2018年上海市春考数学试卷(含答案)
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（54分）
1、不等式1>x 的解集为______________；
2、计算：_________2
1
3lim
=+-∞→n n n ；
3、设集合{}20<<=x x A ，{}
11<<-=x x B ，则________=B A ；
4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2
=+
z
z ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；
6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；
7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥
11OB A A -的体积为_________；
第7题图 第12题图
8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
9、设R a ∈，若922??? ?
?
+x x 与9
2??? ??+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；
10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程012
2=-++m mx x 的一个虚根，则-
z 的取值范围是________；
11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；
12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）
13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A 2
-=x y B 3
1
x y = C 2
1-
=x
y D 3
x y =
14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
15. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件
16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→
AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→
AP ，
6=?→
→
AB AP ，→
→
-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）
A 、50
B 、60
C 、72
D 、108
三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=
（1）.若31)(=
αf ，且],0[πα∈，求)3
(π
α-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；
18、已知R a ∈，双曲线1:2
22=-Γy a
x
（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；
（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；
19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到
01.0）.
20.
20.设0>a ，函数x
a x f 2
11
)(?+=
（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1
x f -
（2）求函数)()(x f x f y -?=的最大值，（用a 表示）
（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？
21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈?∈，使得01
≤--+n m n
m c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的
“分隔数列”
（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；
（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；
（3）设n n n T aq c ,1
-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
参考答案：
一、填空题：
1、()()+∞-∞-,11, ；
2、3；
3、()1,0；
4、2；
5、15；
6、13
42
2=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、???
?
??∞+，33；11、???
??619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：
13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：
17、（1）
6621+；（2）2
3
-； 18、（1）
(
)()
0,30,3-，；（2）
2
1
5-； 19、（1）
4
1；（2）
59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 11221
2∈??? ??-=????
? ??-=?-=
-x x x f y x y x ； （2）()()
x
x x x x a a a a y 2
122211211?++=?+??+=-，设02>=t x
， 则(
)
111222+++
=+++=
a t
a
at a
t a at t
y ，因为0>a ，所以a t
a
at 2≥+
，当且仅当1=t 时取等号，所以1212
2++≥+++a a a t a at ，即()??
? ??+∈211,0a y ； （3）()2
23222221122+?+?-=?+-?+=x
x x x a t a a a a x g ，设t x
=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()a
t
t a a t g 322++-=
，若a t t t a 222
=?=，
1°当