河北省唐山市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含解析

唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】，

故答案为：A.

2. 设集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】集合,，

故两个集合相等.

故答案为：C.

3. 已知，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】已知,,将代入得到.

故答案为：B.

4. 两个单位向量，的夹角为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】两个单位向量，的夹角为,则代入得到.

故答案为：.

5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为

故答案为：D.

6. 已知，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意得到，，故，,故得到.

故答案为：D.

7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）

A. 求

B. 求

C. 求

D. 求

【答案】C

【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1,

A=1,s=1,i=2,

A=4,s=1+4,i=3,

A=9,s=1+4+9,i=4,

A=16,s=1+4+9+16,i=5,

依次写出s的表达式，发现规律，满足C.

故答案为：C.

8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）

A. 向左平移个单位长度

B. 向右平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度

D. 向左平移个单位长度

【答案】A

【解析】函数,

将函数的图象向做平移个单位长度即可.

故答案为：A.

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为

故答案为：A.

10. 已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为

，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据题意画出图像，得到由结论焦点到对应渐近线的距离为b得到：AF=b,故OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式得到

化简得到c=2b,故得到离心率为.

故答案为：B.

11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（）

A. 的图象关于轴对称

B. ，的最小值为

C. 有个零点

D. 有无数个极值点

【答案】D

【解析】A因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y轴对称；A 不正确；

B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;

C ,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确；

D，

化一得到，，此时满足的x值有无数个；或者根据排除法也可得到D.

故答案为：D.

点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定

函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．

12. 已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】如图，

由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，

可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点，

则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，

∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．

则AG=CG=，

过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,

再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,

∴y=，,

令f（x）=，则f′（x）=

由f′（x）=0，可得x=，

∴当x=时，f（x）max=，

∴△ABD面积的最大值为,

则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是

故答案为：B.

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．

【答案】-5

【解析】根据条件得到可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数化为，得到当目标函数过点A（-1.-1）时有最小值，代入得到值为-5.

故答案为：-5.

14. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）

【答案】-160

【解析】的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为

故答案为：-160.

15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．

【答案】

【解析】如图

，

设P（t2，t），则Q（t2，0），PQ中点H（t2，）．M，

∴直线MQ的方程为：

令x=0，可得y N=

∴则

故答案为：．

16. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是__________．

【答案】[2，2]

【解析】根据题意得到

故范围为[2，2].

故答案为：[2，2].

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知数列为单调递增数列，为其前项和，.

（1）求的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，证明：.

【答案】(1) a n＝n (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题干中所得给的式子，再写一项两式做差得到a n＋1－a n＝1，进而求出通项；（2）根据题意得到的通项，进行裂项求和.

解析：

（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，

又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．

由2S n＝a＋n得2S n＋1＝a＋n＋1，所以2S n＋1－2S n＝a－a＋1，

整理得2a n＋1＝a－a＋1，所以a＝(a n＋1－1)2．

所以a n＝a n＋1－1，即a n＋1－a n＝1，

所以{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n．

（Ⅱ）b n＝＝＝－

所以T n＝(－)＋(－)＋…＋[－]

＝－＜．