清华大学 杨虎 应用数理统计课后习题参考答案

习题一

1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .

解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，

11223344555

11

1

55(1)

(,,,,)()(1)(1)i i

n

x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

2）对总体~()X P λ

11223344555

1

1

555

1

(,,,,)()!

!

i

x

n

i i i i i x

i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ

λ

λλ-==-==========

∏∏

∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

3）对总体~(,)X U a b

55

1151

1

,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a

==?≤≤=?==-???

∏∏

L ，其他

4）对总体~(,1) X N μ

()()

()2

55

55/2

22

1511

1

1 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--

-===??==-- ???

∑∏L

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.

解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表：

经验分布函数的定义式为：

()()()

(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x k

F x x x x k n n x x +

据此得出样本分布函数：

200,00.3,010.65,12()0.8,

230.9,341,4x x x F x x x x

?≤

≤

≥?

图 经验分布函数

3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：

cm)如下：

试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.

解

图 数据直方图

它近似服从均值为172，方差为的正态分布，即(172,5.64)N .

4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.

x

()

n F x

解 (

)

- 5P X k P k μ?

?<=

()()

555 P k X k μ=-<-<

因k 较大，由中心极限定理

(0,1)X N ： ()

()()

-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-

(5)(1(5))

k k =Φ--Φ

()2510.9k =Φ-=

所以：()50.95

k Φ=

查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.

5 从总体2

~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.

解 (

)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ??<<=-<

< ???

(0,1)X U N =

Q

()()

50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293

P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）

6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.

解 设两个独立的样本分别为：110,,X X K 与115,,Y Y K ，其对应的样本均值为：X 和Y . 由题意知：X 和Y 相互独立，且：

3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N

(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤

1P =-

~(0,0.5)

~(0,1)

(0.3)22(0.4243)0.6744

X Y N

X Y

N

P X Y

-

->=-Φ=

Q

7 设

110

,,

X X

K是总体~(0,4)

X N的样本，试确定C，使得

10

2

1

()0.05

i

i

P X C

=

>=

∑.

解因~(0,4)

i

X N，则~(0,1)

2

i

X

N，且各样本相互独立，则有：

10

1

2

2

~(10)

2

i

i

X

χ

=

??

?

??

∑

所以：

1010

22

11

()()

1

44

i i

i i

C

P X C P X

==

>=>

∑∑

10

2

1

1

10.05

44

i

i

c

P X

=

??

=-≤=

?

??

∑

10

2

1

1

0.95

44

i

i

c

P X

=

??

≤=

?

??

∑

查卡方分位数表：c/4=，则c=.

8设总体X具有连续的分布函数()

X

F x，

1

,,

n

X X

K是来自总体X的样本，且i

EXμ

=，定义随机变量：

1,

,1,2,,

0,

i

i

i

X

Y i n

X

μ

μ

>

==

≤

?

?

?

L

试确定统计量∑

=

n

i

i

Y

1

的分布.

解由已知条件得：~(1,)

i

Y B p，其中1()

X

p Fμ

=-.

因为

i

X互相独立，所以

i

Y也互相独立，再根据二项分布的可加性，有

1

~(,)

n

i

i

Y B n p

=

∑，1()

X

p Fμ

=-.

9 设

1

,,

n

X X

K是来自总体X的样本，试求2

,,

EX DX ES。假设总体的分布为：1）~(,);

X B N p 2) ~();

X Pλ 3) ~[,];

X U a b 4) ~(,1);

X Nμ

解 1) EX EX Np

==

(1)

DX Np p

DX

n n

-

==

2(1)

ES DX Np p

==-

2) EX EX λ==

DX DX n n

λ

=

= 2ES DX λ==

3) 2

a b

EX EX +==

()2

12b a DX DX n n -== ()2

2

12

b a ES

DX -==

4) EX EX μ==

1DX DX n n

=

= 21ES DX ==

10 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本，求

21()n i i E X X =??-????

∑与21()n i i D X X =??-????∑。 解

()2

22

12

(1)(1)(1)(1)n i i E X X E n S n ES n DX n σ=??-=-=-????????

=-=-∑ ()2224

21(1)(1)n i i n S D X X D n S D σσ=??-????-=-=??????????

∑ 又因为

2

2

2

(1)~(1)n S n χσ--,所以：()24

12(1)n i i D X X n σ=??-=-????

∑

11 设1,,n X X K 来自正态总体(0,1)N ，定义：121

1

||,||n

i

i Y X Y X n

===

∑，计算12,EY EY .

解 由题意知~(0,1/)X N n

，令：Y =，则~(0,1)Y N

()E Y X

22

||y y e

dy +∞

-

=

?22

y ye

dy +∞

-

=

?

t e dt +∞

-=

(1)=

=

1((||))E Y E X ==

21111(||(||))()n n

i i i i E Y E X E X n n E X ===??=== ???

∑∑12 设1,,n X X K 是总体~(,4)X N μ的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：

1）2

||0.1E X μ-≤；2）||0.1E X μ-≤；3）(||1)0.95P X μ-≤=。 解 1)

4~(,4)

~(,)X N X N n μμ∴Q

~(0,1)X U N =

2

E X μ

-2

4X E n =

24X X D E n ??=+????

()4

100.1n

=

+≤ 所以：40n ≥

2)

~(0,1)X U N =

()E E U

=2

2

u u du +∞

--∞

=?

2

20

2u du +∞

-==?

所以：0.1E X μ-=

≤ 计算可得：225n ≥

3)

()

()111P X P X μμ-≤=-≤-≤

P

?

=≤≤

??

22

??

=Φ-Φ-

????

210.95

=Φ-≥

??

0.975

1.96,15.36

u n

≥=≥，而n取整数，16

n

∴≥.

13设

1

(,,)

n

X X

K和

1

(,,)

n

Y Y

K是两个样本，且有关系式：

1

()

i i

Y X a

b

=-（,a b均为常数，0

b≠），试求两样本均值X和Y之间的关系，两样本方差2

X

S和2

Y

S之间的关系.

解因：()

1

11

n

i

i

Y X a

n b

=

=-

∑

1

11n

i

i

X na

b n=

??

=-

?

??

∑

()

1

X a

b

=-

所以：()

1

EY EX a

b

=-

即：

()()()

()

2

2

2

11

2

2

2

1

1111

11

111

=

1

n n

Y i i

i i

n

i X

i

S Y Y X a X a

n n b b

X X S

n b b

==

=

??

=-=---

??

--??

??

-=

??

-??

∑∑

∑

14 设

15

,,

X X

K是总体~(0,1)

X N的样本.

1) 试确定常数

11

,c d，使得222

1121345

()()~()

c X X

d X X X n

χ

++++，并求出n；

2) 试确定常数

2

c，使得222

212345

()/()~(,)

c X X X X X F m n

+++，并求出m和n.

解 1）因：

12

~(0,2)

X X N

+，

345

~(0,3)

X X X N

++

~(0,1)

N

~(0,1)

N且两式相互独立

故：

2

2

2

~(2)

χ

+

可得：112

c =

，11

3d =，2n =.

2） 因：222

1

2

~(2)X X χ+，

()2

3452~(1)3

X X X χ++，

所以：

()()

221

22

3452

~(2,1)3

X

X F X X X +++，

可得：23

,2,12

c m n =

==. 15 设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数，求证

21/21[()](1,)p p t n F n --=.

证明 设1(1,)p F n α-

=，

则：()1(1P F p P p α≤=-?≤

=-

((12(2(12

P T P T p P T p p P T ?≤-≤=-?≤=-?≤=

-

12

()p t

n -

=

故：2

112

()(1,)p p t

n F n α--==.

16 设21,X X 是来自总体)1,0(~N X 的一个样本，求常数c ，使：

1.0)()()(2212212

21=???

? ??>-+++c X X X X X X P .

解 易知12~(0,2)X X N

+~(0,1)N ； 同理12~(0,2)X X N

-~(0,1)N 又因：1212(,)0Cov X X X X +-=，所以12X X +与12X X -相互独立.

221212222

121212()(1)()()()()X X c X X P c P c X X X X X X ????+-+>=> ? ?++--???? 2122

12()()1X X c P X X c ??

+=> ?--??

20.11c P c ???=>=- ? ?

??

所以：

0.9(1,1=39.91c

F c

=-） 计算得：c = .

17 设121,,,,n n X X X X +K 为总体2~(,)X N μσ的容量1n +的样本，2

,X S 为样本

1(,,)n X X K 的样本均值和样本方差，求证：

1

）~(1)T t n -；

2）211~(0,)n n X X N n

σ++-；

3）2

11~(0,

)n X X N n

σ--.

解 1）因：1()0n E X X +-=，2

11()n n D X X n

σ++-=

所以：2

11~(0,

)n n X

X N n σ++-

~(0,1)X N 又：222

1

~(1)n S n χσ

--

X 2

21n S σ-相互独立

=~(1)t n -

2） 由1）可得：2

11~(0,

)n n X X

N n

σ++- 3） 因：1()0E X X -=，2

11()n D X X n

σ--= 所以：2

11~(0,

)n X X N n

σ--

18 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本，X 为样本均值，求n ，使得

(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.

解

(

)

~(0,1)

0.25X U N X P X P μσ=

?∴-≤=-≤ ?Q

(210.95=Φ-≥

所以：(0.975Φ≥

查表可得：0.975 1.96u =，即62n ≥. 19 设1,,n X X K 为总体~[,]X U a b 的样本，试求： 1）(1)X 的密度函数； 2）()n X 的密度函数； 解 因：~[,]X U a b ， 所以X 的密度函数为：

1

,[,]()0,[,]

x a b f x b a

x a b ?∈?

=-????， 0,(),1,x a x a F x a x b b a x b ≤?

?-?=<≤?-?

>??

由定理：1

(1)()(1())

()n f x n F x f x -=-

11

(

),[,]0,[,]n b x n x a b b a b a

x a b --?∈?=--????

1

()()(())

()n n f x n F x f x -=

11

(

),[,]0,[,]n x a n x a b b a b a

x a b --?∈?=--????

20 设15,,X X K 为总体~(12,4)X N 的样本，试求： 1）(1)(10)P X <； 2）(5)(15)P X < 解

~(12,4)12

~(0,1)2

i X N X N -∴

Q ()()(1)(1)10110P X P X <=-≥

()5

1

110i

i P X

==-

≥∏

()()5

1

1110i i P X ==--≤∏

5

1121112i i X P =?-?

??=--≤- ? ????

?∏

51(1(1))=--Φ- 51(1)0.5785=-Φ=

()()5

(5)11515i i P X P X =<=<∏

5

1

12 1.52i i X P =-??=< ???∏

55(1.5)0.93320.7077=Φ==

21 设11(,,,,,)m m m n X X X X ++K K 为总体2~(0,)X N σ的一个样本，试确定下列统计量的分布：

1

）1m

i

X

Y =

； 2）21221

m

i

i m n i

i m n

X

Y m

X

=+=+=

∑∑；3）2

12

212311??

? ??+???

??=∑∑++==n m m i i m i i X n X m Y σσ 解 1）因为：

21

~(0,)m

i

i X

N m σ=∑

~(0,1)m

i X

N ∑，

2

22

1

~()

m n

i i m X n χσ+=+∑

m

i X

∑与

2

2

1m n

i i m X σ

+=+∑

相互独立，由抽样定理可得：

1~()m

i

m

i

X

X Y t n =

∑

2）因为：

22

2

1

1

~()m

i

i X

m χσ=∑，

2221

1

~()

m n

i i m X n χσ+=+∑

且

22

1

1

m

i i X σ

=∑与

22

1

1

m n

i i m X σ

+=+∑

相互独立，

所以：

222

112

221

1

1=

~(,)1

m

m

i

i

i i m n

m n

i i i m i m n X

X

m

F m n m X X n

σ

σ==++=+=+∑∑∑∑

3）因为：

2

1

~(0,)m

i

i X

N m σ=∑，

21

~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑

所以：

2

21

2

()

~(1)m

i i X m χσ=∑，

2

212

()~(1)

m n

i i m X n χσ+=+∑

且

2

1

2

()

m

i i X m σ

=∑与

2

1

2

()m n

i i m X n σ+=+∑相互独立，

由卡方分布可加性得：2

2

2

22111~(2)m m n i i i i m n X X m n χσσ+==+????+ ? ?????

∑∑. 22 设总体X 服从正态分布),(2

σμN ，样本n X X X ,,,21Λ来自总体X ，2S 是样本

方差，问样本容量n 取多大能满足95.067.32)1(22=???

?

??≤-σS n P ？

解 由抽样分布定理：

222

1

~(1)n S n χσ--,22

1

(

32.67)0.95n P S σ-≤=,

查表可得：n 121-=，n 22=.

23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，

22

21

,S S 分别为两样本方差，求???

?

??>39.22221S S P .

解 设12=20=15n n ，分别为两样本的容量，2σ为总体方差，由题意，

22222

2111222222

2(1)19(1)14=~(19)=~(14)n S S n S S χχσσσσ

--， 又因22

21,S S 分别为两独立的样本方差：2

12

2

12

22

2

2

1919=~(19,14)1414

S S F S S σσ

所以：221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ????

>=-≤=-= ? ?????

.

24 设总体),(~2

σμN X ，抽取容量为20的样本2021,,,X X X Λ，求概率

1）????

??

??≤-≤

∑=57.37)(85.102

20

1

2

σμi i

X

P ；

2）????

?

?

?

?≤-≤

∑=58.38)(65.112

20

1

2

σi i

X X

P .

解 1）因

~(0,1)i X N μ

σ

-，且各样本间相互独立，所以：

()

20

2

2

20

221

2

1~(20)i

i i i X X μμχχσσ==--??== ???

∑∑ 故：()210.8537.570.990.050.94P χ≤≤=-=

2）因：

()

20

2

2

21

2

2

19~(19)i i X X S χσσ=-=

∑, 所以：

221911.6538.580.9950.10.895.S P σ??

≤≤=-= ???

25 设总体),80(~2

σN X ，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下

)380(>-X P 的值：

1） 已知20=σ；

2） σ未知，但已知样本标准差2674.7=S . 解 1）

()

22

~(80,)80

~(80,

)~(0,1),~(24)255

80380320/54X N X X X N N t S X P X P σσ-∴??

- ?

->=> ???

Q

314P U ?

?=-≤ ???12(0.75)1=-Φ+

220.77340.4532=-?=

2）()

80803 2.0647.2674/5X P X P ??

- ?->=> ???

()1 2.064120.97510.05P T =-≤=-?+=

26 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本，2,X S 为样本均值和样本方差，当20n =时，求：

1）();4.472

P X σμ<+

2）2

2

2

(||);2

P S σ

σ-<

3）确定C ，使()0.90S P C X μ

>=-.

解 1）

2~(,)

~(0,)1 4.4724.472X N N X X P X P μσμμσσ??-?

?<+=<

? ?????

Q

10.8413X P ??

=<=???

2）2222222

22

2P S P S σσσσσ????-<=-<-< ? ?????

222322P S σσ??=<< ???

221322S P σ??=<< ???

2

2199.528.5S P σ??=<< ?

??

其中2

2

22

19=

~(19)S χχσ,则

()222222199.528.529.528.50.950.050.9

S P S P P σσσχ????-<=<< ? ?

????=<<=-= 3）

1== ? ?-?????

其中，(19)X T t ，则

0.9S P c P T X μ???>== ? -????

所以：

0.9(19)=1.328t =,计算得： 3.3676c =.

27 设总体X 的均值μ与方差2σ存在，若n X X X ,,,21Λ为它的一个样本，X 是样本均值，试证明对j i ≠，相关系数1

1

),(--

=--n X X X X r j i . 证明

cov(,)(,)i j X X X X r X X X X ----=

2

1()()i j n D X X D X X n

σ--=-=

21

ov(,)()i j i j i j C X X X X E X X X X X X X X n

σ--=---=-

所以：1(,)1

i j r X X X X n --=-

-. 28. 设总体2~(,)X N μσ，从该总体中抽取简单随机样本)1(,,,221≥n X X X n Λ，X 是它的样本均值，求统计量∑=+-+=

n

i i n i

X X X

T 1

2)2(的数学期望.

解 因2~(,)X N μσ，)1(,,,221≥n X X X n Λ为该总体的简单随机样本，令

i i n i Y X X +=+，则有2~(2,2)i Y N μσ

可得：1

12n

i i Y Y X n ===∑

()2

221

1

(2)(1)n n

i n i i Y i i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑

22(1)2(1)Y ET n ES n σ=-=-

习题二

1 设总体的分布密度为：

(1),01

(;)0,x x f x ααα+<<=???

其它

1(,,)n X X L 为其样本，求参数α的矩估计量1?α和极大似然估计量2?α .现测得样本观测

值为：，，，，，，求参数α的估计值 .

解 计算其最大似然估计：

()()

11

1

11

(,)11ln (,)ln(1)ln n

n

n

n i i i i n

n i

i L x x x x L x x n x α

α

αααααα===??=+=+??=++∏∏∑K K

11

21

ln (,)ln 01?10.2112

ln n n i i n i

i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑K

其矩估计为：

()1 3.40.10.20.90.80.70.766

X =

+++++= 3077

.0121?,212)1()1(11

1

021

=--==++=++=+=?++X X X x dx x EX αααααααα

所以：12112??,11ln n i

i X n

X X α

α=??

?- ?==-+-

? ??

?

∑， 12??0.3077,0.2112αα≈≈.

2 设总体X 服从区间[0, θ]上的均匀分布，即~[0,]X U θ，1(,,)n X X L 为其样本， 1)求参数θ的矩估计量1?θ和极大似然估计量2?θ；

2)现测得一组样本观测值：，，，，，，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.

解 1）矩估计量：

11

??,2 2.42

EX X X θθ=

=== 最大似然估计量：

11

11

1

(,)ln (,)0

n

n n

i n L x x n

L x x θθ

θθθ

===

=-

=∏

K K

无解 .此时，依定义可得：2

1?max i i n

X θ≤≤=

2）矩法：211??1.2,0.4722

12

EX DX θθ=

==

=

极大似然估计：222??1.1,0.40332

12

EX DX θθ=

==

=.

3 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X 的分布密度为：

1）,0(;),

00,

x

e

x f x x λλλλ->=>≤??

?未知

2）(;),

0,1,2,,0!

x

f x e x x λ

λ

λλ-=

=>L 未知

3）1,(;,)0

a x

b f x a b a b b a

≤≤=<-??

???，

其它

未知

4) 2

,0(;)0

x

x f x θθθ-<≤<+∞=??

?，

其它

θ未知

5）()/1,(;,),

00,x e x f x x αβ

ααβββα

--≥=>

6）1

,0(;,),

,00,

x

x f x x αααβαβαββα

-≤≤=>

7

）2

2

2,0

(;),

00,0

x x f x x θ

θθ-

>=>≤??

未知

8）

22

(;)(1)(1)

,2,3,,01x f x x x θθθθ

-=--=<

解 1）

矩法估计：1

1

1?,EX X X

λλ=== 最大似然估计：

1111

1

(,),ln (,)ln n

i

i

i n

n

x x n

n n i i i L x x e

e

L x x n x λ

λλλλλλλ=--==∑===-∑∏K K

2

1

1

1

?ln 0,n

i n

i i

i d n n

L x d X

x

λλλ===-===

∑∑.

2)

~()X P λ 矩估计： 1

?,EX

X X λλ=== 最大似然估计：

11

(,),ln ln i

x

nx

n

n n i i i

i

L x x e

e

L n nx x x x

λ

λ

λλλλλ--====-+-∑∏

∏K

2

?ln 0,d nx L n X d λλλ

=-+==.

3）

矩估计：()2

,212

b a a b

EX DX -+==

联立方程：

(

)2

*221?2

?a X b X a b

X b a M ?=-

?→+?=???-?=???=+??

最大似然估计： 11

1

(,)(;)()n

n i n

i L x x f x b a θθ==

=

-∏

K ,ln ln()L n b a =--

ln 0d L n

da b a

==-,无解，当1?min i i n a

X ≤≤=时，使得似然函数最大， 依照定义，1?min i i n

a

X ≤≤=，同理可得1?max i

i n

a X ≤≤=.

4)

矩估计：

ln EX dx x

x

θ

θ+∞

+∞=

=?

，不存在

最大似然估计：

12

2

1

11

(,),ln ln 2ln n

n

n

n i i i i i

L x x L n x x x θ

θθ

θ=====-∑∏

∏K

ln 0n L αθ

?==?，无解；依照定义，(1)

?X θ=. 5) 矩估计：

()/0

()(1)(2)x t

x

EX e

dx t e dt αβ

α

αβαββ

+∞

+∞

---=

=

+=Γ+Γ?? X α

β=+=

2

222

()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞

-=

+=Γ+Γ+Γ? 2222221

22()i M X n

ααββαββ=++=++==

∑

2

2

2

22*

2111

??i M X X X M n

X βαβ=-=-==-=∑

即11??X X αβ==== 最大似然估计：

()()/111

1(,,)exp ,

1ln ln i n

x n n i L x x e nx n n L n nx αβαββαββα

βββ

---=??==--????

=--+

∏K

2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ

??===-+-=??，无解 依定义有：(1)(1)

??,L L X X X X α

βα==-=-.

6)

矩估计： 1101

EX

x

x dx M β

ααααββα-===+? 2

2

2

120

1

EX

x x dx M β

ααααββα-===+?

解方程组可得：111??1,M α

β=-=最大似然估计：

1

1

11

1

1

1

(,,),ln ln ln (1)ln n n

n

n

n i

i

i

n i i i L x x x x

L n n x ααα

αααβααβαβ

β

--======-+-∑∏

∏K 1

ln ln ln 0,ln 0n

i i n n L n x L αβααββ=??=-+==-=??∑ β无解，依定义得，()n x β= 解得 ()1

1

?1ln ln L n

n i

i x x n α==

-∑.

7)

矩估计：

2

2

2

2

3

2

2

2

(2)x x t

x EX dx d

te dt X θ

θ

θ

+∞

+∞

+∞

-

-

-=

=

=

==???

?M

θ=

最大似然估计：

22

22

2

211

1(,)i i x n

x n

n

n i i i i L x x x e

θθθ-

-

==∑???== ?????

∏K

22

2

ln ln 43ln ln i

i

x

L n n n x

θθ=---

∑∑

233?ln 20,i L

x n L θθθθ?=-+==?∑