中考数学分类讨论题专题训练

第8课时 分类讨论题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

类型之一 直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.

1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）

A ．50°

B ．80°

C ．65°或50°

D ．50°或80°

2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）

A ．9cm

B ．12cm

C ．15cm

D ．12cm 或15cm

3. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量

关系，并给予证明.

类型之二 圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．

4.（?湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900

，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．

5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5

B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、

C ，那么线段AO 的长等于 ．

6.（?威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

类型之三方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

7.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE 的长．

8.（·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴

．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

第8课时分类讨论题答案

1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.

【答案】D .

2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组

成三角形．

【答案】C

3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，

从而可求得B ′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.

【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，

在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，

B FE B EF ''∴∠=∠，

B F B E ''∴=．B E BF '∴=．

（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：

（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．

证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．

在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=． AE a =，AB b =，222a b c ∴+=． （ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．证：连结BE ，则BE B E '=．

由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．

4.【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r ≤4。

【答案】 3＜r ≤4或r ＝2.4

5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3cos 5

B =，可得B

C 边上的高A

D 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3，若O 在BC 下方，则AO=5。

【答案】3或5．

6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.

【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d ＝11-2t ；

当t ＞5.5时，函数表达式为d ＝2t -11．

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝3

11； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．

所以，点A 出发后3秒、3

11秒、11秒、13秒两圆相切． 7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似”，一定要注意分类讨论。

【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2

MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥． 12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2

y x x =+>； （2）由已知得22

(4)2DE x =-+．

以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切， 1122MH AB DE ∴=+，即2211(4)2(4)222x x ??+=+-+?

?． 解得43

x =，即线段BE 的长为43； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，

又易证得DAM EBM ∠=∠．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥， ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠． DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；

②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥， ADB DBE ∴∠=∠．

DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠， BED MEB ∴

△∽△． DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =，得2222212(4)2(4)2x x x =+-+-．

解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2．

综上所述，所求线段BE 的长为8或2．

8.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．

【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，．

（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=

+=+=．

设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，，

∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．

①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，

221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．

(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．

∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

②如图②，当EP FP =时，22

EP FP =， 22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52

n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是2

2(1)2y x =-+．

（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，

作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴 交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． (31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．

43BF BE ''∴==，．

FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=． 又5EF =， ∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是55+．