第14讲--立体几何中的有关计算

数学高考综合能力题选讲14

立体几何中的有关计算

题型预测

立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．

例选讲

例1 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，

21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．

（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小；

（2）求二面角B AC E --1的大小； （3）求三棱锥E D C A 11-的体积．

讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面E D A 11的一条垂线．不难发现，AE 正为所求．

由长方体1111D C B A ABCD -知：1111A ABB A D 面⊥，又11A ABB AE 面?，所以，

AE A D ⊥11．

在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1=AB ，所以，21==E A AE ，所以，AE A 1?为等腰直角三角形，AE EA ⊥1．

所以，⊥AE 面E D A 11．

所以，AE A 1∠就是直线1AA 与平面E D A 11所成的角，为?45．

（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．

C

A C 1

注意到

1

1BCC B AB 面⊥，所以，面

⊥1ABC 11BCC B 面，所以，只需在11BCC B 面过点E 作1BC EF ⊥于F ，则⊥EF 面1ABC ．

过F 作1AC FG ⊥于G ，连EG ，则EGF ∠就是二面

角B AC E --1的平面角．

在1EBC ?中，5

5

21111

1

=

?==

?BC B C EB BC S EF EBC ，

所以，5

532211=

-=EF E C F C ．

在1ABC ?中，10

30

sin 1111=

?

=∠?=AC AB F C G FC F C FG ． 在EFG Rt ?中，3

6

tan ==

∠FG EF EGF ． 所以，二面角B AC E --1的平面角的大小为3

6

arctan

．

（3）要求三棱锥E D C A 11-的体积，注意到（2）中已经求出了点E 到平面

11D AC 的距离EF ．所以，

6

1

613111111111=??=?==?--EF CD AD EF S V V D AC D AC E E D C A ．

另一方面，也可以利用等积转化．

因为11//C D AB ，所以，//AB E D C 11面．所以，点A 到平E D C 11面的距离就

等于点B 到平E D C 11面的距离．所以，

61

61311111111111111=??=?===?---C D B C EB C D S V V V EBC EBC D E D C B E D C A ．

点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．

A

C A C 1

例2 如图：三棱台111C B A ABC -中，侧棱1

CC ⊥底面ABC ，?=∠120ACB ，a BC a AC 2,==，

a C B =11，直线1AB 与1CC 所成的角等于60°．

（1）求二面角B AC B --1的大小； （2）求点B 到平面AC B 1的距离．

讲解 无论从已知（直线1AB 与1

CC 所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角B AC B --1）的角度，过1B 作

1CC 的平行线都是当然之举．

在平面CB C B 11中，过1B 作C C D B 11//交CB 于点D ，连接AD ，则1ADB ∠就是直线1AB 与1CC 所成的角．所以，

?=∠601ADB ．

又因为1CC ⊥底面ABC ，所以，D B 1⊥底面ABC ．

在平面ABC 过点D 作AC DE ⊥于E ，连E B 1，则AC E B ⊥1，所以，ED B 1∠就是二面角B AC B --1的平面角． 在ACD ?中，a CD AC CD AC AD 3120cos 222=??-+=． 在Rt D AB 1?中，a AD D B =??=60cot 1．

在Rt CED ?中，a CE DE 2

3

60sin =

??=．

在Rt D EB 1?中，3

3

22

3tan 1=

=

∠a a ED B ． A

C A

B

C

所以，二面角B AC B --1的平面角的大小为：3

3

2arctan

．

（2）由D 为BC 中点，故点B 到平面AC B 1的距离等于点D 到平面AC B 1的

距离的2倍，作E B DH 1⊥于H ．由（1）知ED B AC 1面⊥，所以，DH AC ⊥，所以，AC B DH 1面⊥，所以，DH 就是点D 到平面AC B 1的距离．

在Rt D EB 1?中，a DB DE DB DE EB DB DE DH 7

21

2

1

211

1

=

+?=?=

．

所以，点B 到平面AC B 1的距离等于

a 7

21

2． 另外，我们也可以用体积法求出这个距离．

设点B 到平面AC B 1的距离为h ．则由=-ACB B V 11ACB B V -及

31163sin 2131311a D B ACB BC AC D B S V ABC ACB B =???

?

??∠???=?=?-，

221214

721211a D B ED AC E B AC S ACB =+?=?=

?可得： =?

=

=

?-4

763332

3

1

1a a S V h ACB ACB B a 7212．

所以，点B 到平面AC B 1的距离等于

a 7

21

2．

点评 等积变形是求体积和求距离时常用的方法．

高考真题

1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC －A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC 垂直,∠ABC ＝

?90,BC ＝2,AC ＝32且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.

①求侧棱AA'与底面ABC 所成角的大小;

②求侧面A'ABB'与底面ABC 所成二面角的大

A

B

小;

③求顶点C 到侧面A'ABB'的距离.

2．（1999年全国高考）如图,已知四棱柱ABCD －A'B'C'D',点E 在棱D'D 上,截面EAC ∥D'B,且面EAC 与底

面ABCD 所成的角为45°,AB＝a

(1)求截面EAC 的面积；

(2)求异面直线A'B'与AC 之间的距离； (3)求三棱锥B'－EAC 的体积．

3．(2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的四棱锥

S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21.

（1） 求四棱锥S-ABCD 的体积； （2） 求面SCD 与面SBA 所成的二面角的平面角的正切值． [答案与提示：1．?45；?60；3． 2．

222a ；

a 2；342a ． 3．2

2

41；． ] S

B C

A D A C