湖南张家界一模)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^
＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( C )
x 6 8 10 12 y
6
m
3
2
A.变量x ，y
B ．可以预测，当x ＝20时，y ^
＝－3.7 C ．m ＝4
D ．该回归直线必过点(9,4)
解析：由－0.7＜0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^
＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x ＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y ＝1
4(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y ＝6＋5＋3＋24＝4，
所以该回归直线必过点(9,4)，故D 正确．故选C.
14．(湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( C )
A.b ^＞b ′，a ^
＞a ′ B ．b ^＞b ′，a ^
＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^
＞a ′
D ．b ^＜b ′，a ^
＜a ′
解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线
性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝1
6
x i y i －6 x ·y ∑i ＝16
x 2i －6 x 2
＝
58－6×72×13
6
91－6×? ??
?
?722＝57
，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－
13， 所以b ^＜b ′，a ^
＞a ′.
15．(青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作
了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的1
6，女生喜欢韩剧的人数占女生人数2
3.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 12 人.
P (K 2≥k 0)
0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计 男生 x
6 5x 6 x 女生 x 3 x 6 x 2 总计
x 2
x
3x 2
则k ＞3.841，
即k ＝3x 2? ???
?x 6·x 6－5x 6·x 32x ·x 2·x 2·x ＝3x 8＞3.841，
解得x ＞10.243.
因为x 6，x
2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
16．(包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果．
参考数据：y －＝54，∑i ＝1
7
(t i －t －)(y i －y －)＝21，14≈3.74，
∑i ＝1
7
(y i －y ^
i )2＝9
4.
参考公式：相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
n
(t i －t )2∑i ＝1
n
(y i －y )2
，
线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑i ＝1n
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1n
(t i －t )2
，a ^＝y －b ^t －
.
反映回归效果的公式为：R 2＝1－
∑i ＝1
n (y i －y ^
i )2
∑i ＝1
n
(y i －y )2
，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．
解：(1)由折线图中的数据得，
t ＝4，∑i ＝1
7 (t i －t －)2＝28，∑i ＝1
7
(y i －y －)2＝18，
所以r ＝
21
28×18
≈0.935. 因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．
(2)因为y －＝54，b ^＝
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝17
(t i －t )2
＝2128＝34，
所以a ^＝y －b ^
t ＝54－3
4×4＝51，
所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^
＝3
4t ＋51. 将2017年对应的t ＝8代入得y ^＝3
4×8＋51＝57， 所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨．
(3)因为R 2＝1－
∑i ＝1
7 (y i －y ^
i )2
∑i ＝1
7
(y i －y )2
＝1－94×118＝1－18＝7
8＝0.875，
所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．