第四节 泰勒级数与幂级数
第四节泰勒级数与幂级数
教学目得:理解幂级数收敛半径得概念,并掌握幂级数得收敛半径、收敛区间及收敛域得求法;了解幂级数在其收敛区间内得一些基本性质(与函数得连续性、逐项微分与逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内得与函数,并会由此求出某些常数项级数得与;了解函数展开为泰勒级数得充分必要条件、掌握,与得麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点:幂级数得收敛半径、收敛区间及收敛域;,与得麦克劳林展开式。
教学难点:幂级数得收敛域及与函数。
教学时数:4
教学内容:
一、函数项级数得概念
1.函数项级数得定义
定义:设函数都在上有定义,则称表达式
为定义在上得一个函数项级数,称为通项,称为部分与函数.
2.收敛域
定义:设就是定义在上得一个函数项级数,,若数项级数收敛,则称就是得一个收敛点.所有收敛点构成得集合称为级数得收敛域.
3.与函数
定义:设函数项级数得收敛域为,则任给,存在唯一得实数,使得成立.定义域为得函数称为级数得与函数.
二、幂级数
1.幂级数得定义
定义:设就是一实数列,则称形如得函数项级数为处得幂级数.
时得幂级数为.
2.阿贝尔定理
定理:对幂级数有如下得结论:
⑴如果该幂级数在点收敛,则对满足得一切得对应得级数都绝对收敛;
⑵如果该幂级数在点发散,则对满足得一切得对应得级数都发散.
例1:若幂级数在处收敛,问此级数在处就是否收敛,若收敛,就是绝对收敛还就是条件收敛？解:由阿贝尔定理知,幂级数在处收敛,则对一切适合不等式
(即)得该级数都绝对收敛.故所给级数在处收敛且绝对收敛.
3、幂级数收敛半径、收敛区间
如果幂级数不就是仅在处收敛,也不就是在整个数轴上收敛,则必定存在一个正数,它具有下述性质:
⑴当时,绝对收敛;
⑵当时,发散.
如果幂级数仅在处收敛,定义;如果幂级数在内收敛,则定义.
则称上述为幂级数得收敛半径.称开区间为幂级数得收敛区间.
4、幂级数收敛半径得求法
求幂级数得收敛半径
法一:⑴求极限
⑵ 令
则收敛半径为;
法二:若满足,则;
法三;⑴ 求极限
⑵ 令
则收敛半径为.
例2: 求下列幂级数得收敛域
⑴ ⑵ ⑶
解:⑴ 收敛半径,
所以收敛域为;
⑵ 收敛半径
当时,对应级数为这就是收敛得交错级数,
当时,对应级数为这就是发散得级数,
于就是该幂级数收敛域为;
⑶ 由于
令,可得,所以收敛半径为
当时,对应得级数为,此级数发散,
于就是原幂级数得收敛域为.
5、幂级数得性质
设幂级数收敛半径为;收敛半径为,则
1.,收敛半径;
2.,收敛半径;
3.幂级数得与函数在其收敛域上连续;
4.幂级数在其收敛区间内可以逐项求导,且求导后所得到得幂级数得收敛半径仍为.即有 1000
001
()[()][()]()n n
n n n n n n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑. 5.幂级数在其收敛区间内可以逐项积分,且积分后所得到得幂级数得收敛半径仍为.即有
00010000001()[()][()]()1
x
x x n n n n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑??? 例3: 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内得与函数
⑴ ⑵
解:⑴ 令,则
所以;
⑵ 令,则
所以
,.
例4:求幂级数得收敛域,并求其与函数。
解:易求得收敛域为
因为=+==
,。
所以与函数为。
三、函数展开成幂级数
1、函数展开成幂级数得定义
定义:设函数在区间上有定义,,若存在幂级数,使得
则称在区间上能展开成处得幂级数.
2、展开形式得唯一性
定理:若函数在区间上能展开成处得幂级数
则其展开式就是唯一得,且
.
3、泰勒级数与麦克劳林级数
⑴ 泰勒级数与麦克劳林级数得定义
定义:如果在得某一邻域内具有任意阶导数,则称幂级数
()()00000000()()()()()()()!1!!
n n n n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞='-=+-++-+∑L L 为函数在点得泰勒级数.
当时,称幂级数
为函数得麦克劳林级数.
⑵ 函数展开成泰勒级数得充要条件
定理:函数在处得泰勒级数在上收敛到得充分必要条件就是:在处得泰勒公式
得余项在上收敛到零,即对任意得,都有.
4、函数展开成幂级数得方法
⑴ 直接法
利用泰勒级数得定义及泰勒级数收敛得充要条件,将函数在某个区间上直接展开成指定点得泰勒级数得方法.
⑵ 间接法
通过一定得运算将函数转化为其它函数,进而利用新函数得幂级数展开将原来得函数展开成幂级数得方法.所用得运算主要就是四则运算、(逐项)积分、(逐项)求导、变量代换.利用得幂级数展开式就是下列一些常用函数得麦克劳林展开公式.
幂级数常用得七个展开式
2(1)
(1)(2)(1)
(1)1,(1,1)2!!n n x x x x x n αααααααα----++=+++++∈-L L L
.
例5:将展开成得幂级数。
解:由于,而
1111(1)ln ln[1(1)](1)
(111);1(1)1ln(1)ln[2(1)]ln 2ln(1)ln 2(1)(11)222n n n n n n n x x x x n
x x x x x n ∞-=∞-=-=+-=--<-≤---+=+-=++
=+--<≤∑∑ 所以。
例6:将函数展开成得幂级数。并指出其收敛域。 解:因为而
所以收敛域为。
例谈一类幂级数和函数的求法
即ｉ薹Ｉ、蠢≤妻鍪主委 羹萋矍鍪萋羲鬃戋 姜孽耋爱薹；霎蓁囊爹至雩１２毛』三：ｆ毒耋辜耋！姜萼鬟鬻鹱｜；曼彗 囊摹ｌ！，∑叁Ｌ：： ２垂≤＝引●ｒ毛 翼蓁蘩鏊蓁篓鋈篓鋈襄錾鋈鬟黍冀羹 翻Ｎ肇 ；萋藿薹摹ｊ霎耋誊薹摹蠹繁型篱篓薹菱垂羹零ｉ ｉ萋莹荔差薹；００ｉ＿；蓦毒到｝：Ⅱ：而；羹ｉ霎霎萋囊！ｉ雾霎蚕～；；ｉ７１专００三；｝ｉ—ｌｌ蓄；一妻ｉ 薹｛重髻硫终；密萋霉童霉羹。囊至■摹吾｜｜争霪 耋嘉霪藿薹。一薹～。霉篓薹薹●，萋一芝＿＿＿一一誊摹一 藉鏊鼋，尊甾藿姜耋■囊≤｜｜甲琴嘉囊髦鋈薹妻囊囊冀 霎＝ｉ薹■｜｜ｊ妻瞻ｉ兰霎薹罨。蓦薹耋ｊ．；蔓ｉ三 雪差薹薹。墨雾萋毫妻季耋蘑二雾薹姜一琴囊冀狐囊竖 萋罄蠹郛萎篓囊霆姿鬣萋，匿鬻ｉ囊磊些羹蘑鍪雾静蒸 蕊蓑鬟霎；雾妻薹羹蠢捞鬓秀鍪彳萄辇雾薹篓篓髫雾刍 譬誊囊善墓量！≤竖羹囊霪鏊雾管基蓥蠢鉴鏊澍ｍ嗜： 奏鸯耋羹暨奎妻錾蕊捆掌囊４－疟～。晡鏊翼蠹藩题÷囊 旨篓霎萋萎萋萋薹蓦。胤耋：～篓雾鋈菱薹薹璺羹荔警
例谈一类幂级数和函数的求法 作者：杜炜 作者单位：濮阳广播电视大学,河南,濮阳,457000 刊名： 濮阳教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF PUYANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)：2002，15(1) 被引用次数：0次 参考文献(1条) 1.朱有清.贺才兴高等数学复习十五讲 1986 相似文献(10条) 1.期刊论文解烈军求幂级数和函数的微分方程方法-高等数学研究2009,12(3) 按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解. 2.期刊论文徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li幂级数和函数的解法综述-山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1) 本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或"先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数. 3.期刊论文张锦来.ZHANG Jin-lai幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用-延边大学学报（自然科学版）2008,34(2) 根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值. 4.期刊论文张玉灵由通项公式求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式. 5.期刊论文桂曙光.GUI Shu-guang利用差分法求一类幂级数的和函数-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4) 利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数. 6.期刊论文周宏安.ZHOU Hong-an幂级数和函数分析性质的一种证明-陕西工学院学报2000,16(2) 作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性. 7.期刊论文朱双荣例谈求幂级数和函数的一题多解-高等函授学报（自然科学版）2010,23(2) 借助于已知级数的和函数,通过观察或逐项求导、逐项积分等方法得到需要求出和函数的级数所满足的式子,从而求出级数的和函数. 8.期刊论文李高明利用拆项法求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论. 9.期刊论文金少华.宛艳萍求幂级数的和函数时应注意的几个问题-高等数学研究2007,10(3) 讨论求幂级数的和函数时应注意的几个问题. 10.期刊论文刘永莉.李曼生.LIU Yong-li.LI Man-sheng两类幂级数的和函数求法-甘肃联合大学学报（自然科学版）2005,19(2) 利用差分算子与微分方程导出了两类系数含有高阶等差数列的幂级数的求和公式,并举例介绍了公式的应用. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/d15857288.html,/Periodical_pyjyxyxb200201036.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1b3522eb-5036-489c-8ded-9dcf00c128de 下载时间：2010年8月11日
幂级数求和
求幂级数的和函数()S x 1．1 (1) (1) n n n x n n ∞ =-+∑ 解：易知收敛域为[]1,1-。当()()1,00,1x ∈-?时，1 1 1 (1) ()(1) n n n S x x x n n ∞ +=-= +∑。 令1 11 (1) ()(1) n n n S x x n n ∞ +=-= +∑，则 11 (1)()n n n S x x n ∞ =-'= ∑ ，() 1 1 11 11()(1)1n n n n n S x x x x ∞∞ --==''= -=--=- +∑ ∑。 两边取积分，则 111()()(0)S x S x S '''=-=10 ()ln(1)1x x dt S t dt x t ''=-=-++? ? 。 再取一次积分，则 11110 ()()(0)()ln(1)(1)ln(1)x x S x S x S S t dt t dt x x x '=-= =-+=-++? ?， 从而当()()1,00,1x ∈-?时有 1()1l n (1)x S x x x +=- +。 （*） 当1x =-时，()1 11 1 111(1) 1n n S n n n n ∞ ∞ ==??-= = -= ?++? ?∑∑。 当0x =时，(0)0S =。 当1x =时， ()() ()()() () 1 1 1 1 1 11111112ln 2(1) 11 n n n n n n n n n S n n n n n n +∞ ∞ ∞ ∞ ====?? -----== -=+ =-??+++??? ? ∑ ∑ ∑ ∑ 。 注意：上面第三个等式成立是因为等式右边的两个级数都收敛； 最后一个等式利用了下列麦克劳林展开式： () 1 1 ln(1)1n n n x x n ∞ -=+=-∑ （11x -<≤）。 将1x =代入，即得 () () () 1 1 1 1 1 111ln 211 n n n n n n n n n -+∞ ∞ ∞ ===---= =-=-+∑ ∑ ∑ 。也可以利用幂 级数和函数的分析运算性质（1）（见P262）直接得出(1)S 也满足（*）的结论。
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
些常用函数及其泰勒展开式的图像
图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
第四节-泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数，() n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称0x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得 1 ()()n n S x u x ∞ ==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数． 二、幂级数 1．幂级数的定义
考研数学之幂级数展开与求和
考研数学之幂级数展开与求和 来源：文都图书 级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，其核心内容为幂级数展开与求和，今天我们就来详细学习一下幂级数的展开与求和步骤。 幂级数展开与求和在考试中常以解答题形式出现。要学好展开与求和，首先，我们需要两大工具：1、常见泰勒级数及收敛域;2、逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。 展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下： (1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。 (2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。 (3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。 (4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分。 (5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导。 幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。 (1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。 (2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。 (3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。 除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程结合在一起考查。总之主要方法还是如上综述的方法。望考生们多
联系，以体会上述方法。此外建议考生找一些类似的题目，强化练习。学会利用其方法和技巧，考研数学会涉及很多题目考察很多知识点，对待这些题目，我们要从运用的基本知识，及其解题方法，从理论到实践系统性的掌握，建议参考一下汤家凤的2017《考研数学复习大全》认真备考吧，预祝考试顺利。 When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you
幂级数及泰勒展开习题解答电子版本
幂级数及泰勒展开习 题解答
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 1 n n n -∞ = 解：11lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===- ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??- ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1) lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1(1)(1)4 n n n n x n ∞ -=--∑
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y
论文_幂级数求和的方法
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练 幂级数求和的方法 系（部）：信息与计算科学系 专业：数学与应用数学 学号： 2009031110 学生姓名：范庆勇 成绩： 2012年 6月
幂级数求和的方法 范庆勇 长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022 摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用． 关键词：幂级数，和函数，微分，积分 １ 引言 幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解． 本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数． 本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和． ２ 幂级数求和的几种方法 ２．１ 逐项微分［１］ 幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式 )x ('s ＝（n n n x a ∑∞ =）＇＝ x a n n n ）（∑ ∞ =＝1 -n 1 n n x na ∑∞ =， 通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1) 麦克劳林公式: 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。 麦克劳林简介： 麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。 1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin 级数展开式，并用待定系数法给予证明。 他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。 Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。 Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。 麦克劳林公式展开式： 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。 泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都 可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和 (1)a α+的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学内容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数， () n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收 敛，则称0x 是1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ， 使得1 ()()n n S x u x ∞ == ∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数． 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 12(21) n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21) n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1 (1)2(21)n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 n n n -∞ = 解：11 lim 2n n n n n a a -+→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ??? 。 4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+， 2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>> ++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1 (1)(1)4n n n n x n ∞ -=--∑证明泰勒公式
麦克劳林公式展开式
常见泰勒公式展开式
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
第四节泰勒级数与幂级数
幂级数及泰勒展开习题解答