cos 3sin B B =， 由二倍角公式得：2
cos 32cos 2sin 2B
B B =， 3分 由220π<<
B 得02cos ≠B ，∴232sin =
B ，∴3
2π=B ，即32π
=B ， 5分 由余弦定理及32=b 得：3
2cos
2)32(222π
⋅-+=ac c a ， 7分 即ac c a -+=2)(12，将4=+c a 代入，解得4=ac ， 9分 ∴32
3421sin 21=⨯⨯=⋅=
∆B ac S ABC 。 10分 18．（12分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n n n n n a a a a a a 422112
12++=----(1>n )，11=a 。
(1)证明数列}{n a 是等差数列，并求其前n 项和n S 。 (2)若1
41-=
n n S b ，试求数列}{n b 的前n 项和n T 。
【解析】(1)当2≥n 时，由n n n n n n a a a a a a 42211212++=----得：
n n n n n n n a a a a a a a 42112
212+++-=----，
1分 ∴)2(2)())((1111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++--=-+----， 2分 ∴)2(2))(2(111n n n n n n a a a a a a +=-+---， 3分 ∵数列}{n a 是正项数列，∴021≠+-n n a a ，∴21=--n n a a ， 4分 ∴数列}{n a 是等差数列，首项为1，公差为2，∴12-=n a n ， 5分 ∴212
n n a a S n
n =⨯+=
；
6分 (2)由(1)知，)121121(21141
2+--=-=n n n b n ， 8分
∴)1
21121(21)7151(21)5131(21)3111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=
n n T n 9分 )1211217151513111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+=n n )121
11(21+-=n 1
2+=
n n 。 12分 19．（12分）2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电大大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻。互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元。一网店经缙云土面，在一个月内，每售出1t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1t 亏损500元。根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图。该网店为下
一个月购进了100t 缙云土面，用x (单位：t ，12070≤≤x )表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销云土面的利润。
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)根据直方图估计利润y 不少于67000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如，若需求量)9080[，∈x ，则取85=x ，且85=x 的概率等于需求量落)9080[，的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望值。
【解析】(1)由题意可知，当)10070[，∈x 时，500001300)100(500800-=--=x x x y ， 1分
当]120100[，∈x 时，80000100800=⨯=y ， 2分
∴⎩⎨⎧≤≤<≤-=1201008000010070500001300x x x y ，
，； 3分
(2)由67000500001300≥-x 得90≥x ，∴12090≤≤x ， 4分 由直方图知需求量]12090[，∈x 的频率为7.010)015.0025.0030.0(=⨯++，
∴利润y 不少于67000元的概率的估计值为7.0； 6分 (3)由题意可知，y 可取47500、60500、73500、80000，其分布列为： 9分
y 47500 60500 73500 80000
P
1.0
2.0
3.0
4.0 ∴709004.0)(==y E 。 12分
20．（12分）如图所示，在斜平行六面体1111D C B A ABCD -中，111D A AB ⊥，411===BB AB B A ，2=AD ，
521=C A 。
(1)求证：平面⊥11A ABB 平面BC A 1； (2)求二面角B CA A --1的余弦值。
【解析】(1)由题意可知11//D A BC ，∵111D A AB ⊥，∴BC AB ⊥1， 1分
平行四边形11A ABB 中，1BB AB =，∴四边形11A ABB 为菱形， 2分 ∴B A AB 11⊥，∵B BC B A = 1，∴⊥1AB 平面BC A 1， 3分 ∵⊂1AB 平面11A ABB ，∴平面⊥11A ABB 平面BC A 1； 4分 (2)∵1AB BC ⊥，∴⊥BC 平面11A ABB ，
∵⊂BC 平面ABCD ，∴平面⊥ABCD 平面11A ABB ，
平行四边形11C CDD 中，1BB AB =，∴四边形11C CDD 为菱形，
连接BD ，交AC 于E ，取CD 中点O ，连接O D 1、OE ，可得⊥O D 1平面ABCD ， 6分 故可以以OE 、OC 、1OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系如图，
则)020(，，C 、)022(，，B 、)022(，，-A 、)3202(1，，
A ， 则)3222(1--=，，
C A ，)042(，，-=AC ，)002(，，-=BC ， 7分 设平面C AA 1的法向量为)(111z y x m ，，=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-0
420
322211111y x z y x ，令21=x ，则11=y ，331-=z ，
∴平面C AA 1的法向量为)3
3
12(-
=，，m ， 9分
设平面C BA 1的法向量为)(222z y x ，，=，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-+-020********x z y x ，令32=y ，则02=x ，12=z ， ∴平面C BA 1的法向量为)130(，
，=n ， 11分 ∴4
11)3(0)2
3(121)3
3(3102|
|||cos 2222
22=
++⋅-
++⨯-+⨯+⨯=
⋅>=， 设二面角B CA A --1的平面角为θ，经观察θ为锐角，则4
1
|cos |cos =
><=θn m ，。 12分 21．（12分）已知椭圆G ：122
22=+b
y a x (0>>b a )，椭圆短轴的端点1B 、2B 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 构
成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点)01(2，F 的椭圆的任意一条弦，点P 是椭圆上一点，且
MN OP ⊥(O 为坐标原点)。
(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求2||||OP MN ⋅的最小值。
【解析】(1)∵椭圆短轴的端点1B 、2B 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 构成边长为2的菱形，
∴2=a ， 1分
又∵椭圆的右焦点)01
(2，F ，∴1=c ，∴3222=-=c a b ， 2分 ∴椭圆G 的标准方程为1342
2=+y x ； 3分
(2)①当x MN ⊥轴时，32||2
==a
b MN ，2||==a OP ，此时12||||2=⋅OP MN ， 4分
②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，设直线MN 的方程为)1(-=x k y (0≠k )， 联立⎩⎨
⎧=+-=12
43)
1(2
2y x x k y 并化简得01248)34(2222=-+-+k x k x k ，0>∆恒成立， 5分
设)(11y x M ，、)(22y x N ，，则3482221+=+k k x x ，3
412
42221+-=⋅k k x x ，
∴3
4)
1(124)(1||2
2212
212
++=⋅-+⋅+=k k x x x x k MN ， 6分 ∵MN OP ⊥，∴直线OP 的方程为x k
y 1
-
=， 联立⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=12
43122y x x k y 可解出4312222
+=k k x P ，431222+=k y P ，∴431212||2
2
2++=k k OP ， 7分
∴)
43)(34()1(14443121234)1(12||||222
222222
+++=++⨯++=⋅k k k k k k k OP MN
)114)(311(144
22k
k +-++=
， 8分
令
t k =+2
11
，∵0≠k 且R k ∈，∴10<49)21(144
12144)4)(3(144||||222+--=
++-=-+=
⋅t t t t t OP MN ， 9分 ∴当21
=
t 时，2||||OP MN ⋅取最小值，且49
576)|||(|min 2=⋅OP MN ， 10分 ③当MN 的斜率为0时，4||=MN ，3||22==b OP ，此时12||||2=⋅OP MN ， 11分 由①②③可知，49
576
)|||(|min 2=
⋅OP MN 。 12分 22．（12分）已知函数x x x f ln 21)(2⋅=，函数)(x f 的导函数为)(x f '，22
1
)()(mx x x f x h --'=(R m ∈)。 (1)求函数)(x f 的单调区间
(2)若函数)(x h 存在单递增区间，求m 的取值范围；
(3)若函数)(x h '存在两个不同的零点1x 、2x ，且21x x <，求证：12
2
1>⋅⋅x x e 。 【解析】(1))(x f 的定义域为)0(∞+，，)2
1(ln 21ln )(+⋅=+
⋅='x x x x x x f ， 令0)(='x f 解得2
1-=e x ， 1分
当2
10-<0(21
-e
，上单调递减， 2分
当2
1->e
x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 在)
(21∞+-
，e
上单调递增， 3分
∴)(x f 的单调递减区间为)
0(21-e ，，单调递增区间为)(21
∞+-
，e ；
4分
(2)22ln 2
1
)21(ln )(mx x x mx x x x x h -⋅=--+⋅=，
定义域为)0(∞+，，mx x x h 21ln )(-+='， 5分 若函数)(x h 存在单递增区间，只需0)(>'x h 在)0(∞+，上有解， 即存在0>x 使得x x m 1ln 2+<
，令x x x 1
ln )(+=ϕ，则2ln )(x
x x -=ϕ'， 令0)(=ϕ'x 解得1=x ， 6分
当10<ϕ'x ，则)(x ϕ在)10(，上单调递增， 当1>x 时0)(<ϕ'x ，则)(x ϕ在)1(∞+，上单调递减，
则1=x 时)(x ϕ取极大值也是最大值，∴1)1()(max =ϕ=ϕx ，∴2
1
<
m ， ∴m 的取值范围为)2
1
(，-∞； 8分
(3)由(2)可知mx x x h 21ln )(-+='(0>x )，令0)(='x h 可知x
x m 21
ln +=， 设x x x g 21ln )(+=
，则22ln )(x
x
x g -='，令0)(='x g 解得1=x ， 9分 当10<ϕ'x ，则)(x g 在)10(，上单调递增， 当1>x 时0)(<ϕ'x ，则)(x g 在)1(∞+，上单调递减， ∴21
)1()(max =
=g x g ，又0)1(=e
g ，且当+∞→x 时0)(→x g ， 10分 ∴当)2
10(，∈m 时，直线m y =与)(x g 的图像有两个交点， 即)(x h '有两个不同的零点1x 、2x ，∵21x x <，∴
11
1<，12>x ， ∴11>ex ，122
>x ，∴1221>⋅⋅x x e 。 12分
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷 类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑： 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A = {x -2 < x < 4} ， B = {2, 3, 4, 5} ，则 A B = （ ） A. {2} B. {2, 3} C. {3, 4} D. {2, 3, 4} 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求 A B . 【详解】由题设有 A ⋂ B = {2, 3} ，故选：B . 2. 已知 z = 2 - i ，则 z ( A. 6 - 2i z + i ) = （ B. 4 - 2i ） C. 6 + 2i D. 4 + 2i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为 z = 2 - i ，故 z = 2 + i ，故 z (z + i ) = (2 - i )(2 + 2i ) = 6 + 2i 故选：C.
2021年北京市高考数学试题(解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合A ={x | -1 3 3 ⎛ 1 ⎫2 比如 f ( x ) = x - ⎪ ， ⎝ ⎭ ⎛ 1 ⎫2 ⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤ 但 f ( x ) = x - ⎪ 在⎢0, 3⎥ 为减函数，在⎢⎣ 3 ,1⎥ 为增函数， ⎝ 3 ⎭ ⎣ ⎦ ⎦ 故 f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) 推不出 f ( x ) 在[0,1]上单调递增， 故“函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递增”是“ f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的充分不必要条件，故选：A. 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A. 3 + 3 2 B. 4 C. 3 + D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O - ABC ，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1， 故其表面积为3⨯ 1 ⨯1⨯1+ 3 ⨯( 2 ) 2 = 3 + 3 ， 2 4 2 故选：A.
2021年全国高考数学真题试卷全集(文理共10套)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设集合M ＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |1 3≤x ≤5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |0＜x ≤1 3} B ．{x |1 3 ≤x ＜4} C ．{x |4≤x ＜5} D ．{x |0＜x ≤5} 2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．（5分）已知（1﹣i ）2z ＝3+2i ，则z ＝（ ） A ．﹣1−32 i B ．﹣1+32 i C ．−32 +i D ．−32 −i 4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（√1010 ≈1.259） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6 5．（5分）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（ ）
2022年高考数学考前冲刺预测模拟刷题卷(解析版)
冲刺2022年高考数学（新高考） 模拟试卷03 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}14U x x =∈-<A ． 283 π B ．20π C ．28π D ．32π 【答案】C 【解析】由公式(1 3V S S h = +下上 ，可知：该圆台的体积为( 221 243283 V πππ= ⨯+⨯⨯=． 故选：C 4．已知函数()()sin 2cos2101f x x x ωωω=-+<<，将()f x 的图象先向左平移π 4 个单位长度，然后再向下 平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 图象关于π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 对称，则ω为（ ） A ．14 B ．12 C ．23 D ．34 【答案】A 【解析】()π214f x x ω⎛ ⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()f x 的图象先向左平移π 4 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度， 得到函数()ππ2122π444g x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛ ⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故2π2141ππ04π444g ωωω⎛⎛⎫-= -⎫⎛⎫ +== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎭ ⎝⎭⎝， 所以411 ππ,,Z 44 k k k ωω-==+∈， 由于01ω<<，所以1 4 ω=. 故选：A 5．已知0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则11 12a b ++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．25 D ．45 【答案】D
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共8题；共40分） 1.复数2−i 1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：2−i 1−3i =(2−i)(1+3i) (1−3i)(1+3i) =5+5i 10 =1 2 +1 2 i，表示的点为(1 2 ，1 2 )，位于第一象限. 故答案为：A 【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可 2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（） A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3} 【答案】B 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】【解答】解：由题设可得C U B={1,5,6}，故A∩(C U B)={1,6}. 故答案为：B 【分析】根据交集、补集的定义求解即可. 3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2，则p=（） A. 1 B. 2 C. 2√2 D. 4 【答案】B 【考点】点到直线的距离公式，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为(p 2,0)，则其到直线x-y+1=0的距离为d=|p2+1| √2 =√2，解 得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B 【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可 4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1−cosα)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（） A. 26% B. 34% C. 42% D. 50% 【答案】C 【考点】球的体积和表面积
2021届高考冲刺金卷(新课改5月)数学试题(解析版)
2021届高考冲刺金卷（新课改5月）数学试题 一、单选题 1．若1zi i =-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i - D ．1i -+ 【答案】C 【分析】先由复数的乘法化简复数z ，再根据共轭复数的概念可得选项. 【详解】因为2zi i i i ⋅=-，1z i -=--，所以1z i =+，所以1z i =-． 故选：C ． 2．已知集合02x A x x ⎧ ⎫=≤⎨⎬-⎩⎭ ，{}0 2.5B x N x =∈≤<，则A B =（ ） A ．{}02x x ≤≤ B ．{} 02x x ≤< C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 【答案】C 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}0022x A x x x x ⎧ ⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭ ，{}{}0 2.50,1,2B x N x =∈≤<=， 所以{} {}{}020,1,20,1A B x x ⋂=≤<⋂=. 故选:C ． 3．火车站流动旅客较多，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某火车站安排6名防疫工作人员每天分别在A ，B ，C 三个进出口对旅客进行防护宣传与检查工作，每名工作人员只去1个进出口，A 进出口安排1名，B 进出口安排2名，剩下的人员到C 进出口，则不同的安排方法共有（ ） A ．48种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【答案】B 【分析】应用分步计数，首先从6人选1人去A ，再从5人选2人去B ，最后安排C ，由乘法公式求不同的安排方法数. 【详解】1、从6名工作人员中选1名去A 进出口，方法数有1 6C ； 2、从其余5名工作人员中选2名去B 进出口，方法数有2 5C ； 3、剩下的3名工作人员去C 进出口，方法数有33C ．
(Word版)2021年浙江省新高考数学试卷真题(含答案和详细解析)
2021年浙江省高考数学试题卷 一、选择题 1. 设集合A = {x|x≥1}，B = {x| - 1 < x < 2}，则A∩B（） A. {x|x >- 1} B. {x|x≥1} C. {x| - 1 < x < 1} D. {x|≤x < 2} 2. 已知a∈R，（1 + ai）i = 3 + i，（i为虚数单位），则a = （） A. - 1 B. 1 C. - 3 D. 3 3. 已知非零向量（，则（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. 3 2B. 3C. 3√2 2D. 3√2 5. 若实数xy满足约束条件，则z = x- 1 2 y，的最小值是 （） A. - 2 B. - 3 2C. - 1 2D. 1 10 6. 如图已知正方体ABCD- ABCD，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（） A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD B. 直线. A1D与直线. D1B平行，直线MN⊥平面BD. D1B 1. C. 直线. A 1D与直线. D1B相交，直线MN//平面ABCD D. 直线. A1D与直线. D 1B异面，直线MN⊥平面BDD1B 1.
7. 已知函数f （x ） = x 2 + 1 4 ，g （x ） = sinx ，则图象为如图的函数可能是（ ） A . y = f （x ） + g （x ） - 1 4 B . y = f （x ） - g （x ） - 1 4 C . y = f （x ）g （x ） D . y = g （x ） f （x ） 8. 已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α 三个值中，大于 1 2 的个数的最大值是（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 9. 已知a ，b ∈R ，ab > 0，函数f （x ） = ax 2 + b （x ∈R ）. 若f （s - t ），f （s ），f （s + t ）成等比数列，则平面上点（s ，t ）的轨迹是（ ） A 直线和圆 B . 直线和椭圆 C . 直线和双曲线 D . 直线和抛物 线 10. 已知数列﹛a n ﹜、满足a 1=1，a n1 = a n 1+√a n （n ∈N *）. 记数列﹛a n ﹜的前n 项和为S n ，则（ ） A . 1 2 < S 100 < 3 B . 3 < S 100 < 4 C . 4 < S 100 < 9 2 D . 9 2 < S 100 < 5 二、填空题 11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明. 弦图是由四个全等的直 角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）. 若直角三角 形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2， 则 s 2 s 1 = （ ）
2024年高考数学摸底考试卷(新高考通用)解析版
2024年高考数学摸底考试卷 高三数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. A B=（ 的交集即可得解. {} A B= 0,1 故选：B ．已知复数z满足 【答案】C
【详解】312i z i -=+本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够通过复数除法运算求得复数．已知向量a ，b 满足22a b ==，()()·28a b a b -+=，则a 与b 的夹角为（B ．3π C ．6π D ．56 π ()()22228a b a b a a b b --==-⋅+⋅求得1a b ⋅=-，再根据向量夹角公式即可求解【详解】因为()()22 228a b a b a a b b --==-⋅+⋅.又22a b ==，所以1a b ⋅=-. 1,2a b a b a b ⋅==-⋅， ,πa b ≤，所以a 与b 的夹角为 2π3. 已知随机变量()2,X B p ，随机变量()22,Y N σB ．0.2 C ．0.3)10.36=求出，进而(P Y <()2,B p ，()22,Y N σ)212)0.36p p -+-=0.8=-（舍）， 0.8=，则4)10.8P ≥=-)()110.2= -
数列的综合问题(结构不良型)(新高考)原卷版【挑战满分22年高考数学解答题专项训练(新高考地区专用)
专题3.4 数列的综合问题（结构不良型） 1．等差（比）数列问题解决的基本方法： 基本量代换和灵活运用性质. 2．“结构不良问题” 此类试题是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 3．数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧ ⎫ ⎨⎬⎩⎭ 型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消 法求和． 4．常见的裂项公式： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫ =- ⎪++⎝⎭ ； （2） ()()1 111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭ ； （3）()()()()()1111 122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦ ； （4(1 n n k k n n k = -+++； （5）()() 11 211 21212121n n n n n ++=-----． 【预测题1】在① 591 3 S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =．
（1）______，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列2n a n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【预测题2】已知数列{}n a 的各项均为互不相等的正数，且11a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立． ①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S +是等比数列；③534a a = 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【预测题3】给出以下条件：①234,,1a a a +成等比数列；②1231,,S S S +成等比数列；③ ()1 4 n n n a a S n *+= ∈N ．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，______________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n b a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{}n b 的前n 项的和n T ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【预测题4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①n S ＝2n a －3，②n S ＝323n ⨯－这两个条件中任选一个，并作答． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设n b ＝22log 3 n a ，求数列{n n a b }的前n 项和n T ． 【预测题5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①() 1 *122n n S n N -⎛⎫ +=∈ ⎪ ⎝⎭ ②11a =， () *122n n S a n N ++=∈，③ () *123 1111 21n n n N a a a a ++++ =-∈这三个条件中任选一个，解答下列问题： （1）求{}n a 的通项公式： （2）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T 【预测题6】设数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1＝1，________．给出下列三个条件： 条件①：数列{an }为等比数列，数列{Sn ＋a 1}也为等比数列；条件②：点（Sn ，an ＋1）在直线y ＝x ＋1上；条件③：2na 1＋2n －1a 2＋…＋2an ＝nan ＋1．
第05练 概率-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(解析版)
第05练概率 1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（） A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个 【答案】D 【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的； 对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥； 对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥； 对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D 2．（2018·江西省高一期末）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为（） A．0.6B．0.3C．0.1D．0.5 【答案】D 【解析】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9， 则甲、乙下成平局的概率为：0.90.40.5 -=.故选：D． 3．（2020·苏州大学附属中学高二月考）甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（） A．0.8B．0.65C．0.15D．0.5 【答案】B 【解析】根据题意，敌机没被击中的概率为0.70.50.35 ⨯=， 所以敌机被击中的概率为10.350.65 -=.故选：B 4．（2020·江苏省高一期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（） A． 1 10 B． 1 9 C． 1 5 D． 1 2 【答案】D
考点05 数列 -2021届高三《新题速递·数学(理)》1月刊(适用于高考复习)解析版
考点05 数列 一、单选题 1．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若 ()()153693218a a a a a ++++=，则8S =（ ） A ．24 B ．12 C ．16 D ．36 【答案】B 【分析】因为1533962,2a a a a a a +=+=，且()()153693218a a a a a ++++=，则366618a a +=， 有363a a +=，则() ()1883684122 a a S a a += =+=. 故故:B. 2．（2020·海口市·海南中学高三月考）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设 21 log 3 n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为（ ） A ．16 B ．80 C ．120 D ．150 【答案】C 【分析】因为134+30,90,a a S == 若1q =，则 14115,46090a S a ===≠，不成立， 所以1q ≠，则()412111+30, 901a q a a q q -==-， 解得16,2a q ==，
所以1 132n n n a a q -==⋅， 所以2 1 log 3 n n b a n ==， 所以数列{}n b 的前15项和为()() 11515151511512022 b b S ++= ==， 故选：C. 3．（2020·全国高三专题练习（理））已知正项等比数列{}n a 满足11 2 a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ． 312 或112 B ． 31 2 C ．15 D ．6 【答案】B 【分析】正项等比数列{}n a 中， 2432a a a =+∴， 2332a a =+∴， 解得32a =或31a =-（舍去） 又11 2 a = ， 23 1 4a q a = =， 解得2q ，
2021年4月浙江新高考学考考科目考试数学试题 (解析版)
2021年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 第Ⅰ卷（共54分） 一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4U = ，若{}1,3A =，则U A =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}2,3 D ．{}2,4 2.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 3.计算lg 4lg 25+=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．10 4.函数3x y =的值域为（ ） A ．(0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(0,1] D ．(0,3] 5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =60A =︒ ， 45B =︒，则b 的长为（ ） A ． 2 B ．1 C D ．2 6.若实数10, 20, x y x y -+>⎧⎨ -<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7.在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l α B ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβ C ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥ D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥ 8.已知θ锐角，且3 sin 5 θ= ，则sin(45)θ+︒=（ ）
A ． 72 10 B ．72 10 - C ． 210 D ．210 - 9.直线y x =被圆2 2 (1)1x y -+=所截得的弦长为（ ） A ． 22 B ．1 C ．2 D ．2 10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S a +=+，*n N ∈，则3a =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 11.如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，4AB AD ==， 6BC =，43BD =，该三棱锥三视图的正视图为（ ） 12.在第11题的三棱锥A BCD -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 13.设实数a ，b 满足||||a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条 件 14.过双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点A 作倾斜角为45︒的直线l ，l 交y 轴 于点B ，交双曲线的一条渐进线于点C ，若AB BC =，则该双曲线的离心率为（ ）
专题05 解析几何-2021年高考数学(理)试题分项版解析(解析版)
1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与 C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于 D 、 E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】 A 【考点】抛物线的简单性质 【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则2 2||cos p AB α = ，则2 222||sin cos () 2 p p DE π α α= = -，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222 222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα =++=++≥⋅+=学科@网 2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所 截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．2 B 3 C 2 D 23 【答案】A
【解析】 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a = ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)。 3.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 B ． 5 C ． 23 D ． 59 【答案】B 【解析】 试题分析：945 33 e -= =，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
2021年全国统一高考数学试卷(新高考全国Ⅱ卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B ＝（） A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3} 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（）A．1B．2C．2D．4 4．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（） A．26%B．34%C．42%D．50% 5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D． 6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等 7．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）
备战2021年高考理数 6年高考真题分项版精解精析专题05 三角函数(解析版)
【2022高考真题】 1. 【2022高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230 ()0,f x dx π=⎰ 则函数()f x 的图象的一条对 称轴是( ) A.56x π= B.712 x π= C.3x π= D.6x π= 2. 【2022高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为 3 π 的交点，则ϕ的值是 . 3. 【2022高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 . 4. 【2022辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3 y x π =+的图象向右平移 2 π 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[ , ]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ 上单调递增 C ．在区间[,]63ππ - 上单调递减 D ．在区间[,]63 ππ -上单调递增 5. 【2022全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且 ()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________． 6. 【2022全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，2 ，则AC=( )
A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】B 7. 【2022全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 8. 【2022山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6 A π = 时，ABC ∆的面积为________. 9. 【2022四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上全部的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 1 0. 【2022高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知 b B c C b 2cos cos =+，则 =b a . 11. 【2022全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ） 【答案】C
高考数学模考适应模拟卷05(新高考专用)(解析版)
保密★启用前 2023新高考名师一模模拟卷（5） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题(共40分) 1．已知集合,A B 为全集U 的子集，若U U A B ⊆ ，则( )U A B =（ ） A ．A B ．B C ．U D ．∅ 【答案】C 【分析】由 U U A B ⊆ 可得出B A ⊆，从而求出结果. 【详解】解：因为U U A B ⊆ ，所以有B A ⊆，则( )U A B =U . 故选：C. 2．若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则(1i)z -+的最大值为（ ） A 1 B C 1 D ．【答案】C 【分析】2i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值. 【详解】1z ≤表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离小于等于1， ()1i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度， 故的(1i)z -+ 11=， 故选：C. 3．已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ） A ． B C ．4π D ． 43 π 【答案】D 【分析】设半径为R ，根据已知条件列等式求出R 的值，利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】设球的半径为R ，圆锥的体积为2 12343 ππ⨯⨯=， 由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则244R ππ=，1R ∴=， 因此，该球的体积为3 44133 V ππ=⨯=. 故选：D. 4．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框 架上解下或者全部套上.将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()* 9,n a n n N ∈，已知121,1a a ==，按规则有 () *12213,n n n a a a n n N --=++∈，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ） A ．4 B ．7 C ．16 D ．31 【答案】B 【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案. 【详解】由题意，11a =，21a =，()* 12213,N n n n a a a n n --=++≥∈， 解下第4个圆环，则4n =，即43221a a a =++， 而321211214a a a =++=++=，则44217a =++=， 故选：B. 5．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C 的一部分，若C 的中心在原点， 焦点在x 轴上，离心率2e =，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．2 213 y x -= B ．22 126 x y -= C ．22 139x y -= D ． 2 2 1 412 x y -=
