经典竞赛几何题
试卷第1页，总13页 绝密★启用前 2018年05月17日张朋松的初中数学组卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一．解答题（共50小题） 1．已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的一个动点（点D 不与B ，C 重合）△ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交射线AC 于点E ，连接BF ． （1）如图1，求证：△AFB ≌△ADC ； （2）请判断图1中四边形BCEF 的形状，并说明理由； （3）若D 点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由． 2．在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE ．
试卷第2页，总13页
3．在△ABC 中，∠B=60°，∠A ，∠C 的角平分线AE ，CF 相交于点O ，
（1）如图1，若AB=BC ，求证：OE=OF ；
（2）如图2，若AB ≠BC ，试判断线段OE 与OF 是否相等，并说明理由．
4．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，在△ABC 外取一点E ，使得∠EAB=∠ACB ，AE=DC ，并且线段ED 与线段AB 相交，交点记为K ，问线段EK 与DK 有怎样的大小关系？并说明理由．
5．已知如图，AC=BC ，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，过B 作BE 垂直AD 于E ，求证：BE=AD ．
6．如图，已知AB=AC ，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD +CD ．
试卷第3页，总13页 7．如图△ABC ，D 是△ABC 内的一点，延长BA 至点E ，延长DC 至点F ，使得AE=CF ，G ，H ，M 分别为BD ，AC ，EF 的中点，如果G ，H ，M 三点共线，求证：AB=CD ． 8．如图，在正方形ABCD 中，取AD ，CD 的边的中点E ，F ，连接CE ，BF 交于点G ，连接AG ，试判断AG 与AB 是否相等，并说明理由． 9．如图，设点M 是等腰Rt △ABC 的直角边AC 的中点，AD ⊥BM 于E ，AD 交BC 于D ．求证：∠AMB=∠CMD （请用两种不同的方法证明） 10．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 及AB 的中点，射线FE 与AD 及BC 的延长线分别交于点H 及G ．试猜想∠AHF 与∠BGF 的关系，并给出证明． 提示：若猜想不出∠AHF 与∠BGF 的关系，可考虑使四边形ABCD 为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC ，以F 为中心，将△ABC 旋转180°，得到△ABP ．
试卷第4页，总13页
11．如图，D 为△ABC 中线AM 的中点，过M 作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为P 、Q ，过P 、Q 分别作DP 、DQ 的垂线交于点N ．
（1）求证：PN=QN ；
（2）求证：MN ⊥BC ．
12．在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线相交于P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ． 求证：①△DEM ≌△DFN ；
②∠PAE=∠PBF ．
13．如图：已知AB ∥DC ，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于点E ，过点E 的直线分别交AB 、DC 于B 、C 两点．猜想线段AD 、AB 、DC 之间的数量关系，并证明．
试卷第5页，总13页 14．如图，已知△ABC 中，AB=BC=CA ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，G 是BC 上一点，△DGH 是等边三角形．求证：EG=FH ． 15．已知如图，CD 是RT △ABC 斜边上的高，∠A 的平分线交CD 于H ，交∠BCD 的平分线于G ， 求证：HF ∥BC ． 16．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点E 是CD 的中点，过点E 作CD 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF=AD ，MF=MA ． （1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB ； （2）试猜想∠MPB 与∠FCM 数量关系并证明． 17．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ． 求证：∠BAD=∠C ．
试卷第6页，总13页
18．已知A ，C ，B 在同一条直线上，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，BE 交CF 于N ，AF 交CE 于M ，MG ⊥CN ，垂足为G ．求证：CG=NG ．
19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 为BC 边上的高，延长AB 到E 点，使BE=BD ，过点D 、E 引直线交AC 于点F ，请判定AF 与FC 的数量关系，并证明之．
20．如图，△ABC 是边长为l 的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，形成一个三角形，
求证：△AMN 的周长等于2．
21．已知如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且AE=（AB +AD ），求证：∠B 与∠D 互补．
试卷第7页，总13页 22．如图，已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，CE ⊥BD 于E ．求证：BD=2CE ． 23．AD 是△ABC 的角平分线，M 是BC 的中点，FM ∥AD 交AB 的延长线于F ，交AC 于E ． （1）求证：CE=BF ； （2）探索线段CE 与AB +AC 之间的数量关系，并证明． 24．如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AE ，AC=AF ，∠BAE=∠FAC=90°．判断线段AD 与EF 数量和位置关系． 25．如图，四边形ABCD 中，BC=DC ，对角线AC 平分∠BAD ，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC 的长． 26．如图，已知线段AB 的同侧有两点C 、D 满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°
试卷第8页，总13页 ﹣∠DBC ．求证：AC=AD ．
27．如图，正方形ABDE 和ACFG 是以△ABC 的AB 、AC 为边的正方形，P 、Q 为它们的中心，M 是BC 的中点，试判断MP 、MQ 在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论．
28．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，BP ⊥AD ，垂足为P ．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB ．
29．如图，在△ABC 中，∠B=90°，M 为AB 上一点，使得AM=BC ，N 为BC 上一点，使得CN=BM ，连接AN ，CM 相交于点P ，试求∠APM 的度数．
30．已知如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 是△ABC 的角平分线，并且它们交于点O ，
（1）求：∠AOC 的度数；
试卷第9页，总13页 （2）求证：AC=AE +CD ． 31．如图，已知△ABC 中AB ＞AC ，P 是角平分线AD 上任一点，求证：AB ﹣AC ＞PB ﹣PC ． 32．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE=∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ． 33．如图已知△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC ，求证：AB=BD +DC ． 34．如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA=BC ，EB=AC ，FC=AB ，∠AFB=51°，求∠DFE 度数．
试卷第10页，总13页
35．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 、N 分别是边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM 上，且BD=2BM ．点E 在射线NA 上，且NE=2NA ，求证：BD ⊥DE ．
36．如图，△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线；
（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA +AD ；
（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD +AD ．
37．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD ．
求证：BD=CD ．
38．如图所示，在△ABF 中，已知BC=CE=EF ，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求
的值．
39．如图，已知过△ABC 的顶点A ，在∠BAC 内部任意作一条射线，过B 、C 分别作此射线的垂线段BD 、CE ，M 为BC 边中点．求证：MD=ME ．
试卷第11页，总13页 40．已知，如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线的交点，AF 平分∠BAC ，DH ⊥AF 于点H ，交AC 于点G ，DH 延长线交AB 于点E 求证：． 41．已知：在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB=∠CDF ． 42．如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD ，求证：CD=2EC ． 43．如图，在△ABC 中，BD=CD ，AG 平分∠DAC ，BF ⊥AG ，垂足为H ，与AD 交于E ，与AC 交于F ，过点C 的直线CM 交AD 的延长线于M ，且∠EBD=∠MCD ，AC=AM ． 求证：DE=CF ．
试卷第12页，总13页
44．如图，BE 、CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，点P 在BE 上，Q 在CF 的延长线上且BP=AC ，CQ=AB ，
（1）求证：△ABP ≌△QCA ．
（2）AP 和AQ 的位置关系如何，请给予证明．
45．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠BAC 交CD 于E ，交BC 于F ，EG ∥AB 交BC 于G ，说明BG=CF 的理由．
46．在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点，M 是CD 的中点，若∠AMD=∠BMD ，求证：∠CDA=2∠ACD ．
47．如图，已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，直线EF 分别与BC 、AD 的延长线相交于G 、H ．求证：∠AHF=∠BGF ．
试卷第13页，总13页 48．如图，在等腰直角△ABC 中，AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于点F ，过F 作FG ⊥CD 交BE 延长线于G ，求证：BG=AF +FG ． 49．已知△ABC ，∠C=90°，AC=BC ．M 为AC 中点，延长BM 到D ，使MD=BM ；N 为BC 中点，延长NA 到E ，使AE=NA ，连接ED ，求证：ED ⊥BD ． 50．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA ．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
1
2018年05月17日张朋松的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的一个动点（点D 不与B ，C 重合）△ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交射线AC 于点E ，连接BF ．
（1）如图1，求证：△AFB ≌△ADC ；
（2）请判断图1中四边形BCEF 的形状，并说明理由；
（3）若D 点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB ≌△ADC ；
（2）四边形BCEF 是平行四边形，因为△AFB ≌△ADC ，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC ，则可得到FB ∥AC ，又BC ∥EF ，所以四边形BCEF 是平行四边形；
（3）易证AF=AD ，AB=AC ，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC ，即可证明△AFB ≌△ADC ；根据△AFB ≌△ADC 可得∠ABF=∠ADC ，进而求得∠AFB=∠EAF ，求得BF ∥AE ，又BC ∥EF ，从而证得四边形BCEF 是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵△ABC 和△ADF 都是等边三角形，
∴AF=AD ，AB=AC ，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD ﹣∠BAD ，∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD ，
∴∠FAB=∠DAC ，
在△AFB 和△ADC 中，
，
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2
∴△AFB ≌△ADC （SAS ）；
（2）由①得△AFB ≌△ADC ，
∴∠ABF=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABF=∠BAC ，
∴FB ∥AC ，
又∵BC ∥EF ，
∴四边形BCEF 是平行四边形；
（3）成立，理由如下：
∵△ABC 和△ADF 都是等边三角形，
∴AF=AD ，AB=AC ，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠BAC ﹣∠FAE ，∠DAC=∠FAD ﹣∠FAE ，
∴∠FAB=∠DAC ，
在△AFB 和△ADC 中，
，
∴△AFB ≌△ADC （SAS ）；
∴∠AFB=∠ADC ．
又∵∠ADC +∠DAC=60°，∠EAF +∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF ，
∴∠AFB=∠EAF ，
∴BF ∥AE ，
又∵BC ∥EF ，
∴四边形BCEF 是平行四边形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．
2．在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE ．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【分析】EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE 分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证∠FHB=∠CDE．
【解答】证明：∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；
同理可证∠CDE=∠B，
∴∠DEF=∠B．
又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，
∴HF=BF，
∴∠B=∠BHF，
∴∠HFE=∠B=∠DEF．
即∠HFE=∠DEF．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半．
3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；
（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．
【分析】（1）可证明△ACF≌△CAE，再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA，从而得出OE=OF；
（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上，从
3
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能证明Rt△OFN≌Rt △OEM，则OE=OF成立．
【解答】证明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，
∴∠A=∠C=60°，
∵AECF分别平分∠A，∠C，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），
∴AE=CF，
∴OE=OF；
（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．
∵点O在∠A，∠C的平分线上，
∴ON=OH，OH=OM，从而OM=ON，
∴点O在∠B的平分线上（1分）
∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM （2分）
又∠OEM=∠B +∠A=60°+∠A
∠OFN=∠A +∠C=（∠A+∠C）+∠A=（180°﹣60°）+∠A=60°+∠A．∴∠OEM=∠OFN．（2分）
∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）
∴OE=OF．（1分）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一题多解以及方法的简单性．
4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK
4
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
与DK有怎样的大小关系？并说明理由．
【分析】首先作出EI⊥AB，DH⊥AB，证明△EAI≌△DCF再得出DH=DF进而得出△EKI≌△DKH即可证出．
【解答】解：结论：EK=DK．（2分）
理由：过点E作EI⊥AB，过点D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，
在△EAI和△DCF中
∵，
∴△EAI≌△DCF（AAS），（2分）
∴EI=DF，（2分）
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=DF，（2分）
∴DH=EI，
在△EKI和△DKH中，
∵，
∴△EKI≌△DKH（AAS），（2分）
∴EK=DK．（2分）
【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法，根据题意作出EI⊥AB，DH ⊥AB，从而利于全等证明是解决问题的关键．
5．已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂
5
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
6
直AD 于E ，求证：BE=AD ．
【分析】延长AC 、BE 交于点M ，易证得△ACD ≌△BCM ，可得AD=BM ①，可证得△AEM ≌△AEB ，可得EM=BE ，即BM=2BE ②，由①②即可得结论．
【解答】解：如图，延长AC 、BE 交于点M ，
∵∠A 的平分线AD ，BE 垂直AD 于E ，
∴∠MAE=∠BAE ，∠AEM=∠AEB=90°，
∵AE=AE ，
∴△AEM ≌△AEB （ASA ），
∴EM=BE ，即BM=2BE ①；
∵∠A 的平分线AD ，AC=BC ，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，
∵BE 垂直AD 于E ，
∴∠DAB +∠ABC +∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，
∴∠CAD=∠DBE ，
又∵AC=BC ，且∠ACB=∠BCM=90°，
∴△ACD ≌△BCM （ASA ），
∴AD=BM ②；
由①②得AD=2BE ，
即
BE=AD ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
6．如图，已知AB=AC ，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD +CD ．
解析几何竞赛题求解的几种常见策略
解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100） 解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数(变量)的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2 6y x =上的两个动点11(,)A x y 和 22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ ABC 面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把?ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222 1212120 63 66 --= ===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0 0(2)3 -=- -y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：00 3(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22 00 22120-+-=y y y y （1）， 由题意， 12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所 以 22 00044(212)0?=-->?-< 经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形 3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO 第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2 《解析几何》专题训练 一、选择题 1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程 1(,22x y x y a b a b +-+ =为相异正数),所表示的曲线 是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a , (,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形. 2、若椭圆22 13620 x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为 A, B,(- C,(3, D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又 20 2 93 PF e x == -,得03x =, 代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22 221x y a b -= 的离心率 e 2?∈??? ，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ?????? B ．,62ππ?????? C ．,32ππ?????? D ．2,33ππ?? ???? 4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5= AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条 共切线。正确答案为C 。 5、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别 以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 初中几何经典题 参考答案与试题解析 一、解答题（共20小题，满分0分） 1．已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD=GF．（初二） 考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出△GHF∽△OGE，再利用GH∥CD，得出==，即可求出答案． 解答：证明：作GH⊥AB，连接EO． ∵EF⊥AB，EG⊥CO， ∴∠EFO=∠EGO=90°， ∴G、O、F、E四点共圆， 所以∠GFH=∠OEG， 又∵∠GHF=∠EGO， ∴△GHF∽△OGE， ∵CD⊥AB，GH⊥AB， ∵GH∥CD， ∴==， 又∵CO=EO， ∴CD=GF． 点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键． 2．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定． 专题：证明题． 分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可． 解答：证明： ∵正方形ABCD， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵∠PAD=∠PDA=15°， ∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°， 在正方形内做△DGC与△ADP全等， ∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°， ∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形）， ∴DP=DG=PG， ∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC， 在△DGC和△PGC中 ， ∴△DGC≌△PGC， ∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°， 同理PB=AB=DC=PC， ∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PBC是正三角形． 点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求． 3．如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） 第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 为了线段比的转化 ∥＝ A D B P Q 图1P E D G A B F C 图2 A N E B Q K G C D M F P 图3 高二数学竞赛——曲线系 曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法． 曲线系：如果两条曲线方程是 f 1(x ,y )＝0和 f 2(x ,y )＝0, 它们的交点是P (x 0,y 0)，则方程 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0的曲线也经过点P (x 0,y 0) (是任意常数)． 证明：由方程?? ?f 1(x ,y )＝0·······①f 2(x ,y )＝0·······② 得到 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0·······③ 只须 将（x 0, y 0）代入证明． ◆ 设圆C 1∶x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．若两圆相交，则过交点的圆系 方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋ (x 2＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0 ( 为参数，圆系中不包括圆C 2， ＝－1为两圆的公共弦所在直线方程)． ◆ 设圆C ∶x 2 ＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋ (Ax ＋By ＋C )＝0( 为参数)． 曲线系方程③不能包含过两曲线公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程③中呢? ——m ·f 1(x ,y )＋n ·f 2(x ,y )＝0 由直线生成的二次曲线系： 设f i ＝A i x ＋B i y ＋C i （i ＝1,2,3,···） （1）若三角形三边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3），则经过三角形三个顶点的二次曲线系为： f 1·f 2＋ f 2·f 3＋ f 3·f 1＝0（ 、 为参数） （2）若四边形四条边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3,4），则经过四边形四个顶点的二次曲线系为： f 1·f 3＋ f 2·f 4＝0（ 为参数）， 其中f 1＝0与f 3＝0、f 2＝0与f 4＝0分别为四边形的对边所在直线方程． （3）与两条直线f 1＝0、f 2＝0分别相切于M 1、M 2的二次曲线系为： f 1·f 2＋ f 3·f 3＝0（ 为参数）， 其中f 3＝0是过M 1、M 2的直线方程． （3）过直线f 1＝0、f 2＝0与一个二次曲线F (x ,y )＝0的4个交点的二次曲线系为： F (x ,y )＋ f 1·f 2＝0（ 为参数）． 【例题选讲】 例1. 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2 ＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆 的方程． 解： 构造方程 x 2＋y 2＋6x －4＋ (x 2＋y 2 ＋6y －28)＝0 即：(1＋ )x 2 ＋(1＋ )y 2 ＋6x ＋6 y －(4＋28 )＝0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为(－3 1＋ ,－3 1＋ ) 当该圆心在直线x －y －4＝0上时，即 －3 1＋ ＋3 1＋ －4＝0，解得： ＝－7． ∴ 所求圆方程为 x 2 ＋y 2 －x ＋7y －32＝0 例2. 求与圆x 2 ＋y 2 －4x －2y －20＝0切于A (―1,―3)，且过B (2,0)的圆的方程． 解法一：视A (―1,―3)为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2，当r →0时，极限圆(x ＋1)2＋(y ＋3)2 ＝0 构造圆系：(x 2＋y 2－4x －2y －20)＋ [(x ＋1)2＋(y ＋3)2 ]＝0 经典难题(一) 1、已知:如图,O就是半圆的圆心,C、E就是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD＝GF.(初二) 2、已知:如图,P就是正方形 求证:△PBC就是正三角形.( 3、如图,已知四边形ABCD、A1 CC1、DD1的中点. 求证:四边形A2B2C2D2 4、已知:如图,在四边形ABCD中 线交MN于E、F. 求证:∠DEN＝∠F. 1、已知:△ABC中,H为垂心( (1)求证:AH＝2OM; (2)若∠BAC＝600,求证:AH＝ 2、设MN就是圆O外一直线,过 D、E,直线EB及CD分别交 求证:AP＝AQ.(初二) 3、如果上题把直线MN 设MN就是圆O的弦,过 P、Q. 求证:AP＝AQ.(初二) 4、如图,分别以△ABC的AC与 点P就是EF的中点. 求证:点P到边AB 1、如图,四边形ABCD为正方形 求证:CE＝CF.(初二) 2、如图,四边形ABCD为正方形 求证:AE＝AF.(初二) 3、设P就是正方形ABCD一边 求证:PA＝PF.(初二) 4、如图,PC切圆O于C,AC 求证:AB＝DC,BC＝AD.(初三 1、已知:△ABC就是正三角形,P 求:∠APB的度数.(初二) 2、设P 就是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA. 求证:∠PAB ＝∠PCB.(初二) 3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC 4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别就是BC 、 AB 上的一点AE ＝CF.求证:∠DPA ＝∠DPC.(初二) 经典难题(五) 1、设P 就是边长 为1的正△ABC 内任一点证 :≤L ＜2. 2、已知:P 就是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值. 3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a, 4、如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝800,D 、E 分别就是AB 、AC ＝200,求∠BED 的度数. 经典难题(一) ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH OGE,可得EO GF =GO GH =CO CD ,又CO=EO,所以CD=GF 三角形四心竞赛训练题1 一、填空题 1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。 2、在△ABC 中，∠A=40o，为△ABC 的内心，则∠BOC ＝ 度。 3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。 4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。 5、设△ABC 的垂心为H ，则∠BHC ＋∠BAC= 度。 二、解答题 6、如图1，△ABC 中，AD 为BC 边的高线，点O 为△ABC 的外心，求 证：∠BAO=∠DAC 。 7、求证：三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的2 3。 8、如图2，Rt △ABC 的内切圆⊙O 和斜边BC 的切点为T ，求证： ABC BT TC S ??=。 9、如图3，已知△ABC 的内心为I ，△BCI 的外心为D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。 10、如图4，已知△ABC 的内切圆和BC 相切于D ，求证：△ABD 、△ACD 的内 切圆相切。 11、如图5，设△ABC 的垂心为H ，并且直线AH 和外接圆及边BC 的交点分别为E 、D ，求证：HD=DE 。 12、如图6，△ABC 的垂心为H ，外心O 到边BC 的距离为OM ，求证：AH=2OM 。 13、如图7，△ABC 的垂心为H ，外心为O ，若∠A ＝60o；求证：三直线HO 、AB 、AC 所作成的△APQ 是正三角形。 14、如图8，△ABC 的垂心H ，若垂足三角形DEF 的外接圆和HC 的交点为G ，求证：HG=CG 。 15、设从△ABC 的外接圆的圆心O 向BC 边作垂线OD ，求证：∠BOD=∠A 或者∠BOD+∠A=180o 16、如图9，△ABC 中，∠A=2∠B ，由顶点C 作∠A 的平分线AD 的垂线CF ，垂足为F ，求证：CF 经过△ABC 的外心。 17、如图10，设过△ABC 的内心I 作BC 的平行线和AB 、AC 分别交于D 、E 、M 是BC 的中点，求证：∠DME 是钝角。 重内垂外A 卷 (1) (5) (2) I (3) C B A (4) D C B A (6)M O H D C B A (7)(9) F E D C B A (10)D (8) H G F E C B A 高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 全国大学生数学竞赛 百度简介 中国大学生数学竞赛 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 解析几何竞赛题求解的几种常见策略 解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江 省东阳中学 322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30 分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数（变量）的观点来解决问题函数是描 述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题 中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐 标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示 出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函 数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量 （很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面 积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解 析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线y2 6x上的 两个动点和B（X2,y2）,其中人x?且人x? 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C ,求厶ABC面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把ABC 的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB的中点M坐标为（（2, y o），贝I」则直线AB的斜率：k 7 42 —- X i X2 、亘y y2 y o 6 6 线段AB的中垂线方程：八。鲁（X 2），易知线段 AB的中垂线与x轴的交点为定点C（5,0）直线AB的方程：y y o 2（x 2），联立抛物线方程消 y o 去x可得：y2 2y o y 2y2 12 0 （ 1 ）， 由题意，y1,y2是方程（1 ）的两个实根，且y1 y2，所以4y； 4（2 y2 12） o 2.3 y 2 3 弦长|AB| ..1 （；）2|% y2| （1 ?）［（% y2）2 4^2〕21（9 S）（12 y；） 点C（5，o）到直线AB的距离：h |CM|十 初中数学经典几何题（附答案） 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A P C D B A F G C E B O D 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、 N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝ 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M P C G F B Q A D E 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · O Q P B D E C N M · A 平面几何习题大全 下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。 几何计算-1 命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？ 解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF <==> 10/y=x/15 <==> xy=150. 所以，矩形DECF的面积150. 几何证明-1 命题在圆接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。 证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。 易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR=OP,AP=OR， 故OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证 RtΔAPO≌RtΔORD，故得DR=OP,AP=OR， 即OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 几何不等式-1 命题设P是正△ABC任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P 点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。求证:S2≥S1 。 证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC的面积为S=(a^2√3)/4。 由三角形重心坐标定义易求得: AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y). 故得: △AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y); △BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z); △CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x). 从而有S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。 因为P点是△KNM的费马点，从而易求得: 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100） 解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数(变量)的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2 6y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且 124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把?ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222 1212120 63 66 --= ===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0 0(2)3 -=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：00 3(2)-= -y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22 0022120-+-=y y y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所以22 00044(212)0?=-->?-< 经典难题（一） 仁已知：如图，0是半圆的圆心，C. E是圆上的两点，CD丄AB, EF丄AB, EG丄CO. 求证：CD=GF?（初二） 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°. 求证： APBC是正三角形.（初二） 3、如图，已知四边形ABCD、AiBiQDi都是正方形,毗、B2. DDj 的中点. 求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD中.AD=BC, M、N分别是AB. CD的中点，AD、BC的延 长线交MN于E、F. 求证：ZDEN=ZF. 经典难题（二） 仁已知：AABC中，H为垂心（各边髙线的交点），0为外心，且0M丄BC于M. （1）求证：AH=20M； （2）若ZBAC = 60°,求证：AH=A0?（初二） 2、设MN是圆0外一直线，过0作0A丄MN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q. 求证：AP=AQ?（初 二） 3、如果 上题把 直线MN 由圆外 平移至 圆内， 则由此 可得以 下命题: G N A 4、如图，分别以ZkABC的AC和BC为一边?在AABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG, 点P是EF的中点? 仁如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC, AE=AC, AE与CD相交于F?求证：CE=CF.（初二） 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F?求证： AE=AF.（初二）亠 3、设P是正方形A BCD-边BC上的任一点，PF丄AP, CF平分ZDCE. 求证：PA = PF?（初二） 4、如图，PC切圆0于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线P0相交于B、 D.求证：AB = DC, BC=AD?（初三） A C 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何 1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 【答案】[]36， 【解析】设()9A a a -， ，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得 d 36a ≤≤． 2、（2009一试5）椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最小值为． 【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?，． 由P ，Q 在椭圆上，有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +． 3、（2010一试3）双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】9800 4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为． 【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ，(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
高中数学竞赛题之平面几何
数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)
中考几何经典题参考答案
高中数学竞赛题之平面几何
【竞赛】解析几何3——曲线系
初中数学经典几何题及答案经典
平面几何三角形四心竞赛题A卷及答案
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
最新全国大学生数学竞赛简介
解析几何竞赛题求解的几种常见策略
初中数学经典几何题(附答案)
平面几何习题集大全
解析几何竞赛题求解的几种常见策略
初中数学经典几何题及答案经典
解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编