函数创新试题之“新定义型”函数
函数创新试题之“新定义型”函数
近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题——“新定义型”函数。它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数，旨在探索题型规律，提高解题的方法。
一、密切函数
例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x [a,b]，都有︱f（x）-g(x)︱≦1。则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”，[a,b]称为“密切区间”，设f(x)=x2 -3x+4 与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）
A，[3，4] B，[2，4] C，[2，3] D，[1，4]
解析：由∣f(x)-g(x)∣=∣x2-5x+7∣=x2-5x+7≦1 得2≦x ≦3,故所求密切区间可以是[2，3] ，故应选C.
二，科比函数
例2，对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a﹤,b),使当x [a,b]时，f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”。若函数f(x)=k+ 是科比函数，则实数k的取值范围是（）
A.（，＋∞）B、 C. D.
解析：因为f(x)=k+ 是增函数，若f(x)=k+ 是“科比函数”，则存在实数a,b(-2≦a﹤b),使f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根，从而方程
k=x- 有两个不同实根，令=t 则k=t2-t-2 (t≧0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知，当﹤k≦-2 时，直线y=k与曲线y=t2-t-2(t≧0)有两个不同交点，即方程k=t2-t-2有两个不等实根，故实数k的取值范围是故应选C.
三，保等比数列函数
例3，定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列﹛a n﹜、﹛f(a n)﹜仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在上的函数如下：①f(x)= x2 ; ②f(x)=2x ; ③f(x)= ; ④f(x)=ln .
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）。
A、①② B ③④ C ①③ D ②④
解析：根据“保等比数列函数”的定义逐个判断，如﹛a n﹜是等比数列，则﹛a n2﹜、﹛﹜也是等比数列，、不一定是等比数列，故应选C。
四，延拓函数
例4，已知函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F G，若对于任意的x F，都有g （x）=f（x)，则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”。已知函数f（x）=2x，（x≤ 0), 若g（x）为f（x)在R上的一个“延拓函数”，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）。
A、 B.log2︱x︱ C . D.
解析：由题意得，当x≤ 0时，g（x）=f（x）= 2x= 2-︱x︱又g（x）是偶函数，因此有g(-x)=g(x)恒成立，当x＞0 时，-x＜0, g(x)=g(-x)=2-x = 综上所述，g(x)= 故应选C。
五，符号函数
1 (x＞0)
例5，已知符号函数sgn( x)= 0 (x=0)，则函数f(x)=sgn( lnx )- lnx 的零点个数为
（）-1 (x＜0)
A、1 B, 2 C , 3 D, 4
1 (x＞1)
解析：由题意知sgn(lgx )= 0 (x=1) 在同一直角坐标系中作出y=sgn( lnx )与y=lnx 的图像，-1(0
由图可知，两函数有3个交点，所以函数的零点为3，故应选C。
六，单函数
例6，函数的定义域为A，若x1,x2 A，且f（x1）=f( x2 )时总有x1 =x2，则称f（x）为单函数。例如，函数f（x）=2x+1是单函数。下列命题：a,函数f（x）= x2(x R) 是单函数；b,指数函数f（x）=2x(x R)是单函数；c,若f（x）为单函数，x1,x2 A且x1≠x2，则f( x1) ≠ f( x2 )；d,在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。
其中的真命题是________（写出所有真命题的序号）
解析：对于a，显然f(-1)=f（1），但-1≠1，故f(x)=x2不是单函数；对于b，f(x)= 2x是单调递增函数，满足单函数的定义；对于c，该命题为定义的逆否命题，是真命题；对于d，单调函数显然满足单函数的定义，所以正确。故应填b c d .
七，非减函数
例7，函数的定义域为D，若对于任意x1,x2 D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤ f（x2），则称函数在D上为非减函数，设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
a f(0)=0 ;
b f(1-x) +f(x)=1 x [0,1];
c 当x [0, ] 时，f(x) ≥ 2x恒成立则
f( )+f( )+f( )=_________
解析：因为x [0, ],f(x)≥ 2x 恒成立，令x= 得f( )≥ ，又在f(1-x)+f(x)=1中，令x= 得f ( )= ，所以f( )=f( )，因而x [ , ] f(x)= ，从而f( )= , f( )= ，因而f( )=1-f( )，故应填上。
八，t低调函数
例8，设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x C（C A）,有x+t A，且f(x+t) ≤ f(x)，则称f（x）为C上的t低调函数。如果定义域为[0,+∞)的函数f(x)= -︱x-m2︱+m2，且f(x)为[0, +∞)上的10低调函数，那么实数m的取值范围为_______
解析：由题意可知，对于任意x＞0，f(x+10) ≤ f(x)都成立，画出函数f(x)= -︱x-m2︱+m2图像，易知f(x+10)的图像永远在f(x)的图像下方，f(x+10)的图像与x轴的右交点的横坐标为2m2 -10，只需2m2 -10≤0即可，解得，故实数m的取值范围为[ , ]
九，上界函数
例9，若f（x）≥g(x)满足恒成立，则称f(x)是g(x)的一个上界函数，如果函数f(x)=lnx 为g(x)= -lnx（t为实数）的一个上界函数，那么实数t的取值范围为_______
解析：由题意可知f(x) ≥ g(x)恒成立，即-lnx≤ lnx恒成立，因为x＞0，所以t ≤ 2xlnx 恒成立，令h(x)=2xlnx ,h’(x)=2(lnx+1), 当x (0, ），时h’(x) ＜0，所以h（x）在(0, )上为减函数；当x ( ,+∞)时，h’(x) ＞0所以h(x)在( ,+∞ )上为增函数；h（x）的最小值为h( )= ，故t ≤ .
函数定义域、值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈
⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式
二次函数新定义问题(一)(讲义及答案)
新定义问题（一）（讲义） 知识点睛 新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。 此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解．
精讲精练 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为 顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE． （1）请直接写出抛物线的解析式． （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．
2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛 物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线． （1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ； （2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin
一函数定义域定义域高考试题汇编[1]
一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为 （A ）［0，1］ （B ）（-1，1） （C ）［-1，1］ （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞） 解析：由1-x 2>0得-1 函数中的新定义问题 一、填空题 1、定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数 f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差 2 为 . 2、（2015余杭区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x；②f（x）= x2；③f（x）=2；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为． 3、（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?，均有f?x1??f?x2?kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x?? 4、（2012格致三模）已知全集为U，P??U，定义集合P的特征函数为x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。 ??1,x?P,fP?x???，对于A??U， B??U，给出下列四个结论： 0,x?eP.?U? ①对任意x?U，有feUA?x??fA?x??1； ②对任意x?U，若A??B，则fA?x??fB?x?； ③对任意x?U，有fAIB?x??fA?x??fB?x?； ④对任意x?U，有fA?B?x??fA?x??fB?x?。 其中，正确结论的序号是__________。 5、定义运算：a*b=，对于函数f（x）和g（x），函数|f（x）﹣g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（sinx*cosx，1）= ． 初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα Presented by Csuzzy，All Rights Reserved. 15新定义 §15-1 新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-． （1）写出函数21y x =-的限减系数； （2）0m >，已知()11,0y x m x x = -≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围； （3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1 Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32 y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点． ①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为． ②求k ，t 的值． （2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值． （3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数． ①直接写出a ，b 的值． ②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围． 函数的定义域解析与练 习及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 函数的定义域 1、已知函数式求定义域： 例1、求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 解： （1），即；（2），即； （3）且，即． （4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为． （5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为 ． 点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解． 2、求抽象函数的定义域 讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管 “”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围． 例2、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为， 由，∴，即的定义域为． 点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集． 例3、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴即的定义域为． 又∵的定义域为，∴，∴ 即的定义域为． 点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域． 例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0 解答： ∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b， 若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0 与函数有关的新定义题型 1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”． (1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6 x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4， 求此“路线”L 的解析式； (3)当常数k 满足1 2≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴， y 轴所围成的三角形面积的取值范围． 2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．称之为“中国结”． (1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与 相应“中国结”的坐标； (3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？ 3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比 例函数的解析式； (2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2 星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级9年级学科数学 授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题锐角三角函数的认识 教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。 教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形 课后作业详见教案 提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名： （ 注意咯，下面可是黄金部分！） 知识点1 正切 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tan A ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比） 定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识 典例 函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题 ?类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用 图4－ZT－1 1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________. 2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________． 3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”． (1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点． (2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式． 图4－ZT－2 ?类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究 4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答． 5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点． (1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标． 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2 高中数学函数的定义域测试题(含答案) 高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用． 四. 教学难点：函数性质的理解。 ［学习过程］ 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的 实际意义。 页 1 第 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） 理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 则锐角．， 高考数学函数的定义域和值域复习试题(含 答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题（含答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题及答案解析 一、选择题 1.（2０13 陕西高考）设全集为R，函数f(x)=1－x的定义域为Ｍ，则为( ) A.(－,1) Ｂ．(１，+ ) C.（－,1] D.[1,＋) B [要使f(x）=1-x有意义,须使1-x 0，即ｘ1. M=(-,1]，＝(1，+ ).] ２.函数y=13x-2+lｇ(2x-1)的定义域是（) Ａ.2３，＋B.12,+ Ｃ.２３,+ Ｄ.12，２3 Ｃ[由３x-2 0,２ｘ-1 0得x 23.］ 3.下列图形中可以表示以M={x|０x 1}为定义域,以N＝{y|０y1｝为值域的函数的图象是( ) C [由题意知，自变量的取值范围是[０，1］,函数值的取值范围也是[0,1],故可排除Ａ、B;再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x,N中都有唯一的元素与之对应,故排除D.] 4．（２014长沙模拟)下列函数中，值域是（0，+ )的是( ) A.y=x2－2x+1B．y=ｘ+2ｘ+１（ｘ(0，+ ）) C．y=１x２＋2x+１(x N）D.ｙ=1｜x+１| D ［选项A中y可等于零;选项B中y显然大于1;选项C 中ｘN,值域不是（0，+ );选项D中|x+1｜０,故y 0．] 5.已知等腰△ABＣ周长为10,则底边长ｙ关于腰长x的函数关系为y=10-２x，则函数的定义域为() Ａ.R B.{x|ｘ0} C.｛x|0 ｘ5} D.x｜52 x 5 Ｄ[由题意知ｘ０,10－2x0，2x 1０-２x即52 x ５.] 6.函数y=2ｘ-1的定义域是(-,1) [2,５),则其值域是( ) Ａ．(- ，0) 12,2 Ｂ.(- ，2] Ｃ．- ，12 [2，+ ) Ｄ．(0，＋） Ａ[∵x (- ，1）[２,5)， 故x－1(- ,0) [1，4）, 2x-1 (- ，0)１2,2.］ 7.若函数f（x)=1log3(２x+c)的定义域为12，1(1,+)，则实数c的值等于( ) A.１Ｂ.-1 C．－2 D.-1２ B [由2x+c ０且log3(2x＋c)0， 得ｘ-c２且x １-c2. 又f(ｘ)的定义域为１２,１(1,+), １-c2＝１.c=-1.] 专题突破(十) 新定义问题 1． 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图． (1)当⊙O 的半径为1时． ①分别判断点M (2，1)，N (3 2，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其 坐标； ②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围． (2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－ 3 3 x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围． 图Z10－1 2． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y ＝1 x (x >0)和y ＝x ＋1(－4 8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分） 如图，P 是∠α的边OA 上一点， 且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 ． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（ ） Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定 答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ． 答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（ ） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（ ） α 一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1 C、x≠﹣1 D、x≠1 5、（2008?乐山）函数的自变量x的取值范围为（） A、x≥﹣2 B、x＞﹣2且x≠2 C、x≥0且≠2 D、x≥﹣2且x≠2 6、能使有意义的x的取值范围是（） A、x＞﹣2 B、x≥﹣2 C、x＞0 D、x≥﹣2且x≠0 二、填空题（共6小题） 7、（2011?黑龙江）函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 8、（2007?黄石）函数的自变量取值范围是_________． 9、求使代数式有意义的x的整数值_________． 10、函数y=+（x﹣1）0自变量的取值范围是_________． 11、函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 12、写出一个y关于x的函数关系式，使自变量x的取值范围是x≥2且x≠3，则这个函数关系式可以是_________． 答案与评分标准 一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 考点：函数自变量的取值范围。 专题：常规题型。 分析：根据被开方数x+3大于等于0，分母x不等于0，列式求解即可． 解答：解：根据题意得，， 解得x≥﹣3，且x≠0． 故选C． 点评：本题主要考查了函数自变量的取值范围，被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可，是基础题，比较简单． 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．解答：解：根据题意得：x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选B． 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：立方根的被开方数可以是任意数，不用考虑取值范围，只让分式的分母不为0列式求值即可． 解答：解：由题意得：x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故选C． 点评：用到的知识点为：立方根的被开方数可以是任意数；分式有意义，分母不为0． 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域 三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是 3 实数b的取值范围． 变式 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 例3．如图1，抛物线y =ax 2 +bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高． （1）抛物线2 12 y x = 对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2 +3（a ＞0）对应的碟宽为 ； （2）抛物线2 543 y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1， F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1 2 ，且F n 的碟顶 是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式； ②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。函数中的新定义问题
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