分式方程讲义

一、教学目标： 1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根 3. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。

4. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。

二、教学内容：

课前热身：

分解因式：（2a+b ）（2a －b ）+b （4a+2b ）

如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DE ⊥AC 于F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE ＝AC.

（1）求证：AB=AF ； （2）若∠BAF=60°，且FG=1，求BC 的长.

考点一、分式方程

1、定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程．

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．

【例题解析】 例1、指出下列方程中，分式方程有（ ） ①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x2-5x=0 ④22

x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2、掌握分式方程的解法步骤

例2、解方程：（1）51144x x x --

=-- 解： 51144x x x -+

=-- 方程两边同乘以 ， 得 ． ∴

检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0所以，x=5是原方程的解.

A

B E G F D C

（2）22162242

x x x x x -+-=+-- 解：方程两边同乘以 ，得

， ∴ ．

检验：把x=2代入 x2—4，得x2—4=0。所以，原方程无解。.

（验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。）

例3、（2007陕西）设23111

x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？

例4.若关于x 的方程21x x x +--13x =33

x k x +-有增根，求增根和k 的值．

例5、如果25452310

A B x x x x x -+=-+--，那么A 和B 的值各是多少？

【巩固练习】

一. 选择题

1. 已知（m －1）（n －4）＝（m ＋2）（n －3），用m 的代数式表示n ，应是（ ）

A. n ＝m ＋103

B. n ＝－m ＋2 C . n ＝10－m 3

D. n ＝－7m －2 2. 关于x 的方程（a ＋1）x ＝1．下列结论正确的是（ ）

A. 此方程无解

B. x ＝1a ＋1

C. 当a≠－1时，此方程的解为任意数

D. 以上结论都不对

3. 分式方程x x ＋1＝12

的解是（ ） A. x ＝1 B. x ＝－1 C. x ＝2 D. x ＝－2

4. 若分式1x2－1＋2x ＋1－1x －1

的值为零，则x 为（ ） A. 2 B. －2 C. －1 D. －3

5. 关于x 的方程x ＋2x ＋3＝m x ＋3

产生增根，则m 的值及增根x 的值分别为（ ） A. m ＝－1，x ＝－3 B. m ＝1，x ＝－3

C. m ＝－1，x ＝3

D. m ＝1，x ＝3

二. 填空题

1. 若1x －2与1x ＋1

互为相反数，则可得关于x 的方程是__________． 2. 当x ＝__________时，3x －1与4x ＋1

的值相等． 3. 分式方程1x ＝2x ＋1

的解为__________． 4. 若分式x2＋34x ＋9

的值为正数，则x 的取值范围是__________． 5. 由（a －b ）x ＝a2－b2得x ＝a ＋b ，则a 、b 应满足的条件是__________．

6. 解分式方程10x2－1＋21－x ＝3x －1

得x ＝1，则x ＝1是原方程的__________． 7. 如果方程a x －2＋3＝1－x 2－x

有增根，那么a 的值是__________． 三. 解答题

1、（2009贺州）解分式方程：16

3104245--+=--x x x x 2、（2009北京市）解分式方程：6122

x x x +=-+

3、（2007株洲）解分式方程：12211x x x +=-+

4、（2010年眉山）解方程：2111x x x x

++=+

分式方程的应用题

例6.分式解应用题

（1）已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

（2）（2009厦门）22.供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A 地进行电力抢修.甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后，乙开抢修车载着所需材料出发.

若t=

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（小时），抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度； 若摩托车的速度是45千米/时，抢修车的速度是60千米/时，且乙不能比甲晚到，则t 的最大值是多少？

（3）甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.

考点二、反比例函数

反比例函数的定义

电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR

当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________

舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k y =

k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为零。

小注： （1）x

k y =

也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）x k y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零； （3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。

■例1

下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。 ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x

y 23-=

⑥21=xy ⑦28x

y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数，)0≠k

反比例函数定义的应用（重点）

确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x

k y =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

例2

由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

求I 与R 的函数关系式；

当R=5欧姆时，求电流强度。

随堂练习：

1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需

x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为x

y 1500=；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2m ，那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=。函数表达式x

y 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。

2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82

m 的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y 与x 。

（1）你能写出y 与x 之间的函数表达式吗？变量y 与x 之间是什么函数？

（2）若想使模具的长比宽多1.6m ，已知每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？

3、若函数满足023

=+xy ，则y 与x 的函数关系式为______________，你认为y 是x 的______________函数。

4、已知y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。

5、已知y 是x 的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y 是x 的正比例函数还是反比例

6、（2008·安徽）函数x k y =

的图象经过点A （1，—2），则k 的值为（ ）。 A ．

21 B. 21- C. 2 D. —2

7、若函数132)1(+++=m m x m y 是反比例函数，则m 的值为（ ）。

A ．m = —2 B. m = 1

C. m = 2或m = 1

D. m = —2，或m = —1

8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时x 千米，从甲市到乙市所需的时间为y 小时，那么y 与x 的函数表达式是_______________________（不必写出x 的取值范围），y 是x 的__________函数。

9、已知y 是x 的反比例函数，当x =5时，y = —1，那么，当y =3时，x =_________；当x =3时，y =________。

作业：

1、甲、乙、丙三个数依次相差1，若乙数的倒数与丙的倒数的两倍之和与甲数的倒数的3倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（ ）

A. 1，2，3

B. 65，115，165

C. －65，－15，45

D. －6，－5，－4 2、 甲、乙两人骑自行车从相距s 千米的两地同时出发，若同向而行，经过a 小时甲追上乙；若相向而行，经过b 小时甲、乙两人相遇，设甲的速度为v1千米/小时，乙的速度为v2千

米/小时，则v1v2

等于（ ） A. b a ＋b B. a ＋b a C. a ＋b a －b D. a －b a ＋b

3、 某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工？设派x 人挖土，其余人运土，列方程为：

（1）72－x x ＝13；（2）72－x ＝x 3；（3）x ＋3x ＝72；（4）x 72－x

＝3． 其中所列方程正确的有（ ） A. 1个 B . 2个 C. 3个 D. 4个

4、永增打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成

本降低了_________元．（精确到0.01元，毛利率＝售价－成本成本

×100% ） 5、2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车各自的速度．

7、（2009年广西梧州）由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．

（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?

（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?

反比例函数

1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）

A 、2x y =-

B 、 12y x =-

C 、1

1y x =- D 、 21

y x =

2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

3.已知反比例函数()0k

y k x =≠的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（

） A 、（2，1） B 、（2，-1） C 、（2，4） D 、（-1，-2）

4.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电

阻R=5欧姆时，电流I=2安培.则I 与R 之间的函数关系式 .

5.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：

(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值；

(3)y ＝-2时，x 的值。