三角形外角性质
三角形外角性质
【基础】
1、如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
2、如图，图中∠1的大小等于（）
A．40°B．50°C．60°D．70
3、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）
A．35°B．95°C．85°D．75°
4、如图，已知AB∥CD，∠E=28°，∠C=52°，则∠EAB的度数是（）
A．28° B．52°C．70°D．80°
例1、如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，则
∠ACD= ．
例2、如图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=40°，∠DFE= °．
例3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB= 度．
例4、如图所示，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，则∠E的度数为
（）
A．70° B．80°C．90° D．100°
练习
1、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AE是△ABC的外角平分线，AE交BC的延长线于点E，∠BAD=20°，∠E=50°，求∠ACD的度数
2、如图在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为．
3、如图，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M= ．
4、如图，已知∠BOF=120°，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
5、（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=72°，求∠BOC的度数（写出求解过程）；（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，当∠A=α°，∠BOC的度数是；
②如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是；（请直接写出你的结论）；
③如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角∠CBA和一个外角∠ACD的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是；（请直接写出你的结论）
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专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型(3)
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等． 直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝． 三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案
1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°， 所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°， 所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥， 所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°， 所以∠＋∠＝140°， 所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.
三角形的外角性质练习题
9.１三角形的外角 一．选择题(共１7小题) 1.如图，ｌ∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线ｍ上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（） A.２5° B.30°Ｃ.2０°Ｄ. 35° ２.将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( ） A．７5°Ｂ.95°C．1０5°D．１20° 4．如图,△ＡＢC内有一点D，且DA=ＤB＝DＣ,若∠DAB=20°,∠DAC＝３ 0°,则∠BＤC的大小是（） A.10０° B. 80°Ｃ. 7０° D.50° 5．如图所示，∠Ａ＝28°，∠ＢFＣ＝92°，∠B＝∠Ｃ，则∠BＤC的度数是（) A.8５° B.75° C.６4° D.60° ６．如图所示，l１∥l2,则下列式子中值为180°的是（） 7．如图，直线l1∥l2，AＢ⊥l1,垂足为O,BＣ与l2相交于点E,若∠1=43°,则∠2=（) Ａ.１3３° B.154° C.13６° D.123° 8.两个直角三角形如图放置，则∠BFE 与∠CAF的度数之比等于（） Ａ. 8 B. ９Ｃ. 10 Ｄ. 11 ９.如图，△ABＣ中,∠Ａ、∠B、∠Ｃ的外角分别记为α，β,γ,若α:β：γ,=3：4:5，则∠A:∠B：∠C=（） A.3:２:1 B．1:2：3Ｃ．3：4:5 D.5:4:3 １0．如图，已知DC是△ABＣ中∠ACB的外角平分线，则有（) Ａ.B BAC∠ > ∠ B.B BAC∠ = ∠ C.B BAC∠ > ∠ D.不能确定 １1．一个正方形和两个等边三角形的位置如 图所示，若∠3=５0°，则∠１+∠2=（) A．α+β+γ B. α+β﹣γC．β+γ﹣αD．α﹣β+γ
三角形外角的性质及应用
三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角 形外角 的性质及应用。 一.三角形外角的概念及特征 如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点; （2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边； （3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。 二.性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于 360 °。 三?应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是 55°和65°,这个三 角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 ° 解析：如图2，/ A 的外角为：180° 55 =125 °。 / B 的外角为：180° - 65° =115° / ACB 的外角为：55° +65 ° =120° 所以选D 。
BCD 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。，/ D=42 °，则/ E= （） 因为AB//CD 所以/仁/ B=23 ° / BED是厶EDF的外角 则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65 故选Co A. 23 例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D. 解析：延长
三角形外角定理.doc
北师大版八上第七章第五节 《三角形内角和定理2》 教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉
《三角形内角和定理2》教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉 一课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。 二基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 三基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。 四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验 具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象
的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形 外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题 【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用 【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几
三角形的外角性质练习题
三角形的外角 一．选择题（共17小题） 1．如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ） ° ° C. 20° D. 35° 2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为（ ） ° ° ° ° 4．如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ） A. 100° B. 80° C. 70° ° 5．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C ，则∠BDC 的度数是（ ） ° ° ° ° : 6．如图所示，l 1∥l 2，则下列式子中值为180°的是（ ） ` 7．如图，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为O ，BC 与l 2相交于点E ，若∠1=43°，则∠2=（ ） ° ° ° ° 8．两个直角三角形如图放置，则∠BFE 与∠CAF 的度数之比等于（ ） A ． 8 ， B ． 9 C ． 10 D ． 11 9．如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为α，β，γ，若α：β：γ，=3：4：5，则∠A ：∠B ：∠C=（ ） :2:1 :2:3 :4:5 :4:3 《 10．如图，已知DC 是△ABC 中∠ACB 的外角平分线，则有（ ） A.B BAC ∠>∠ B.B BAC ∠=∠ C.B BAC ∠>∠ 不能确定 D. . A ． α+β+γ B ． α+β﹣γ C ． β+γ﹣α D ． α﹣β+γ
11．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） 12．若 △ABC 中，2（∠A+∠C ）=3∠B ，则∠B 的外角度数为何（ ） A ． 36 [ B ． 72 C ． 108 D ． 144 13．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ） 14．若 △ABC 的内角满足：2∠A ﹣∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC 是（ ） … A ． 直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 等边三角形 D ． 无法确定 — 15．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（ ） A ． 锐角三角形 B ． 直角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 等腰三角形 · 16．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P 发出，经平面镜OB ，OA 两次反射后回到点P ，已知PQ ∥OA ，PR ∥OB ，则∠1的度数为（ ） ° ° ° ° 17．如 图，在△ABC 中，∠B=90°，∠ACB 、∠CAF 的平分线所在的直线交于点H ，则∠H 的度数是（ ） 二．填空 题（共5小题） 18．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，线段BP 、BE 三等分∠ABC ，线段CP 、CE 三等分∠ACB ，那么∠BPE 的度数是 _________ ． 19．如图，是一个六角星，其中∠AOE=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ． … A ． 90° B ． 100° , C ． 130° D ． 180° A ． · ∠1与∠2 B ． ∠2与∠3 C ． ∠1与∠3 D ． 三个角都相等 A ． 30° B ． 45° C ． 。 60° D ． 以上都有可能
三角形的外角练习题及标准答案
7．2．2 三角形的外角 基础过关作业 1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形． 2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3．如图1，x=______． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________． 5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数． 综合创新作业 7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°， 则∠EDC=______． 8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A 应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°， 李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合 格，你能说出道理吗？
9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角． 培优作业 11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系． （2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
利用三角形外角的性质解题
利用三角形外角的性质解题 三角形外角的性质，在求角的度数，以及比较角的大小方面应用较广，现举例说明. 例1 如图，在?ABC 中 ，D 是AC 延长线上一点，则BCD ∠=（ ） A.72 B.82 C.98 D.124 析解：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 BCD ∠=36 +62 =98 .答案为（C ）. 例2 如图，已知?ABC 中，40B ∠= ，32BAC ∠= ， BC 边上的高为AD ， 求CAD ∠的度数？ 解：如图，因40B ∠= ，32BAC ∠= （已知）， 1403272B BAC ∠=∠+∠=+= 所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 901907218CAD ∠=-∠=-= 所以（直角三角形，两锐角互余）. 例3 如图，AF ，AD 分别是?ABC 的高和角平分线，且36B ∠= ， 76C ∠= .求DAF ∠的度数.
解： 因为36B ∠= ，76C ∠= ， 所以180180367668BAC B C ∠=-∠-∠=--= (三角形内角和等于180 ). 因为AD 平分BAC ∠，所以 1342 BAD BAC ∠=∠= . 所以70ADF B BAD ∠=∠+∠= （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 因为AF BC ⊥，所以90AFD ∠= . 所以180180709020DAF ADF AFD ∠=-∠-∠=--= 点拨归纳：做题时，要善于从图形中看出几何元素的多重身份，如ADF ∠既是ABD ∠的外角，又是ADF ?的外角; DAF ∠既是ADF ?的内角，又是DAC ∠与FAC ∠的差，解题时要从不同的角度去观察， 这样发现题中隐藏着的关系.
《三角形的外角及其性质》教案及设计说明
七年级数学《三角形外角及其性质》 一、教学目标双向细目表 说明：1、学习内容的排列与教材的编排顺序相一致。 2、学习水平分为A、B、C、D四个等级： A：识记---了解、认识、感知、初步体会、初步学会 B：理解----说明、表达解释、懂得、领会 C：再现性情景应用---掌握、会用、归纳等 D：生成性的情景应用---会推导、证明、研究讨论、解决问题、总结评价等 3、对于每一知识要点和技能要点所需达到的学习水平，可在空格内“√”。 二、教学设计建议 （一）教材分析 本节课是上教版九年制义务教育课本七年级第二学期第十四章《三角形》第二节的第2课时。本节内容是在学生学习三角形内角和的相关知识后进行学习的。三角形和内角和外角互为邻补角，本节课从研究三角形的内角到研究三角形的外角，是对三角形认识的扩展和深化。本节课的教学重难点：掌握三角形外角的性质及运用三角形的外角的性质。 （二）学情分析
通过前面几节课的学习，学生已经掌握了三角形的基本概念，知道三角形的内角和为180°，三角形的外角与其相邻的内角是互补关系。这就为本节课的学习奠定了基础。本节课应注重渗透数学说理过程，从简单的问题中逐步培养学生运用几何语言的能力。 （三）教学过程设计 一、复习旧知 1、一个三角形有几个内角？内角间有什么数量关系？ 2、△ABC中∠A =50°，∠B=60°，求∠ACD的度数。 A B C D 3、引出三角形的外角； ——课题《14.2（2）三角形的外角及其性质》 二、新知探究 1、外角：三角形一个内角的邻补角叫做三角形的外角。 2、△ABC中一个内角相邻的外角有几个？他们有怎样的关系？一个三角形有几个外角？请画出△ABC的所有外角。 A B C D 3、问：根据上题的计算结果，请找出外角∠ACD与△ABC的三个内角间的数量关系。你有何发现？ （1）与相邻内角：∠ACD+∠ACB=180° （2）与不相邻内角：∠ACD=∠A+∠B, ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B 4、你能否对刚才发现在的结论加以说明呢？也即是：∠ACD=∠A+∠B
(人教版初中数学)三角形外角应用练习题
三角形外角应用 例 1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和 65°,这个三角形的外角不可能是（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 例 2. （宁波市中考）如图,AB//CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠E=（ ） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 例3. （2006年重庆市中考）,AB=AC,∠BAD=α,且 AE=AD,则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 例5. （2004年荆州市中考）在等边三角形中,P 为BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,3 2CD =,则△ABC 的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 6. （2002年福建省龙岩市中考）如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在BC 、AC 边上,且∠ADE=∠B,AD=DE.求证：△ADB ≌△DEC.
例7. 已知,如图,在△ABC 中,D 是三角形内一点,求证：∠BDC>∠BAC. 例8. 已知：如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,E 是AD 上一点,求证：∠DEC>∠ABC. 例9. 如图,已知：在△ABC 中,AB>AC,∠AEF=∠AFE,延长EF 与BC 的延长线交于G ,求证：)B ACB (2 1 G ∠-∠=∠. 例10. 如图,求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 练习： 1. （1996年昆明市中考）如图,α、β、γ分别是△ABC 的外角,且4:3:2::=γβα,则∠ACB 等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 2. （2004年陕西省中考）如图,在锐角三角形中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,且CD 、BE 交
八年级数学上册三角形的外角课时练习(含解析)
三角形的外角 一、选择题 1、如右图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=( ) A.120° B.115° C.110° D.105° B C E 【答案】B 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质进行计算. 解：∠ADF=∠B+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠B=45°，∠C=38°， ∴∠ADF=83°， ∠DEF=∠A+∠ADF(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠A=32°，∠ADF=83°， ∴∠DEF=115°. 故应选B 考点：三角形外角性质 2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质可得：∠ACD=∠A+∠B ，根据题意可得：∠ACD+∠A+∠B=180°，所以可得：∠ACD+∠ACD=180°，求出∠ACB=90°. 解：如下图所示，设∠ACD+∠A+∠B=180°， ∵∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)， ∴∠ACD+∠ ACD=180°， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB=90°. 故应选C.
二、填空题 3、如图，x=______。 【答案】60°. 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质列出关于x的方程，解方程求出结果. 解：根据三角形外角的性质可得： x+80=x+x+20， 解得：x=60. 故答案是60°. 考点：三角形外角的性质 4、若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形。 【答案】钝角 【解析】 试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角. 解：如下图所示，∠ACD<∠ACB， ∵∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠ACB>90°. ∴△ACB是钝角三角形. 故应选C. 考点：三角形的外角 5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。 【答案】25cm 【解析】 试题分析：根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，再根据第三条边与其中一边的长相等确定第三边的长. 解：设第三边长为xcm， 根据三角形三边关系可得：25-10 1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360° 4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10° 9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 初中数学三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1） 因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 三角形外角的性质及应用 蔡志武 阮正法 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC 的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC 的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（） A. B. C. D. 图4 解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+ （1） 因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED 而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： 所以 所以选A。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（） 外角的性质 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D 。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 【知识点2】三角形的外角性质 知识要点： 1.三角形的一个外角等于 .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 2.三角形的外角和为 . o 【典型例题】 如图，△ABC 中，∠A=50°,∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACE 平分线交于D ，求∠D 的度数。 【变式训练】 1.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度． 2 3.如图，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE，∠A=40°，则∠D 的度数是 ． 三角形． ． 8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 9.如图,在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝80°，∠C ＝46° (1)你会求∠DAE 的度数吗? (2)你能发现∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系吗? (3)若只知道∠B －∠C ＝20°，你能求出∠DAE 的度数吗? (4)∠AED 是哪个三角形的外角? C E D B A 第2题 第1题 第3题 第4题 22题1()O D C B A O 22题2()E D C B A 22题3()C E D B A 22题4() 65432122题5()765432110.如图22（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D， 利用这个结论，完成下列填空. （1）如图22题(2)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ . （2）如图22题（3），∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ （3）如图22题（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . （4）如图22题（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ . 三角形的外角性质 一、教材结构与内容简析 “三角形的外角性质”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形外角与内角的关系，也是进一步学习几何的基础。经过上一节课学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，已具备了一些相应的三角形知识的技能，这为感受、理解、抽象“三角形的外角”的概念，打下了坚实的基础。 为方便教师领会教材编写的意图与理念，开展有效的教学，更好的发展学生的空间观念，培养学生的各种能力，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流获得。从而让学生在动手操作，积极探索的活动过程中掌握知识，积累教学活动经验，发展空间观念和推理能力，不断提高自己的思维水平。基于对教材以上的认识及课程标准的要求，我拟定本节课的教学目标为： 1、知识目标： ①了解三角形的外角； ②探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2、能力目标： ①学会运用简单的说理来计算三角形相关的角； ②培养学生的实践能力和观察总结能力，体验主动探究的成功和快乐． 3、情感目标：①让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念；②体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。 教学重点：三角形的外角性质。 教学难点：运用三角形外角性质进行有关计算能准确地表达推理的过程和方法。 二、说教法 新课程标准的基本理念就是要让学生“人人学有价值的数学”。强调“教学要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。要激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们积极主动地探索，解决数学问题，发现数学规律，获得数学经验；而教师只是学生学习的组织者、引导者和合作者，在全面参加和了解学生的学习过程中起着对学生进行积极的评价，关注他们的学习方法，学习水平和情感态度，促使学生向着预定的目标发展的作用”。因此，我运用“猜一猜——量一量——拼一拼——折一折——看一看……”的教学法，让学生知道身边的数学问题随处可见，能用自己所学的知识解决生活当中的事情，培养学生的发散思维，进一步激发学生学习数学的热情。 初三数学三角形外角的性质及应用 蔡志武阮正法 http:// 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1） 因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 三角形外角性质练习 1．如图，直线a//b ，求∠A 的度数。 2. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。 3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，求∠E 3、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,且∠B＝∠1。 证明：∠2＝∠BAC C D 三角形练习题 一、填空题 1、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C＝1:2:3,则∠C＝__ ______. 2、如图:AD∥BC,AC 平分∠DAB,∠B=50°,则∠C＝__ _______. 3、两边分别为5cm 和6cm,则第三边c 的范围为__ _____. 4、若等腰三角形两边长分别为3和4,则它的周长为 ______. 5、直角三角形中,由两个锐角的平分线相交所成的钝角为___ _ __度. 6、在△ABC 中,若∠B ＋∠C ＝110°, ∠C-∠A ＝20°则∠C＝__ ____. 二、选择题 1、已知等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是( ) A.13 B.17 C. 22 D.17或22 2、以长3cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段中的三条线段为边, 可以构成三角形 的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、现有两根木棒,它们的长分别是30cm 和50cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,则应在下列四根木棒中选取( ) A.10cm 的木棒 B.20cm 的木棒; C.40cm 的木棒 D.80cm 的木棒 三、解答题 1、如图,AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线,且∠B=40°,∠C=70°,求∠DAF 的度数. 2、如图,已知∠B=38°,∠C=55°,∠DEC=23°,求∠F 的度数. B D C 第2题 B D 9.1三角形的外角 一．选择题（共17小题） 1．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（） A.25° B.30° C. 20° D. 35° 2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（） A.75° B.95° C.105° D.120° 4．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°， 则∠BDC的大小是（） A. 100° B. 80° C. 70° D.50° 5．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC的度数是（） A.85° B.75° C.64° D.60° 6．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（） 7．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=（） A.133° B.154° C.136° D.123° 8．两个直角三角形如图放置，则∠BFE 与∠CAF的度数之比等于（） A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11 9．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为α，β，γ，若α：β：γ，=3：4：5，则∠A：∠B：∠C=（） A.3:2:1 B.1:2:3 C.3:4:5 D.5:4:3 10．如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，则有（） A.B BAC∠ > ∠ B.B BAC∠ = ∠ C.B BAC∠ > ∠ D.不能确定 A ． α+β+γB ． α+β﹣γC ． β+γ﹣αD ． α﹣β+γ 11．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（） 12．若 △ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A ． 36 B ． 72 C ． 108 D ． 144 13．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（） 14．若 △ABC的内角满足：2∠A﹣∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC是（）A ． 直角三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 无法确定 15．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形 16．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经 平面 镜 OB， OA 两次 反射 后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（） A.30° B.45° C.60° D.75° 17．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，则∠H的度数是（） A ． 90°B ． 100°C ． 130°D ． 180° A ． ∠1与∠2 B ． ∠2与∠3 C ． ∠1与∠3 D ． 三个角都相 等 A30°B45°C60°D以上都有可 三角形的内角和外角和 知识点回顾：三角形的分类：按边分类；按角分类； 1.三角形性质： （1）角与角的关系； （2）边与边的关系； （3）边与角的关系； 2.三角形角平分线，中线，高线以及三角形边的垂直平分线的性质。 相关习题： 1.， 2.在△ABC中，若AB＝AC，其周长为12，则AB的取值范围是（）． A．AB＞6 B．AB＜3 C．4＜AB＜7 D．3＜AB＜6 3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，则这个三角形是（）． A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 ？ 第3题第4题第7题 4.如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC等于（） A．60°B．80°C．90°D．100° 5.已知如图，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五个角的和的度数是（） A．100°B．180°C．360°D．540° 6.等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（） A、5，6 B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能 7.— 8.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 9.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) 10.°°°° 11.如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点，则∠BDC度数是 （） A．133°B．86°C．°D．88° ^ 第8 题第 9题 第10题 12. 图中已知△ABC 中,∠A=∠ACB,CE ⊥AB 于E,CF 平分∠ACB 且∠FCE=42°,则∠ABC 度数为（ ） A ．130° B ．116° C ．128° D ．110° 13. 如图已知△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∠ABC=48°，∠ACB=84°，则∠FDB 度数为 （ ） A ．48° B ．46° C ．50° D ．52° 14. 已知,,a b c 为△ABC 的三条边，且满足2 469a b b -=--，则c 的取值范围为 。 15. 、 16. ABC 中，AB ＝AC ，且BC ＝8，BD 是AC 边长上的中线，分△ABC 的周长为两部分，已知它们 的差为2，则AB 边的长为_____________． 17. 如图， x=___ ___． 第13题 第14题 第15题 18. 《 19. 如图，△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，点F 是AB 边上一点，延长CA 到E ，连EF ，则∠1， ∠2，∠3的大小关系是_________． 20. 如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交 于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______. 21. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数． ~ 22. 如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分 线，求∠DAE 的度数。 {三角形的内角和与外角的性质(含答案)
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