【考研】常微分方程
常微分方程
常微分方程
常见的几类一阶方程及解法
1、可分离变量的方程
dy =f (x )g (y ) 求解该方程的方法是将原方程改写成
dy g (y )
=f (x )dx (g (y ))≠0 然后两端积分∫
dy g (y )
=∫f (x )dx ，求得原方程的通解 2、齐次方程
dy =f (y ) 求解该方程的方法是作变量代换y =u ，则y =xu ，dy =u +x du ，代入原方程可将原方程化为可分离变量的 方程
du f (u )?u =dx x
然后求解
3、线性方程
dy +P (x )y =Q (x ) 线性方程的通解是
y =e ?∫P (x )dx (∫Q (x )e ∫P (x )dx dx +C)
可降阶的高阶微分方程
4、y (n )=f (x )型的微分方程
求解的方法是原方程两端反复对x 积分，便可求得原方程的解
5、y ’’=f (x,y ’)型的微分方程（不显含y ）
求解该方程的方法是作变换y ′=p ，则y ′′=dp dx
，代入原方程得以下一阶方程 dp =f (x,p ) 解此一阶方程便得到原方程的解
6、y ’’=f (y,y ’)型的微分方程（不显含x ）
求解该方程的方法是作变换y ′=p ，则y ′′=dp dy =p dp ，代入原方程得以下一阶方程 p dp =f (y,p ) 解此一阶方程便得原方程的解
高阶线性方程
7、线性方程解的结构
（1）齐次方程解的结构
齐次方程y ′′+P (x )y ′+Q (x )y =0的通解为y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )，其中y 1(x )和y 2(x )为该齐次方程两个线性无关的特解，C 1与C 2是两个任意常数
（2）非齐次方程解的结构
非齐次方程y ′′+P (x )y ′+Q (x )y =f (x )的通解为
y=Y(x)+y?(x)
其中Y(x)是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，y?(x)为该非齐次方程的一个特解
（3）线性方程解的叠加原理
若y1?(x)和y2?(x)分别是方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)
与y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)
的特解，那么y1?(x)+y2?(x)，就是方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
的一个特解
以上结论可以推广到n阶方程
8、线性常系数微分方程求解
（1）线性常系数齐次方程求解
1）二阶常系数齐次线性方程求解
二阶常系数齐次线性方程y′′′
n阶常系数齐次线性方程
y(n)+p1y(n?1)+p2y(n?2)+?+p n?1y′+p n y=0
的通解可由下列表格中给出的通解中的对应项求得
（2）线性常系数非齐次方程求解
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是
y′′+py′+qy=f(x)
求其通解的关键是求该非齐次线性方程的特解，对以下两种非齐次项可用待定系数法求得齐次方程的一个特解1）f(x)=eλx P m(x)型（λ为已知常数，P m(x)为x的m次已知多项式）
其待定特解设为
y?=x k eλx Q m(x)
其中k是特征方程根λ的重数，Q m(x)为系数待定的x的m次多项式
2）f(x)=eλx[P l(1)(x)cosωx+P n(2)(x)sinωx]型（λ为已知常数，P l(1)(x)与P n(2)(x)分别为x的l次、x的n次的已知多项式）
其待定特解设为
y?=x k eλx[R m(1)(x)cosωx+R m(2)(x)sinωx]
其中k是特征方程根λ+iω（或λ?iω）的重数，R m(1)(x)与R m(2)(x)为系数待定的m次多项式，m=max*l,n+
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。
常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
考研数学微分方程考点和常考题型分析
考研数学：微分方程考点和常考题型分析 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。 1、考试内容 (1)常微分方程的基本概念;(2)变量可分离的微分方程;(3)齐次微分方程;(4)一阶线性微分方程;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程;(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程;(7)可降阶的高阶微分方程;(8)线性微分方程解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性微分方程;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;(12)欧拉(Euler)方程;(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。 2、考试要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法;(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程;(4)会用降阶法解下列形式的微分方程;(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构;(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;(8)会解欧拉方程;(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题. 3、常考题型 (1)变量可分离、齐次微分方程、一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解;(2)可降阶的高阶微分方程的求解(数一、数二要求掌握，数三不要求掌握);(3)全微分方程和欧拉方程的求解(数一要求掌握，数二、数三不要求掌握);(4)线性微分方程解得结构;(5)微分方程相关的综合问题。
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy +2x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2 e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =2 1y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝222y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0
(2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =2 2y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
考研数学三对微分方程的考查
考研数学三对微分方程的考查 微分方程是考研数学一个重要但是很基础的一部分内容，这部分考题特点就是简单，只需正确的识别方程类型，然后按照固定的方法去解题就可以了，所以关键在识别二字上，这也提示2016的考生，只要把基础知识学好，得分是很简单的。 数三对微分方程的考查分如下几类：1、可分离变量的微分方程;2、齐次微分方程;3、一阶线性微分方程;4、二阶常系数微分方程;5、差分方程。其中，差分方程是数三特有的考点，在求解方法上与二阶常系数线性微分方程类似，偶有考查，只需记忆齐次差分方程通解的求法及非齐次差分方程特解的设法即可。 下面把2015年考研数学三中有关微分方程的考题分析如下。 二阶常系数齐次线性微分方程 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分 打好基础，做好基本题型的练习是考研数学制胜法宝。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。 方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。 2.分配好各门课程的复习时间。 一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。 方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y `＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy -
14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
考研数学三不考的部分[最全]
高等数学不用看的部分： 第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的 函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140 页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第 213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第 三节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例 如第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章； 第261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节 线性代数不用看的部分： 第102页第五节 概率论与数理统计要考的部分 ：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计 注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。上述内容是根据文都发放的教材编的。 《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天） 标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。 第一章函数与极限 第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余） 第二节数列的极限（☆） 第三节函数的极限（☆） 第四节无穷小与无穷大（★） 第五节极限运算法则（★） 第六节极限存在准则（★） 第七节无穷小的比较（★） 第八节函数的连续性与间断点（★） 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★） 第十节闭区间上连续函数的性质（★） 总习题 第二章导数与微分 第一节导数概念（★） 第二节函数的求导法则（★） 第三节高阶导数（★） 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★） 第五节函数的微分（★） 总习题二 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西） 第二节洛必达法则（★） 第三节泰勒公式（☆）
[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编4.doc
[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限． （A）不存在 （B）等于1 （C）等于2 （D）等于3 2 (03年)已知是微分方程的表达式为 3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为 （A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)． （B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)． （C）y*=(ax2+bx+c+Asinx． （D）y*=ax2+bx+c+Acosx． 4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是 （A）y"一y’一2y=3xe x．
（B）y"-y’一2y=3e x． （C）y”+y’一2y=3xe x． （D）y"+y'-2y=3e x． 5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是 （A）y"'+y"-4y’-4y=0． （B）y"'+y"+4y’+4y=0． （C）y"'一y”一4y’+4y=0． （D）y"'-y"+4y’一4y=0． 6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则 7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为 （A）a(eλx+e-λx)． （B）ax(eλx+e-λx)． （C）x(aeλx+be-λx)． （D）x2(aeλx+be-λx)． 8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’= （A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．
[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc
[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( ) （A）2π （B）π （C） （D） 2 (2016年)若是微分方程 y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( ) （A）3x(1+x2) （B）一3x(1+x2) （C） （D） 3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( ) （A）y"′+y"一4y′一4y=0
（B）y"′+y"+4y′+4y=0 （C）y"′一y"一4y′+4y=0 （D）y"′一y"+4y′一4y=0 4 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( ) （A）a=一3，b=2，c=一1 （B）a=3，b=2，c=一1 （C）a=一3，b=2，c=1 （D）a=3，b=2，c=1 二、填空题 5 (2006年)微分方程的通解是__________。 6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。 7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。 8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。 9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。 10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。 11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。
2020年考研数学：大纲常考知识点总
2020年考研数学：大纲常考知识点总结2015年考研数学：大纲常考知识点总结 1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换 这些小的知识点在历年的考察中都比较高。而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。 2、处理连续性，可导性和可微性的关系 要求掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。 3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程 对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。 对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。 4、级数问题，主要针对数一和数三 这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直
接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。 5、一维随机变量函数的分布 这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。 6、随机变量的数字特征 要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。 7、参数估计 这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的考生来讲，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。
考研数学一二三大纲考查知识点比较(高数部分)
考研数学一二三大纲考查知识点比较（高数部分） 来源：文都教育 由于考研数学分为数学一二三，很多考生虽然知道自己考的是数学几，但对于考试考查的知识点还是模糊不清，对于有些知识点不知道到底考不考，这样就导致有可能考的知识点会漏掉，不考的某些知识点又浪费时间去学习，这对于复习来说是非常不利的。因此下面就为大家罗列分析下数学一二三考查知识点的异同，以提高复习效率。 高等数学部分 第一部分：函数、极限、连续，这部分数学一二三没有任何差别，考查的知识点为：函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=，1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质。 第二部分：一元函数微分学，这部分数一和数二是相同的，考查的知识点为：导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径。 数三是在以上的基础上不考这些：参数方程所确定的函数的微分法弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径。 第三部分：一元函数积分学，这部分同样数一数二是相同的，数三少某些点。数一数二考查的知识点为：原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼兹公式 不定积分
考研数学高数公式：微分方程
考研数学高数公式：微分方程 第七章：微分方程 考研要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换，解某些微分方程 3.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程 4.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程 5.会用降阶法解下列微分方程 y"=f(x,y') 6.y"=f(y,y') 7.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程 8.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及他们和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。 9.会解欧拉方程。 微分方程的基本公式和定理 1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0 2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。 性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
考研高数：必掌握的49个基础知识点
深圳人事考试网温馨提示您关注深圳公务员考试网，随时掌握2018年深圳公务员考试公告、考试时间、报名时间和报名入口、准考证打印时间以及笔试成绩查询、资格审核公告和面试公告等信息，提供深圳公务员考试培训、方法技巧、行测、公基、面试、时事政治等备考资料！ 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理
4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数 一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系 3、多元函数偏导数的计算(重点) 4、方向导数与梯度
2015考研数学一真题解析二阶常系数非齐次微分方程解的结构
2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结构 来源：文都教育 二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015考研数学考查了本知识点，题目和解析如下： 设 211()23= +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一 个特解，则 ( ) A. 3,2,1=-==-a b c B. 3,2,1===-a b c C. 3,2,1=-==a b c D. 3,2,1===a b c 【答案】A 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解 【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以 2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为 32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定，大家只需按解得结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识点。 1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,为常数）的方程。 2.通解的结构—)(x f qy y p y =+'+''的通解为0=+'+''qy y p y 的通解与其本身一个特解之和。 3.特解求法： 情形一： )()(x P e x f m x λ= 设方程的特解结构为： ()x y e Q x λ*= ①当λ不是特征根时， )()(x Q x Q m =； ②当λ是特征单根时， )()(x xQ x Q m =； ③当λ是特征重根时， )()(2x Q x x Q m =． 情形二： ]sin )(cos )([)(x x R x x P e x f n L x ωωλ+= 设特解结构为 ： [()cos ()sin ]k x m m y x e R x x S x x λωω*=+，其中},{n L Max m =， ①当i ωλ+不是特征方程的根时，0=k ；