三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)
三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （2009年11月19日）
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin
tan
tan
tan
1 tan tan
令
sin2
2sincos
令 cos2
cos 2
sin 2
2cos 2 112sin 2
cos 2
＝
1+cos2
2
sin 2 ＝
1cos2
2
tan2
2tan
1 tan 2
如（）下列各式中，值为1
的是 A 、sin15cos15 、 cos 2 sin 2 C 、 1 2
B 12
12
tan22.5 D 、 1 cos30 （答：C ）；
1tan 2
22.5
2 0，命题Q ：tanA
tanB 0，则P 是Q 的 （2）命题P ：tan(A B)
A 、充要条件
B 、充分不必要条
件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；
（3）已知sin(
)cos cos( )sin
3 ，那么cos2 的值为____（答： 7 ）
；
5 25
（4）
1
3
的值是______（答：4）；
sin10
sin80
(5)已知tan1100
a ，求tan500
的值（用a 表示）甲求得的结果是a
3
，乙求得的结 1 3a
果是1a 2
2a ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换. 如 ( ) ( ) ，2 ( )( )，
2( ) ( )， 2 2 ，
2 2 2 等）
，
如（1）已知tan( ) 2 ，tan( ) 1 ，那么
tan( )的值是_____（答： 3
）；
5 4 4 1 4 2 22
（2）已知0 ，且cos( ) ，sin( ) )的
2 2 9 ，求cos(
值（答：490
2 3 3 ）；（3）已知, 为锐角，sin
x,cos y ，cos( ) ，则y 与 729
5 x 的函数关系为______（答：y 31
x 2
4x(3 x 1) ）
5
5 5
(2)三角函数名互化(切化弦)，
2010级高三数学第1页
如（1）求值sin50(1
3tan10)（答：1）；
（2）已知sin
cos 1,tan( ) 2
，求tan(
2)的值（答：1
） 1 cos2 3 8 (3)公式变形使用（tan tan tan 1tantan 。
如（1）已知A 、B 为锐角，且满足tanAtanB
tanA tanB 1，则cos(A
B)＝_____
（答：
2 ）；
2
(2)设 ABC 中，tanA tanB 3 3tanAtanB ，sinAcosA 3 ，则此
三角形是____三角形（答：等边） 4
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos 2 1 cos2 ，sin 2
1cos2 与升幂公
式： 2 3 2 1cos2 2cos 2
，1 cos2 2sin 2
)。如(1)若 (, )，化简 2 1 1 1 1 为_____（答：sin ）；（2）函数f(x)
5sinxcosx 2
2 2 2 cos2 53cosx 2 2 5 3(x R)的单调递增区间为 （答：[k ,k 5
](kZ)）
2 12 12
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)
sin tan （答：sin ）；（2）求证：1 sin 1 tan
2
；（3）化简：
cot csc 1 2sin 2 2 1 tan 2
1
2cos 4
x 2cos 2
x
2（答：1
cos2x ）
2tan( 4 x)sin 2 ( 4 x) 2
(6)常值变换主要指“1”的变换（1sin 2
x cos 2x sec 2 xtan 2
x tanx cotx
tan 4 sin 2 等），如已知tan 2 ，求sin sin cos 3cos （答： 5
2 2 3
）. (7)正余弦“三兄妹—sinxcosx 、sinxcosx ”的内存联系――“知一求二”，如（1）若
sinx cosx t ，则sinxcosx t 2
1
)，特别提醒：这里t [ 2, 2]；（2） __（答： 2
若 (0, ),si
n cos 1，求tan 的值。（答： 4
7）；（3）已知 2sin 2
2 3
sin2 k( )，试用k 表示sin
cos 的值
（答： 1 k ）。 1 tan 2 4
3、辅助角公式中辅助角的确定：asinx bcosx a 2 b 2
sin x
(其中 角所在的象
限由a,
b 的符号确定，
角的值由tan
b
确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方
a
程sinx 3cosx c有实数解，则c的取值范围是___________（.答：[－2,2]）；（2）当函数
2010级高三数学第2页
y 2cosx 3sinx 取得最大值时，tanx 的值是______(答： 3
)；（3）如果 2
f x si
n x 2cos(x )是奇函数，则tan =(答：－2)；（4
）求值：
3 1 64sin 2
20________答(：32)
sin 220 cos 2
20
4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有 二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数
值）。
如（1）若 , (0, )，且tan
、tan 是方程x 2
5x6
0的两根，则求 的值______（答： 3
）；（2）ABC 中，3sinA 4cosB 6,4sin B3cos A1，则
C ＝_______（答： 4
3 ）；（3）若0 2 且sin sin sin 0，cos cos cos0，
的值（答：2
求
）. 5、. 3 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是
锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝
角
任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理：a
b c R R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的
sinA sinBsinC 2( a b
,sinC
一些变式：i a b c sinA sinBsinC ；ii
sinA ,sinB c 2R 2R a 2RsinA,b
2RsinB,b 2RsinC ；②已知三角形两边一对角，求解三角形
；iii 2R
时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两
解.
(3)余弦定理：a 2
b 2
c 2 2bccosA,cosA b 2 c 2 a 2 等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状. 2bc
(4) 面积公式： 1 1 1 （其中 为三角形内切圆半径）.如 S 2ah a 2absinC
2r(ab c) r ABC 中，若sin 2
Acos 2B cos 2Asin 2
Bsin 2C ，判断 ABC 的形状（答：直角三角
形）。
特别提醒 ：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
A B C
这个特殊性： A B C,sin(A AB C ；（2）求解三角形中含有边角混合关系
B)sinC,sin 2 cos 2 AB a 、b 1 ， 的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（）ABC 中，、的对边分别是
且A=60 ,a 6,b 4，那么满足条件的ABC A 、有一个解 B 、有两个解 C 、无解
D 、不能确定（答：C ）；（2）在ABC 中，A ＞B 是sinA
sinB 成立的_____条件（答：充要）；
（3）在 ABC 中， (1 tanA)(1 tanB)2 ，
则 log 2sinC 1 ABC ＝ （答： ）； 在
2 (4)
中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a
bc)(sinAsinB sinC) 3asinB，则
＝（答
：
）；（5）在
ABC
中，若其面积
a2b2c2
（答：
，则
C ____60 S
4 3
C=____ 30）；（6）在ABC中，A60 ,b1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径
2010级高三数学第3页
是_______（答：239）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
13
B C=，b2 1 9
a 3,cosA ,则cos2c2的最大值为（答：; ）；（8）在△
3 2 3 2
ABC 中
AB=1
，，则角
C
的取值范围是（答：0C ）；（）设
O
是锐角三角形BC=29
6
ABC的外心，若C 75，且AOB,BOC, COA的面积满足关系式
S AOB S BOC 3S
COA，求A（答：45）．
两角和与差的三角函数（2009年11月20日）
例1．求
［2sin50°+sin10(1+°3tan10°)］·2sin280的值.
解：原式=2sin50 sin10
3sin10
1 2sin80
cos1
=(2sin50sin10 cos10 3sin10)2sin80
cos10
1cos10 3sin10
= 2sin5
02sin10 2 2 2cos10
cos10
= 2sin5
2sin10sin40
2cos10
cos10
=2sin602cos1
0 22sin60
cos10
= 22
3
6. 2
变式训练1：(1)已
知∈(,)，
sin= 3
,则
tan()等于（
2 5 4
1
B.7
C.－1
D.－7
A.
7
7
(2)sin163sin223°+sin253°sin313°等°
于（）
A.－1
B. 1
C.－ 3
D. 3
2 2 2 2
解：(1)A (2)B
例2.已知α(，3)，β(0，),cos(α－)＝3，sin(3＋β)＝5
4 4 4 4
5 4 13
解：∵α－＋3＋β＝α＋β
＋2
4 4
α∈(
3
β∈(0,
1
sinx1
,) 1
4 4
3
∴α
－
∈(0
, ) β＋3∈(3,
4 24 4
）
，求sin(αβ)＋的值．
2010级高三数学第4页
∴sin(－α)＝4cos(3)＝－12
4 5 4 13 ∴sin(＋αβ)＝－cos[＋(α＋β)]
2
＝－cos[(－
α)＋(3)]＝56
4 4 65
变式训练2：设cos（－）=－1，sin
（
2
－β）=2，且π＜＜π，0＜β＜π，
2 9
3 2 2 求cos（+β）.
解：∵π＜＜π，0＜β＜π，∴π＜α－＜π，－π＜－β＜π.
2 2 4 2 4 2 2
故由cos
（－）=－1，得sin（α－）=45.
2 9 29
由sin（－β）=2，得cos
（－β）= 5.∴cos =cos［（－）－（－β）］
2 3 2 3 2 2 2 =cos( )cos( )sin( )sin( )=
1 5
2 4 5
9 3 3 9
2 2 2 2
2
7 5 2 7 5
∴cos（ +β）=2cos －1=2
27 2 27
239
-1=－.
例3.若sinA=5,sinB=10,且A,B均为钝角,求A+B的值.
5 10
解∵A、B均为钝角且sinA=5
,sinB
= 10，5 10
∴cosA=- 1sin2A=- 2 =-25，
5 5
cosB=-1 sin2B=-3=-310，
1010
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
= 25×310-5×10= 2 ①
5 10 5 10 2
又
∵＜A＜, ＜B＜,
2 2
∴＜A+B＜2 ②
由①②知，A+B=7.
4
2AC 7
变式训练3：在△ABC中，角A、B、C满足4sin--cos2B=,求角B的度数.
2 2
解在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin2AC-cos2B=7,
2 2
2010级高三数学第5页
得 1cos(AC) 2 7 ,
4·
2 -2cosB+1= 2 2
所以4cosB-4cosB+1=0.
于是cosB=1
,B=60.° 2 2 2 2 2 1 ·cos2.
例4．化简sin ·sin +cos
cos- cos2 2
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin 2 ·sin
2 +cos 2 ·cos 2
-
1·(2cos 2 -1)(2cos ·2 -1) 2
=sin 2 ·sin 2 +cos 2 ·cos 2 - 1 (4cos 2 ·cos 2 -2cos 2 -2cos 2
+1) 2
=sin 2 ·sin
2 -cos 2 ·cos 2 +cos 2 +cos 2
-1 2
=sin 2 ·sin 2 +cos 2 ·sin
2 +cos 2
-1 2 =sin 2
+cos 2
-1
=1-1=1
. 2 2 2 方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin 2
·sin 2 +(1-sin 2 )cos ·2
-1cos2·cos2 2
=cos 2 -sin 2 (cos 2 -sin 2
)-1cos2 ·cos2 2
=cos 2 -sin 2
·cos2 -1cos2 ·cos2 2 =cos 2 -cos2 ·sin 2 1 cos2
2
=1
cos2 -cos2·sin 2 1
(1 2sin 2
) 2 2
=1
cos2 -1
cos2 =1
. 2 2 2
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降
次）
原式= 1cos2 1 cos2 + 1 cos2 1 cos2 1 cos2 ·cos2 2 · 2 2 · 2 - 2
=1(1+cos2 ·cos2 -cos2 -cos2 )+1(1+cos2 ·cos2 +cos2 +cos2)-1·cos2 ·cos2=1. 4 4 2 2
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配
方）
原式=(sin ·si n -cos ·co s )2
+2sin ·si
n ·cos ·cos -
1 cos
2 ·cos2 2
=cos2(+ )
+1sin2·sin2 - 1cos2 ·cos2
2 2
=cos2(+ )-1·cos(2+2 )
2
=cos2(+ )
- 1·［2cos2(+ )-1］=1.
2 2
变式训练4：化简：（1）2sin x +6cos x ;
4 4
2010级高三数学第6页
(2）
2cos21
.
2
2tan
si
n
4
4
解（1）原式=2 21
x
3
x sin cos
2 4 2 4
=2 2 sinsin x co
s cos x
6 4 6 4
=2 2 cos x =2 2cos(x-).
6 4 12
（2）原式=
cos2 cos2
=1. tan
=
1
1 cos
2 cos2
sin2)
1 tan
(1
2 1sin2
二倍角的正弦、余弦、正切（2009年11月21日）
sin40(12cos40) 例1.求值：
cos401
2cos240
sin40 sin80
解：原式＝cos40cos80
sin(60 20) sin(6
0 20)
3
＝cos(60 20) cos(6
020)＝
变式训练1：(cos si
n )(cos＋sin)＝（）
12 1212 12
A．－3B．－1C．1D．3
2 2 2 2 解：D
例2．已知α为锐角，且tan1，求sin2cos sin 的值.
2 sin2cos2 解：∵α为锐
角
∴sin2cos si
n ＝sin
(2cos
21)
sin2cos2 2si
n coscos2
＝1＝1 tan2＝5
cos 4
2cos2 1
变式训练2：化
简：
2tan() sin2()
4 4
2010级高三数学第7页
解：原式＝
cos2 ＝1 2sin( ) 4 co s 2 ( )
cos( ) 4
4
例3．已知f(x) 3sin 2
x sinxcosx ；
(1)求f(25 )的值； (2)设 (0, )
, f() 1 3
，求sin α的值． 6 2 4 2 25 1 co s 25 3
解：（1）∵sin
2 6 2 6
∴f( 25 ) 3cos 2
25 si n 25 co
s 25 0
6 6 6 6 （2）f(x) 3
cos2x 3 1
sin2x
2 2 2
∴f( a 3 1 3 1 3 ) cos sin
2 4 2 2 2 2
16sin22－4sin －α11＝0 解得
sin 1 3 5 8
∵2 (0, ) sin 0 故sin 1 3 5
8
变式训练3：已知
sin(
)＝1 ，求cos(2 2 )的值． 6 3 3
解：cos(2
＋2α)＝2cos 2
(
＋α)－1
3 3
＝2sin 2
(－α)－1＝－7
6 9
例4．已知sin 2
2α＋
sin 2αcos －αcos2α＝1，α(0， )，求sin 、αtan α的值． 2
解：由已知得
sin 2
2α＋
sin2 αcos －2cos α2
α＝0
即(sin2＋α2cos α)(sin2－cos αα)＝0
cos 2
α(1＋
sin α)(2sin －1)＝α0 ∵α∈(0， )cos α≠sin0α≠－1
2
∴2sin α＝
1
sin α＝1
∴tan ＝α3 2 3
变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列(
[0,2])，且sin α、sin β、sinr 也成等比数列，
求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列
∴sin sinr sin2sin4 cos2cos 22 1
sin sin sin sin2
即2cos22 cos 10，解得cosα＝1或cos 1
2
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
2010级高三数学第8页
当
cos 1时，∵2∈[0,2 π∴]2 2 或2 2
2 3 3
∴ 2 , 4 ,r 8或 4 , 8 ,r 16
3 3 3 3 3 3
简单的三角恒等变换（2009年11月22日）
例1：不查表求值2cos10sin20 =．
cos20
例2：已知sin x2cos x0
2 2
（1）求tanx的值；
（2）求
cos2x
的值．2cos(
4
x)sinx
解析：（1）由sin x2cos x0, tan x2，
2 2 2
2tan x
224
tanx
2
2x 1 22
．
1 tan
3
2
（2）原式＝
cos2x sin2x (cosxsinx)(cosxsinx)
2cosx2sinx)sinx (cosxsinx)sinx
2(
22
cosx sinx cotx1( 3) 1 1 ．
sinx 4 4 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.
例3.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)
2010级高三数学第9页
设向量a (cos,sin),b(cos,sin)，且0 ,若ab
4
4 ，tan
，
5
3
求 tan 的值。
【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
a b co
s cos sin
sin 4 5
cos( ) 4 5 又 0 0 si n(
- )=- 3 5
tan( - )=- 3
4
又 tan
=4
3
tan(
)tan
3 4 7 ta n tan[( ) ]
4 3
1tan( )tan
3 4 24
1
( )
4 3
【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换
、例4．(2007四·川)已知cos 1
,cos( ) 13
,且0< < <,
7
14 2 (Ⅰ)求tan2 的值.（Ⅱ）求.
【解题思路】由同角关系求出tan 再求tan2 ；又
结合角 的范围定
角。
1
1 2 3 [解析]（Ⅰ）由cos ，得sin 1 cos 2 1 4 ,0 7
7
7 2
sin
4 37
3，于是
tan2 2tan
2 4
3 8 3
∴
tan
7 4
1tan 2
2 47
cos
1
1 4
3 （Ⅱ）由0 ，得0
2
2
13
，∴sin
2
又∵
cos 1cos 2
1 13 3 3
14
14 14 由
得：cos
cos
coscos sinsin 1 13 4 3 3 3 1,所以
7 14 7 14 2
3
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
2010级高三数学第10页
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.
例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C
高中解三角形题型大汇总
解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
解三角形题型总结原创
解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.
四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳 一、比例的性质： 二、成比例线段的概念： 1．比例的项： 在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段： 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割： 如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 A
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下 全全 ． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则 AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF AB AC = ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC = ，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可． 四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义
高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
《解三角形》常见题型总结
《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解： 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75， ∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的
取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B= 45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、 【点拨】 观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理 【解题策略】 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
高考中《解三角形》题型归纳
1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .
2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π
(完整版)人教版七年级数学三角形知识点归纳和常见题型总结,推荐文档
教案 学生姓名：授课教师：所授科目：初中数学学生年级：七年级课次： 课时：上课时间： 教学内容 三角形知识点归纳和常见题型总结 7.1与三角形有关的线段 7.1.1三角形的边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边. 7.1.2三角形的高、中线和角平分线(等腰三角形的高中线角平分线所具有的特殊特征?) 7.1.3三角形的稳定性 三角形具有稳定性。 常见题型 1．如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是； 2．等腰三角形一边等于2，另一边等于5，则周长是； 3．一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为 ……………………………………………………………………………（）（A）2cm （B）8cm （C）2cm或8cm （D）10cm 4．已知三角形的一边为5cm,另一边为7cm，则第三边得取值范围为。 5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是 （） A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4 6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 （） A、5 B、6 C、7 D、8 7.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，周长为36cm，求此三角形三边的长。 8.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】
必修五解三角形题型归纳
一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
(完整版)全等三角形题型总结材料
全等三角形的判定题型 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC. (答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中 ()AD BC AC BD CD DC ?=?=??=? 公共边 ∴△ACD ≌△BDC （SSS ） ∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且 AE ＝12 （AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. (答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ， ∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =??∠=∠??? ∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12 （AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ， ∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF 在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =??∠=∠??=? 角平分线定义） ∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D ∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角” 例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM. 证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2 在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠??=??∠=∠? ∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN
解三角形常见题型归纳
解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，
人教版 八年级上册 三角形 知识点及题型总结
第十一章三角形的知识点及题型总结 一、三角形的认识 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 分类： 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形） 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形） 三边都不相等的三角形 按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 例题1 图1中共几个三角形。 例题2 下列说法正确的是（） A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形是等边三角形 D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
二、与三角形有关的边 三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（） A.3，4，5 B.4，4，8 C.3，7，10 D.10，4，5 例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（） A.1 2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30°高三第一轮复习解三角形题型总结