停车场 数学建模

停车场泊车位模型

摘要

现如今随着机动车辆的增加，车辆停放困难的问题逐渐加重，我们现在就来讨论New England的一个镇上的某停车场为场景的数学模型。

对单个停车位进行分析得出车位最佳角度，然后对整个停车区域进行规划得出车位布局，再用模糊评判来进行停车位效度评价，比较好的解决了问题。

在对停车场泊车位优化设计的模型中，我们考虑一种把车间距空间并入车辆所在的空间的方式，形成一个矩形，因其可以在空间无间隙密铺从而简化分析过程。通过分析单个车辆进入泊车位的车辆状态得到车辆的最小转弯半径，再通过非整数规划得到单个车位最佳设计角度，然后拓展到整个规划区域，最后得出停车场泊车位的整个规划，最终的设计方案总共能够提供98个泊车位，空间时间利用效率较高。

对停车场的车位效度评价，采用模糊评价模型，从停车场的安全性、便捷性和效率性三个方面来建立效度评价指标体系，得到三个一级指标，再从进出停车场、进出停车位和停车场内行车等方面考虑建立二级指标，得出比较全面的效度评价指标体系，最后再根据指标体系用层次分析法和模糊评价来进行车位效度评价。

关键词：层次分析模糊评价转弯半径停车角度

1、问题的叙述

在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。

容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。

2、问题分析

一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一

定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”，而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的问题就是要确定在满足车辆能够自由进出的实际需求下，如何进行停车位置和车行通道的设计，才能够停放更多的车辆，从而做到既方便停车又能获得最大的经济效益。通过对单个停车位进行分析，得到每辆车占据的停车场面积函数，由车辆所占的停车位面积和所占通道面积两部分组成，面积函数可以化为角度的一次函数，再对面积函数进行数学求解可以到车位最佳设计角度。把单个车位的设计模型拓展开到整个规划区域，排列得到规划区域的车位设计。

对停车场的效度评价，评价一个停车场停车位设计的好坏，还与整个停车场有关。对一个停车场的评价，首先考虑到停车是否安全，包括进出停车场行车过程的安全程度和停车安全程度，这里主要考虑停车过程的安全程度。其次，要考虑到停车场的效率，如果停车场空间利用率低，则不能充分利用停车场的资源，这样停车场的利用率肯定会比较低，效度评价也会不好，同样，如果进入停车场泊车需要等待很长时间，那么这个停车场肯定效度不好，所以时间和空间的利用率直接关系到停车场的效率性。另外，去停车场泊车的方便程度也与停车场的效度密切相关。

3、模型假设和符号说明

3.1模型假设

1）进入停车场的车型只考虑小型车，小型车的详细指标参见附录二。

2）假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。

最大特征根

4、模型建立

4.1停车场泊位规划模型

4.1.1单辆车停车位最佳角度

考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也

是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =-=米，如图1所示。

对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边

是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为(0)2

πθθ≤≤，其中2

πθ=便是车辆垂直从通道驶入车位，0θ=就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图2所示。

图1

上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯θ角度驶入车位的。我们来

具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图3，其中1C 为最小转弯半径，R 为通道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为1C 的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为2C 的圆周上随之移动，然后以θ角度进入停车位，所以通道的最小宽度12cos R C C θ=-。

在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，

我们来看一下一排车位之间的各个数据，见图4。

图3

图

每辆车均以角度θ停放，用W 表示小轿车停车位宽度，L 表示小轿车停

车位长度（这里L 的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使用），o L 表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车角θ的函数，且有

sin W C W θ

= 1sin cos 2

L W L C C θθ=+ 01(cot )cos 2

L W L C C θθ=+ 11cos 2W L C θ= 现在按照图4所示，计算一下每辆车占据的停车场面积()S θ.考虑最佳

排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积012

L L ?，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为W L ?，另外，它所占的通道的面积为W R ?。考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：

()212cos cos 122sin 2sin 2sin W W W W L C C C C C S WL WR C C θθθθθθ

=+=++- （1） 我们的目标就是求出()S θ的最小值。

将1 5.5C =米，2 3.8C =米，5L C =米， 2.5W C =米代人（1）式，可得 () 6.875 1.625cos 12.5sin sin S θθθθ=+-，()21.625 6.875cos sin S θθθ

-'=，

图4

所以当 1.62513cos 6.87555

θ==，即76.33θ?≈时，()S θ达到最小，且(){}min 19.18S θ=平方米。

需要说明的是，当0θ=时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。

上述对车位的局部分析表明，当停车位与通道夹角76.33θ?≈时，可以使每单位车辆占据停车场的面积达到最小。

4.1.2整体车位规划

根据中华人民共和国行业标准中汽车库建筑设计规范（Design Code for

Garage JGJ100-98）可知汽车与汽车、墙、柱、护栏之间最小净距如下表：

5、模型的求解

图6为某公共场所附设的停车场，它是一个长90米，宽45米的矩形区域，该矩形区域的四个角落有照明灯设置，其占据矩形角上的形状为边长2.5米正方形，见图6的星号区域。区域南边，西边，北边是围墙，东边是马路，这是可以作为停车场出入口的唯一的一条边。根据对当地实际情况的调查，该停车场位设计应考虑5至6个大型客车车位，其余都作为小轿车车位设计。现在我们就按照上述要求来对这块停车场进行车位的具体安排。

90米的停车场长边可以当作足够长的边来看待，我们将90米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的长边平行。在理想情况下，根据第一部分讨论可知，最佳设计下的车位长度为：

1sin cos 5sin 76.33 1.25cos76.33 5.1542

L W L C C θθ??=+=+=（米） 停车场通道宽度为：

12cos 5.5 3.8cos 76.33 4.602R C C θ?=-=-=（米），

所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度约为：

214.91L R +=（米）

于是，45米宽可以考虑安置三组这样的车位，如图6的Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。

在小轿车的总体布局确定下来后，我们再来具体确定大型客车的车位。考虑到大型车的转弯半径比较大，借用专门为小轿车车位设计的通道是肯定不行的。相对来说，大型客车停车位只占总停车位的很小一部分，在设计停车场的位置市，为了节省面积以增加车位数，应该将所有大客车位置放在一块，同样以矩形并排的形式放置。大客车在停车场中的停放方式也可以采用直角停放的停车方式，并按照其特殊的位置设置特殊宽度的通道。另外考虑到其进出上的困难情况，一般可安置在停车场的出口部分，例如，将其安排在东边靠马路处（注：东边临街，没有围墙），且垂直东边的马路横向占用小轿车的车位设置6

个大型客车车位，45

大客车可直接由马路开进停车位，见图6的右边6个横向车位。

剩下的事情就是得解决出入口问题了，由于只能在东边设置出入口，并且Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三组区域为相互能借助对方区域的车位排列位置设置，通道形式方向应该间隔，即Ⅰ向东，Ⅱ向西，Ⅲ向东，或者Ⅰ向西，Ⅱ向东，Ⅲ向西。为此，必须在停车场的最西边设置南北走向的一排通道，以便让Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区车位的车辆都能够换向出入，具体可以参照图6的设置。

最后，考虑到既然在最西边已经设置了南北走向的一排通道，我们可以在该通道的西边设置一排车位，此时该车位设计的车辆出入可以占用南北通道，所以这排车位的设计是最合理的，如图6中的区域Ⅳ.

根据如上的分析，我们对该停车场的车位大致设计成图 6.东边的中部为入口，北部和南部为出口，这样，即使在车辆较多的时候不至于难以驶出，通道方向也如图6所示。大型客车的车位已经确定为6个，小轿车车位的个数我们将根据Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的车位角度θ进行变化。

由于东西走向的通道和南北走向通道已经是垂直拐弯，所以毫无疑问，区域Ⅳ的车位将垂直排列，去掉两边照明灯设置后西边宽度为40米，正好可以设置16个车位（2.5米宽和5米长），垂直于西边。我们可以计算出西边通道的宽度为12cos 5.52R C C π

=-=（米）

。考虑到对称性质，我们设横向的6排的小轿车位个数分别是1X ，2X ，2X ，2X ，2X ，1X 个，并建立如下的小轿车车位个数模型：

12max 2416X X X =++

1020325 2.5905 5.5290..63cos 450,1,202W L W i B L X W L X W L B s t L R C X i θπθ≤??+++≤??++++≤??++≤?>=??≤≤??且为整数 （4） 将公式s i n W C W θ=，1sin cos 2L W L C C θθ=+，01(cot )cos 2

L W L C C θθ=+，12cos R C C θ=-和数据5L C =, 2.5W C =,1 5.5C =，2 3.8C =，12.5L B =，3W B =分

别代人（4）式，化简后可得：

12max 2416X X X =++ 21

221820sin 5cos 33sin 2sin cos 0.5cos 26.8sin 4sin cos cos ..300sin 14cos 2850,1,202

i X X s t X i θθθθθθθθθθθθπθ≤+??≤--??≤--??-≤?>=??≤≤??且为整数 （5） 对于模型（5），如直接利用计算机编程求解会遇到一些麻烦，先是涉及θ的变化，然后又涉及1X 和2X 。为此，我们先用微积分知识来讨论一下。

对于第一个限制条件1820sin 5cos θθ≤+，设()120sin 5cos f θθθ=+，易求

得 ()120cos 5sin f θθθ'=- 当1tan 4θ=时，函数有唯一的驻点，所以()1f θ在0,4π??????

内的最大值为()1111max 0,arctan ,1844f f f π??????≥?? ? ??????

? 于是，θ的取值范围应限制在区间,42ππ??????内，容易发现当,42ππθ??∈????

时， 20sin 5cos θθ+，233sin 2sin cos 0.5cos θθθθ--

226.8sin 4sin cos cos θθθθ--，300sin 14cos θθ-

都为严格单调递增函数，这是求上面模型解的关键所在。只要求出

1820sin 5cos θθ≤+和300sin 14cos 285θθ-≤

的解集的交集，然后选取该交集中最大的θ即可，记此最大的θ为0θ，取

21000033sin 2sin cos 0.5cos 31X θθθθ??=--=??

和22000026.8sin 4sin cos cos 23X θθθθ??=--=??

模型的解就得到了（式中[]...表示取整运算）。

利用数值计算或者计算机编程容易求出1820sin 5cos θθ≤+的解集为

46.78890θ??≤≤，300sin 14cos 285θθ-≤的解集为4574.288θ??≤≤，于是

454.78874.28θ?≤≤

，取 74.288θ?=

21000033sin 2sin cos 0.5cos 31X θθθθ??=--=??

22000026.8sin 4sin cos cos 23X θθθθ??=--=??

所以最后得到小轿车车位数目应该为170个，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域的停车位方位角可取74?左右。

6、结果的分析检验

1、优点

1）巧妙地对泊车位进行了抽象处理，提出了车辆、、间距、车位一体化的概念，为构建模型提供了极大的便捷。

2）在对停车场进行效度评价时把模糊综合评价法与层次分析法结合在一起，很巧妙地处理了复杂系统的评价，而且提高了评价的可靠性。

3）在度量不确定指标时采用了稳健性原则，对于不确定的指标给予较低的评价，以最大程度保证稳定性。

4）本文提出的模糊综合模型对停车场的效度进行评估可以将难以量化

的因素进行量化，且将各个指标的不确定性通过模糊数学的方法使其变为确定性指标。

2.缺点

1）在评价停车场效度时用的主要是主观评价法，难免可能产生误差，

有失客观性。

2）在两两比较矩阵的确定上，虽然是专家打分，但是仍存在一定的主

观性。

3）模糊评判模型结果中各因素权重相差不大，对最大隶属原则应用优

点欠妥。

7、参考文献：

[1] 何文章，宋作忠，数学建模与实验[M].哈尔滨工程大学出版社，2002

[2] 周明，孙树栋，遗传算法原理及应用[M]。北京：国防工业出版社，1999

[3] Williams H P.Model Building in Mathematical Programming.John Wiley &Sons,1978

[4] 宋作忠，何文章，基于遗传算法的交易中心停车场优化设计[J].数学的实践与认识，2004，1

东华理工大学

数学建模一周论文论文题目：停车场的优化与设计

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2011年12月29日