东北三校(哈尔滨师大附中2024年高三高考猜题卷(一)数学试题

东北三校（哈尔滨师大附中2024年高三高考猜题卷（一）数学试题

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．斜率为1的直线l 与椭圆2

2x y 14

+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )

A ．2

B ．

45

5

C ．

410

5

D ．

810

5

2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“

”表示一个阳爻，“

”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）

A ．

3

56

B ．

328

C ．

314

D ．

14

3．i 是虚数单位，21i

z i

=

-则||z =（ ） A ．1

B ．2

C 2

D ．224．已知椭圆22

:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )

A ．3320x y --=

B ．3320x y -+=

C ．3340x y +-=

D ．3340x y ++=

5．函数()256f x x x =

-+ ）

A ．{

2x x ≤或}3x ≥ B ．{

3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤

D ．{}

32x x -≤≤-

6．若双曲线22214x y b -=的离心率7

2

e =

，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23

B ．2

C ．3

D ．1

7．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件解:

8．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min

2

x x π

-=

，

则下列判断正确的是（ ）

A ．16f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上递增

C ．函数()f x 的一条对称轴是76

x π=

D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

9．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-

B ．()21,-

C ．()1,2

D ．()2,1

11．函数()x

f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．若4

24log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）

A ．a b c >>

B ．c a b >>

C ．b a c >>

D ．c b a >>

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为________. 14．已知点是直线上的动点，点是抛物线

上的动点.设点为线段

的中点，为原点，则

的最

小值为________.

15．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：

由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.

16．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r >0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B ﹣a sin A ＝1

2

a sin C ． （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +

3

π

）的值． 18．（12分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左，右焦点，点2

(2P -在椭圆E 上，且抛物线

24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．

（1）求a ,b 的值：

（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=时，求

△1F CD 的面积． 19．（12分）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)22

234

S a c b =

+-.

(1)求B ； (2)若3b =

，求

(

)

312a c -+的最大值.

20．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为

24sin a

A

. （1）求sin sin B C ；

（2）若10cos cos 1B C =-，2a =

，求ABC ∆的周长.

21．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N

分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .

（1）求线段AG 的长；

（2）求二面角B MG N --的余弦值.

22．（10分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

x

y

w

()

10

2

1

i

i x x =-∑

()

10

2

1

i

i w w =-∑

()()10

1

i

i

i x x y y =--∑

()()10

1

i

i

i w w y y =--∑

1.47

20.6 0.78 2.35 0.81 19.3- 16.2

表中21i i w x =，10

1

110i i w w ==∑.

（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d

y c x

=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量t 与旋转的弧度数x 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,

,,n n u v u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ

=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为()()

()

1

2

1

ˆn

i

i i n

i

i u

u v v u

u β

==--=-∑∑，ˆv u α

β=- 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解题分析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB |的表达式，利用t 的范围求得|AB |的最大值． 【题目详解】

解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入2

4

x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0，

由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．

弦长|AB |＝

≤

．

故选：C ． 【题目点拨】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口． 2、C 【解题分析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是2

33C =；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是1

33C =，于是所求的概率

2

8333

14

P C +=

=． 故选：C 【题目点拨】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 3、C 【解题分析】

由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】

由2

2(1)

1,||1i i z i z i

+=

=-+=-. 故选:C. 【题目点拨】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

4、C 【解题分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，则22

1113

x y +=，

222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【题目详解】

设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则22

1113

x y +=，

222213x y +=， 相减得到：

()()()()1212121203

x x x x y y y y -++

+-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

即

22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43

y x =-+. 故选：C . 【题目点拨】

本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5、A 【解题分析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【题目详解】

由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{

2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【题目点拨】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 6、C 【解题分析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】

双曲线22214x y b -=的离心率e =

则2a =，c e a =

=

，解得c =()

，

所以

b ==

=

则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d =

=，

故选：C. 【题目点拨】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 7、C 【解题分析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项. 【题目详解】

222222

||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===， ||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，

故选：C. 【题目点拨】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题. 8、D 【解题分析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【题目详解】

()

3cos

3f x x x x πωωω⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭，

又

sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即3x πω⎛

⎫-≤+≤ ⎪⎝

⎭

∴有且仅有12-=-满足条件；

又12

min

2

x x π

-=

，则

22

T T π

π=⇒=， 2

2T πω∴=

=，∴函数()23f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，

对于A ，2363f ππ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，故A 错误； 对于B ，由()2222

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-+≤+

≤

+∈，

解得()51212

k x k k Z ππ

ππ-

+≤≤+∈，故B 错误；

对于C ，当76x π=

时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故C 错误；

对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故D 正确. 故选：D 【题目点拨】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题. 9、A 【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【题目详解】

当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m ”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m ”充分不必要条件， 故选：A . 【题目点拨】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 10、C 【解题分析】

利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【题目详解】

由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．

z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．

故选：C ． 【题目点拨】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 11、B 【解题分析】

根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：0a <，

所以当0x <时，()0f x >， 又()'

x f x e a =+，

令()'

0f x >，则()ln x a >- 令()'

0f

x <，则()ln x a <-

所以函数()f x 在()()

,ln a -∞-单调递减 在()()

ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【题目点拨】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题. 12、A 【解题分析】

将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【题目详解】

依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.

又因为40

440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.38 0.9

【解题分析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.

【题目详解】

第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：

()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.

甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：

10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.

故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，

故()()334310.310000p ξ==-=；()()2134410.310.310010p C ξ=⋅-==； ()()2231890.310.321000p C ξ=⋅-==；()3270.033100

p ξ===. 故()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.38 ；0.9.

【题目点拨】

本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14、

【解题分析】

过点作直线平行于

，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案. 【题目详解】

如图所示：过点作直线平行于

，则在两条平行线的中间直线上， ，则，，故抛物线的与直线平行的切线为

.

点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.

故答案为：.

【题目点拨】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.

15、72

【解题分析】

根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.

【题目详解】

由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，

游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，

所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多

73

36072

20

-

⨯=天.

故答案为：72.

【题目点拨】

本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

16、[221]

【解题分析】

设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.

【题目详解】

设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），

则

()

()()

2

22

00

22

00

1

211 x y r

y x

⎧+-=

⎪

⎨

-+-=

⎪⎩

，

故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－

≤r＋1

，解得11

r

≤≤.

故答案为：1]

【题目点拨】

此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）

【解题分析】

（Ⅰ）根据条件由正弦定理得22

1

2

b a ac

-=，又c＝2a，所以22

2

b a

=，由余弦定理算出cos B，进而算出sin B；（Ⅱ）由二倍角公式算出sin2cos2

，

B B，代入两角和的正弦公式计算即可.

【题目详解】

（Ⅰ）b sin B﹣a sin A＝

1

2

a sin C，所以由正弦定理得22

1

2

b a ac

-=，

又c＝2a，所以22

2

b a

=，由余弦定理得：

2223

cos

24

b

a c

B

ac

+-

=

=，又()

0,

Bπ

∈

，所以sin B=；

（Ⅱ）2

1

sin22sin cos cos22cos1

8

B B B B B

===-=，

sin2sin2cos cos2sin

333

B B B

πππ

⎛⎫

∴+=+=

⎪

⎝⎭

.

【题目点拨】

本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.

18、（1

）1

a b

==；（2

）

7

.

【解题分析】

（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；

（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．

【题目详解】

（1）2

4y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），

122P F +P F a ＝＝

，解得a =c ＝1，b ＝1，

（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y

联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

11 F A F B ⋅＝1

122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y ＝2

2

121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅，所以222-2t t +1

＝1，解得21t 3＝ 联立22112

x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩

＝＝

1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝ 【题目点拨】 本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．

19、 (1)3

π；

(2)

【解题分析】

(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =

，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3B π

=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，

即可得到

))

21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭

，再利用三角恒等变换，化简为

)

124a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值． 【题目详解】

(1)∵1sin 2S ac B =，222

cos 2a c b B ac

+-=即2222cos a c b ac B =+-，

∴)2224S a c b =+-

变形得：1sin 2cos 24

ac B ac B =⨯，

整理得：tan B =

又0B π<<，∴3B π

=；

(2)∵A B C π++=，∴203

A π<<，

由正弦定理知sin 2sin sin sin 3

b A A a A B π===，sin 22sin sin 3b C

c A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，

∴

))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭

)

221sin 4sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

A A =+

4A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝

⎭4A π=时取最大值．

故)

12a c +

的最大值为【题目点拨】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题

20、（1）12

（2【解题分析】

（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得cos A ，即可求出sin A ，再根据正弦定理可得bc ，根据余弦定理即可求出b c +，问题得以解决．

【题目详解】

（1）由三角形的面积公式可得21sin 24sin ABC

a S ac B A

∆==， 2sin sin c B A a ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin sin C B A A =，

sin 0A ≠，

1sin sin 2

B C ∴=； （2）10cos cos 1B C =-，

1cos cos 10

B C ∴=-， 3cos()cos cos sin sin 5

B C B C B C ∴+=-=-， 3cos 5

A ∴=，4sin 5A =， 则由2

1sin 24sin a bc A A

=，可得：2516bc =，由2222cos b c a bc A +-=， 可得：22318

b c +=， 23125()7

88

b c ∴+=+=，可得：b c + ∴

三角形的周长a b c ++=．

（实际上可解得b =c =． 【题目点拨】

本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．

21、（1）1AG =（2 【解题分析】

（1）先证得1AB GN ⊥，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中解直角三角形求得1,BE A E ，由此求得AG 的值. （2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG 和平面NMG 的法向量，计算出二面角B MG N --的余弦值.

【题目详解】

（1）由题意，11 A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭

平面平面， 设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中，可求得455BE =，则1655

A E =， 可求得13A G =，则1AG =

（2）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴，

建立空间直角坐标系.

(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N (2,2,0)BM =-，(1,0,2)BG =-，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =.

(0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-.

设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以

1212||35cos 5||||35

n n n n θ⋅===⋅⋅. 即二面角B MG N --的余弦值为

55.

【题目点拨】

本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

22、（1）选取2d y c x =+

更合适；（2）2205y x =+；（3）2x =时，煤气用量最小. 【解题分析】

（1）根据散点图的特点，可得2d y c x

=+更适合；

（2）先建立y 关于w 的回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；

（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.

【题目详解】

（1）选取2d y c x

=+

更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型； （2）y c dw =+ 由公式可得：()()()

10

1102116.2ˆ200.81

i i

i i i w w y y d w w ==--===-∑∑， ˆˆ20.6200.785c

y dw =-=-⨯=， 所以所求回归直线方程为：2

205y x =+

； （3）根据题意，设,0t kx k =>，

则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫===+≥+

= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k kx x

=时，等号成立， 即2x =时，煤气用量最小.

【题目点拨】

此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.