电磁感应单、双棒问题

2012高考物理二轮专题复习：电磁感应中“单、双棒”问题归类例析

王佃彬

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路：

例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置

（1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

$

2、杆与电容器连接组成回路

例2、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动棒落地时的速度为多大

3、杆与电源连接组成回路

例3、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0 l m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =、内电阻r =Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：

（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大随后ab 的加速度、速度如何变化

（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

!

二、双杆问题：

…

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

B

v 0

L a

d

b

例4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少

例5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m 。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =Ω。在t =0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t =，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少

;

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例6、如图所示，abcd 和a /b /c /d /为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab 、a /b /间的宽度是cd 、c /d /间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒gh 的质量的2倍。现给导体棒ef 一个初速度v 0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少

3、磁场方向与导轨平面不垂直

）

例7、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，

ae 和cf 是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在

水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导

体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为B ，导轨间距为L ，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m ，电阻均为R 。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F 作用在棒1上，从

a /

静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求：

（1）水平拉力F的大小；

（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。

三、轨道滑模型

;

例8、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在

光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水

平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱

e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁

场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导

轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求：

(1)导轨在运动过程中的最大速度υm

(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多少

练习：

1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一

个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存

在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，

电阻r＝Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝.由静止开始下滑，直到速度达到最大的

过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝(已知sin37°＝，cos37°=；g取10m／s2)

求：

(1)杆ab的最大速度；

-

(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.

2、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

&

3、如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分

a

b

C v

与一段无限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r 的金属棒ab,从圆弧段M 处由静止释放下滑至N 处进入水平段,圆弧段MN 半径为R,所对圆心角为60°,求： （1）ab 棒在N 处进入磁场区速度多大此时棒中电流是多少 （2） cd 棒能达到的最大速度是多大 （3）ab 棒由静止到达最大速度过程中, 系统所能释放的热量是多少

4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m 。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =Ω。在t =0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t =，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少

《

电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析答案

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路： 例1.解析：（1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势E ，所以ab 相当于电源，与外电阻R 构成回路。 ∴U ab =

BLV BLV R

R R 32

2

=+

（2）若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。

221mv Q =

。由动量定理得：mv Ft =即mv BILt =，It q =∴BL mv q =。BL mv R BLx R It q =

=?==2

323?，∴2

223L B mvR x =。 2、杆与电容器连接组成回路 #

例2 .解析：ab 在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v ，a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v

电容器带电量 Q=CE=CBl v ，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a

乙 甲

F

产生安培力F=BIl =CB2 l 2a ，由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB 2 l 2a ，a= mg / (m+C B 2 l 2)

∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B 2 l 2) 落地速度为 3、杆与电源连接组成回路

例3．解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流

A r

R E

I 5.10=+=，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m

L BI m F a ===

|

ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='

，根据右手定

则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方

向，r

R E E I +-='

）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度

减小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=

所以 1.5

0.80.5

m E Bl υ=

=

?m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势

5.75.08.0'??==Blv E V=3V

由于'

E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2

.08.05

.13''

+-=+-=r R E E I A=1.5A

直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为

5.15.08.0''??==BlI F N=

所以要使ab 以恒定速度5.7=v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ． 上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0?==Fv P W=

—

②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：)2.08.0(5.1)(2

2

'

+?=+=r R I P W=

2

222l CB m mgh

ah v +==

③逆时针方向的电流'I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：''

1.5 1.5P I E ==?W=

由上看出，'''P P P +=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）． 二、双杆问题：

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例4．解析：ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20= 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2

2204

1)2(2121mv v m mv Q =-=

（2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：

10043mv v m mv +=。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )43(10-=，R E

I 2=

。此时cd 棒所受的安培力：IBL F =，所以cd 棒的加速度为 m

F

a =

由以上各式，可得mR

v L B a 40

22= 。

例5．解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变

t l v v lx t t v t v x S ?-=-+?+?-=?)(])[(2112

^

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t

S B E ??=

回路中的电流 R

E

i 2=

，杆甲的运动方程ma Bli F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量0(=t 时为0）等于外力F

的冲量

21mv mv Ft +=。联立以上各式解得)](2[21211ma F F

B R

m F v -+=

)](2[212212ma F I

B R

m F v --=，代入数据得s m v s

m v /85.1/15.821==

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例6．解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef 的速度减小到v 1， 导体棒gh 的速度增大到v 2，则有2BLv 1-BLv 2=0，即v 2=2v 1。对导体棒ef 由动量定理得：01222mv mv t I BL -=?--

对导体棒gh 由动量定理得：

02-=?-

mv t I BL 。由以上各式可得：02013

2

,31v v v v ==。

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例7．解析（1）1棒匀速：BIL F =2棒匀速：θtan mg BIL =

解得：θtan mg F =

（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t ，过程中平均感应电流为I ，据

动量定理，

对1棒：01-=-mv Lt I B Ft ；对2棒：0cos sin 2-=?-?mv t L I B t mg θθ 联立解得：θcos 12v v =

匀速运动后，有：θcos 21BLv BLv E +=，R E I 2= 解得：)cos 1(tan 22221θθ+=L B mgR v

三、轨道滑模型

例8.解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm 。导轨在水

平方向上受到外力F 、水平向左的安培力F 1和滑动摩擦力F 2，则

021=--F F F ，m BLv E R

E

I BIL F ===,,1，即R v L B F m 221=

以PQ 棒为研究对象，PQ 静止，在竖直方向上受重力mg 、竖直向上的

支持力N 和安培力F 3，则N F F F mg F N μ===+2133,,，得)(222R

v L B mg F m

-

=μ，将F 1和F 2代入解得 %

))(1(022mR v L B g m --=μ，得2

2L

B mgR

v m =

(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S ，在这段过程中，经过的时间为t,PQ 棒中

的平均电流强度为I 1，QPbC 回路中的平均感应电动势为E 1，则

t I q R E I SLB t E 1111,,,===??=

??，得BL

qR

S =。设系统增加的内能为E ?，由功能关系得：E mv FS m ?+=2

2

1，则442232L B R g m BL mgqR E -=? a a /

b b d

,

c c / e

g

h

F

] θ

B

a

b

d

c e f 1

【

1.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。 （1） 杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，这时 mgsin θ—F —N μ =0，N=mgcos θ ∴F=mg （sin θ—μcos θ） 总电阻Ω=

+=

120r R R ，Blv E =，R

E

I =，BIL F = R v L B F 22=，得s m L

B R

mg v 5.2)cos (sin 22=-=θμθ 。

克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即

J Q Q Q W 5.12200=+==，由动能定理：02

1cos sin 2

-=

--mv mg W smg θμθ )

cos (sin 212

θμθ-+=mg W mv s 通过ab 的电荷量 R

BLs

t I q =

?=，代入数据得q ＝2 C 2.解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有： BLv=UC=q/C

而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BLq=mv-mv 0 由上述二式可求得： C

L B m mv v 2

20

+=

3、解析：(1)ab 棒由静止从M 滑下到N 的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以到N 处速度可求,进而可求ab 棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流.ab 棒由M 下滑到N 过程中,机械能守恒,故有

22

1)60cos 1(mv mgR =

- ，解得gR v =。进入磁场区瞬间,回路中电流强度I 为 (2)设ab 棒与cd 棒所受安培力的大小为F,安培力作用时间为 t,ab 棒在安培力作用下做减速运动,cd 棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度v’时,电路中电流为零,安培力为零,cd 达到最大速度. 运用动量守恒定律得： 解得 (3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有：

r gR Bl r r E I 32=+=

v m m mv '+=)2(gR v 3

1

=

'2232

1

21v m mv Q '?-=mgR

Q 3

1

=

4、解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变

t l v v lx t t v t v x S ?-=-+?+?-=?)(])[(2112

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t

S B E ??= 回路中的电流 R

E

i 2=

，杆甲的运动方程ma Bli F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量0(=t 时为0）等于外力F

的冲量

21mv mv Ft +=。联立以上各式解得)](2[21211ma F F

B R

m F v -+=

)](2[212212ma F I

B R

m F v --=，代入数据得s m v s

m v /85.1/15.821==