2018-2019学年湖北省重点高中(孝感一中、应城一中、安陆一中等六校)高二上期末联考数学(文)(解析版)

2018-2019学年湖北省重点高中（孝感一中、应城一中、安陆一中等六校）协作体高二上学期期末联考数学（文）试题

一、单选题 1．复数

31i

i

+-的模是（ ）

A B C ．D ．4

【答案】B 【解析】先将31i

i

+-利用复数的乘除运算法则进行化简，再利用复数模的运算法则即可得出结果. 【详解】

()()()()

313=12111i i i i i i i +++=+--+Q

12i ∴+=故选：B. 【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 2．命题“10,()03

x

x ?>>”的否定是（ ）

A ．10,03x

x ???≤> ??? B ．10,03x

x ???>≤ ??? C ．10,03x

x ???≤> ???

D ．10,03x

x ???≤≤ ???

【答案】B

【解析】直接利用特称命题的否定为全称命题即可得出结果. 【详解】

因为特称命题的否定为全称命题.所以，命题“10,03x

x ???>> ???”的否定为“10,03x

x ???>≤ ???

”. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查命题的否定，特称命题的否定为全称命题，命题的否定只否定原命题的结论.

3．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ）

A ．

23

B ．

14

C ．38

D ．

34

【答案】D

【解析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】

根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：

（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.

满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，

故3

()8

P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3

()()()4

P A B P A P B +=+=.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.

4．凤鸣山中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(),i i x y （1,2,3,i n =L ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为

?0.8585.71y

x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本的中心点()

,x y

C ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg . 【答案】D

【解析】根据回归直线方程可以判断y 与x 具有正线性相关关系，回归直线过样本的中心点()

,x y ，该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，该中学某高中女生身高为160cm ，只能估计其体重，不能得出体重一定是多少.

【详解】

根据回归直线方程?0.8585.71y x =-，但看函数图象是单调递增，可以判断y 与x 具有

正线性相关关系，所以A 选项说法正确；

回归直线过样本的中心点()

,x y ，所以B 选项说法正确；

根据斜率得该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，所以C 选项说法正确；

该中学某高中女生身高为160cm ，根据回归直线方程只能估计其体重，D 选项说“可断定其体重必为50.29kg ”，这种说法错误. 故选：D 【点睛】

此题考查线性回归直线相关概念辨析，考查基础知识的掌握情况. 5．“

1

1x

>”是“11x e -<”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：()1

10,1x x

>?∈，111x e x -

【考点】充要条件，不等式.

6．如图是一容量为50的样本的频率分布直方图，由图中数据可知其中位数（ ）

A ．14

B ．14.5

C ．13

D ．13.5

【答案】C

【解析】根据数据的中位数是将频率直方图分成两个面积相等部分的垂直于x 轴的直线的横坐标进行求解即可得出结果. 【详解】

由题意可知，最左边矩形的面积为50.040.2?=，最高的矩形的面积为50.10.5?=，

故可设中位数为x ，则可得

()0.2100.10.5x +-=

解得，13x =. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查利用频率直方图求一组数据的中位数，在频率直方图中，中位数左右两边的直方图面积相等.

7．已知椭圆C ：22

2210x y a b a b

+=>>（），其右焦点为(

5),0F ，点P 在椭圆上，且

满足2OP OF PF ＝，

＝，则椭圆方程为（ ） A ．22

14540x y +=

B ．22

13616x y +=

C ．22

12520

x y +=

D ．22

194

x y +=

【答案】D

【解析】根据题意，由OP OF ＝以及椭圆的对称性可知，1PFF V 为直角三角形，再根据勾股定理得出1PF ，再根据椭圆的定义即可得到a ，再由222b a c =-求出b ，即可得出结果. 【详解】

由题意，设椭圆的左焦点为1F ，连接1PF ，如图 所示，

1=OP OF OF Q ＝，且直角三角形的中线等于斜边的一半，

1FPF ∴V 为直角三角形

又5,2OF PF =Q

()

2

22

2112524PF FF PF ∴=-=

-=

126,3a PF PF a ∴=+==

()

2

2

2

2

2

354b a c ∴=-=-

=

因此，椭圆的方程为22

194

x y +=.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查椭圆的定义以及其几何性质，对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于,,a b c 的方程，从而求解椭圆方程. 8．已知函数1()(1)g x x x =

+，程序框图如图所示，若输出的结果10

11

S =，则判断框中

可以填入的关于n 的判断条件是（ ）

A ． 10?n ≤

B ．10?n >

C ． 11?n ≤

D ． 11?n >

【答案】A

【解析】按照程序框图执行几次，找出此框图的算法功能，再根据已知条件10

11

S =进一步判断框内条件即可. 【详解】

按照程序框图依次执行：

110,1,01122S n S ===+

=-? 111111

2,11+12232233n S ==-+=--=-?

以此类推，可得111

S n =-+ . 若1011S =

，可得10n =，若要输出10

11

S =，则判断框内应填10n ≤？

. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查根据程序框图的输出结果判断程序框图中的选择条件，考查逻辑推理能力.

9．若函数()201)((1)

x lnx e x f x e x e ?+<<=?≤

小于常数2e 的概率是（ ） A ．

1e

B ．11e

-

C ．

2e

D ．21e

-

【答案】C

【解析】首先求出分段函数在各区间段的值域，然后利用几何概型求其概率. 【详解】 由题意得，

当01x <<时，2()ln f x x e =+，则恒有2

()f x e <，满足题意；

当1x e ≤<时，()x f x e =，若满足2

()x f x e e =<，可得12x ≤<； 所以()f x 的值小于常数2e 的概率是2

e

. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查长度比值类型的几何概型，同时考查了分段函数值域的求解，属于基础题.

10．已知椭圆C ：22

2210x y a b a b

+=>>（）的左，右顶点分别为,A B ，点P 是椭圆C 上

与,A B 不重合的动点，若直线,PA PB 斜率之积为2

3

-

，则椭圆C 的离心率为（ ）

A ．

B ．

23

C D 【答案】A

【解析】根据题意，设点P 的坐标为(),m n ，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，进行化简整理，即可得到所求离心率的值. 【详解】

设点P 的坐标为(),m n ，代入椭圆方程，可得22221m n a b +=，即222

2(1)n m a b =-（1），

(,0),(,0),,AP BP n n A a B a k k m a m a -=

=

+-Q 且23

AP BP k k =- 可得，2

2

22()3

n m a =-

-（2） 将（1）式代入（2）式可得，222(23)0n a b -= 又0n ≠Q ，故2223a b =，

3

e ∴==

故选：A. 【点睛】

本题主要考查椭圆离心率的求解，解题时，若不能直接求得c

a ，通常由已知寻求,,a

b c

的关系式，再结合题设条件，简化运算进行求解.

11．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为012a a a ，其中{}0,1(0,1,2)i a i ∈=，传输信息为00121h a a a h ，

001102,h a a h h a =⊕=⊕，⊕运算规则为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=.例如

原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （ ） A ．11010 B ．01100

C ．00011

D ．10111

【答案】D

【解析】A 选项原信息为101，则001102101,110h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，

所以传输信息为11010 ，A 选项正确；B 选项原信息为110，则

001102110,000h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，所以传输信息为01100 ，B 选

项正确；C 选项原信息为001，则001102000,011h a a h h a +⊕=⊕==⊕=⊕=，所以传输信息为00011 ，C 选项正确；D 选项原信息为011，则

001102011,110h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，所以传输信息为10110 ，D 选项

错误，故选D.

【方法点睛】本题主要考查新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通

过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

12．我们把函数()1,()0,0,10,1p p x p q q q q R x x ?=?=??=?

,(,其中为正整数，为最简真分数)(和内的无理数)称为黎曼函数，黎曼函数是一个无法用图象表示的特殊函数，在高等数学中被广泛应用.下面关于函数()R x 的命题： ①()R x 的零点有无数个；

②若n 为大于1的正数，则方程()1

n

R x n =+没有实数根； ③[]0,1,()(1)x R x R x ?∈=-， 以上真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】根据黎曼函数的定义以及值域逐条分析即可得出答案. 【详解】

对①，()

0,1内的无理数有无数个，所以()R x 的零点有无数个，故①为真命题； 对②，若n 为大于1 的正数，则

112n n >+，而()R x 的最大值为1

2

，故②为真命题； 对③，01x =，

和(0,1)内的无理数，则()0,(1)0,()(1)R x R x R x R x =-==-，若x 为(0,1)内的有理数，设p

x q =（,p q 为正整数，p q

为最简真分数），则1()(1)=R x R x q =-，

故③为真命题. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查新定义函数，解题时要牢牢抓住函数的定义，属于中档题.

二、填空题

13．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在实数0x ，使00()f x x =，则0x 叫做函数()

f x

的一个好点.如果函数2()4f x x mx =++不存在好点，那么实数m 的取值范围是_____.

【答案】()3,5-.

【解析】好点即为方程00()f x x =的实数根，若函数2

()4f x x mx =++不存在好点，

即24x mx x ++=无实根，再利用根的判别式即可求解出答案. 【详解】

根据题意得，24x mx x ++=无实根，即2

(1)40x m x +-+=无实根，即

2=(1)440m ?--?<

解得，-35m <<. 故答案为：(3,5)-. 【点睛】

本题主要考查利用一元二次函数的性质求参数范围，属于基础题.

14．如果椭圆22

1104

x y m m +=-+的焦距为4，则m 的值为_____.

【答案】1或5.

【解析】分焦点在,x y 轴上进行讨论，根据题意焦距为4，即可求得m 的值. 【详解】 由题意得，

焦点在x 轴上，则()1044m m --+=，解得1m =； 焦点在y 轴上，则4(10)4m m +--=，解得5m =； 综上，1m =或5. 故答案为：1或5. 【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程及基本量的计算，解题时要注意焦点是否确定在哪一条坐标轴上.

15．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得

2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为

(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的

不等式

20a b

c x x ++>的解集为_____. 【答案】114?? ???

，

. 【解析】关于x 的不等式

20a b c x x ++>可看成不等式20

ax bx c ++＞中的x 用1x

代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】

若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a b

c x x

++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1

x

代入得来， 则可得，114x

<< 解得，

1

14

x <<. 故答案为：1,14??

???

.

【点睛】

本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题. 16．下列命题中，真命题的序号_____.

①,sin cos x R x x ?∈+=

②若:

01x p x <-，则:01

x p x ?≥-；

③lg lg x y >>

④ABC V 中，边a b >是sin sin A B >的充要条件；

⑤“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的充要条件. 【答案】④.

【解析】根据三角函数的性质、分式不等式的性质、指数对数的性质、正弦定理以及函数的单调性逐条分析即可得出答案. 【详解】

对①，sin cos )4

x x x π

+=+≤>Q ①为假命题；

对②，命题:

01x p x <-，解得01x << ，所以{}:01p x x x ?≤≥或，而01

x x ≥-的

解集为{}

01x x x ≤>或，故②为假命题；

对③，当1,0x y ==>

，但lg lg x y >不成立，故③为假命题；

对④，根据正弦定理sin sin a b

A B

=

可得，边a b >是sin sin A>B 的充要条件，故为真命题；

对⑤，满足函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数的a 的取值范围为2a ≤，故“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的 充分不必要条件，故⑤为假命题. 故答案为：④. 【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的性质、分式不等式的求解、指数与对数的性质、正弦定理的应用以及根据函数的单调性求参数范围，属于综合题.

三、解答题

17．已知ABC V 的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证：2

πB <. 【答案】见解析

【解析】试题分析：由题意，211b a c =+，利用余弦定理和基本不等式，得1cos 2

B ≥，所以2

B π

<

.

试题解析：

由题意，

211

b a c

=+，则2ac b a c =

≤=+

而22222

2cos 1222a c b ac b b B ac ac ac

+--=≥=-

，又因为b ≤

所以21

cos 122

B ac ≥-=（当a c =时取等号）

∴03B π?

?

∈ ??

?

， 即.2

B π

<

18．设命题2:(12),20p x x mx ?∈-++>，；命题:,93x

x q x R m >+?∈.若命题“p q ∨”

为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】()

0,1

【解析】先求出两个命题参数所满足的范围，再根据命题“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题判断出两个命题的真假情况，最后即可求出实数m 的取值范围. 【详解】

Q 命题2:(12),20p x x mx ?∈-++>，，

22

x m x -∴>在(1,2)内恒成立， max 22x m x ??-∴> ???；

1m ∴≥；

Q 命题:,93x x q x R m >+?∈，

()

min

93x x m ∴>+ ；

0m ∴>；

又Q “p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，

∴①当p 真q 假时，1

m m ≥??

≤?，即无解；

②当p 假q 真时，1

0m m

>?

，即01m <<； 综上所述：实数m 的取值范围为()

0,1. 【点睛】

本题主要考查命题真假判断的应用，解题的关键是对两个命题进行化简，并且正确理解

p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题的意义.

19．在区间[]

1,6内任取两个数,x y . （1）若,x y Z ∈，求5x y +>的概率； （2）若,x y R ∈，求5x y +>的概率. 【答案】（1）

1318（2）

47

72

【解析】（1） 当,x y Z ∈时，列举出满足条件的所有基本事件，再找出满足5x y +>的基本事件，即可求出概率.

（2） 当,x y R ∈时，基本事件为如图四边形ABCD 区域，根据题意画出所求事件B 在四边形ABCD 区域所对应的阴影部分，根据面积之别即可求得概率.

【详解】

（1）设“0x y +>，,x y Z ∈”为事件A ，,x y Z ∈，[]1,6x ∈，即1,2,3,4,5,6x =；

[]1,6y ∈，即1,2,3,4,5,6y =.

则基本事件有：

()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共36个.

其中满足“5x y +>”的基本事件有26个，

()36261318

P A ∴=

=. 故,,5x y Z x y ∈+>的概率为：

1318

. （2）设“,,5x y R x y ∈+>”为事件B ，

[][]1,6,1,6x y ∈∈Q ，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其

中的阴影部分.

基本事件如图四边形ABCD 区域6636S =?=， 事件B 包括的区域如阴影部分1473652

=52AOB S S S '=-

??=V -； 47

472()3672

P B ∴==

.

【点睛】

本题主要考查了利用列举法和几何概型法求解事件发生的概率.

20．设12,F F 分别是椭圈22

2210x y a b a b

+=>>（）的左、右焦点，P 是椭圆上第二象限

内的一点且1PF 与x 轴垂直，直线2PF 与椭圆的另一个交点为Q .

（1）若直线PQ 的斜率为3

4

-，求椭圆的离心率； （2）若直线PQ 与y 轴的交点为()0,2

D ，且222DF F Q =u u u u r u u u u r

，求,a b .

【答案】（1）

1

2

（2）7,27a b == 【解析】（1） 根据题意，先求出点P 的坐标，再表达出直线PQ 的斜率，再根据椭圆的性质222a b c =+，从而得到,a c 的等量关系，从而求出椭圆的离心率.

（2） 根据直线PQ 与y 轴的交点为(0,2)D 且点D 为2PF 的中点求出24b a ＝，再

根据222DF F Q =u u u u r u u u u r

，，建立方程组关系，求出点Q 的坐标，代入椭圆方程即可得出结果.

【详解】

（1）由题意可知点P 的横坐标为c -，代入椭圆方程得：22221c y a b +=，解得2b

y a

=，

∴点2,b a P c ??

- ??

?，又Q 点()2,0F c ，

∴直线PQ 的斜率为2

324

b a

c =--，即23

2b ac =， 又222b a c =Q ﹣， 22

32

a c ac ∴=﹣，

两边同时除以2a 得：22320e e +-=，解得1

2

e =，

∴椭圆的离心率为1

2

；

（2）如图所示：

Q 原点O 是12F F 的中点，1PF DO ⊥，∴点D 为2PF 的中点，又点2,b a P c ??

- ???，点

()2,0F c ，

2

4b a

∴=，24b a ∴＝， 设点()00,Q x y ， 222DF F Q =u u u u r u u u u r Q ，，2(,2)DF c =-u u u u r

，()200,F Q x c y =-u u u u r ，

()00222c x c y ?=-∴?-=?，00321c x y ?

=?∴??=-?，∴点3,12c Q ??- ???，

把点Q 坐标代入椭圆方程得：22291

14c a b

+=，

∴由22

222

22

49114b a

c

a b a b c ?=??+=??=+??

，解得7a b =???=??

7,a b ∴==.

【点睛】

本题主要考查利用构造,a c 的齐次式解椭圆的离心率以及椭圆标准方程的求解，解题时，要充分利用题设条件，找出隐含的关系式，利用方程求解.

21．“读书可以让人保持思想活跃，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，2018年第一期中国青年阅读指数数据显示，从供给的角度，文学阅读域是最多的，远远超过了其他阅读域的供给量.某校采用分层抽样的方法从1000名文科生和2000名理科生中抽取300名学生进行了在暑假阅读内容和阅读时间方面的调查，得到数据如表：

（1）先完成上面的表格，并判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有

关？

（2从300名被调查的学生中，随机进取30名学生，整理其日平均阅读时间（单位：分钟）如表：

试估计这30名学生日阅读时间的平均值（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（3）从（2）中日均阅读时间不低于120分钟的学生中随机选取2人介绍阅读心得，求这两人都是女生的概率.

参考公式：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

参考数据：

【答案】（1）填表见解析，有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关（2）80（3）3

10

【解析】（1）根据分层抽样分别计算出选取的文科生与理科生的总人数，结合表格已知数据，即可补充完整列联表，将数据代入公式计算得出2

K的值，与临界值比较即可得出结论.

（2）利用每组的频率乘该组的数据所在区间中点的值，最后再求和，即可估计这30名学生日阅读时间的平均值.

（3）根据（2）可知日均阅读时间不低于120分钟的学生共5人，其中男生2人女

生3人，从中随机选取2人，列举出所有可能的选择，找出符合条件的情况，即可求出概率. 【详解】

（1）根据题意，选取的300名学生中文科生100人，理科生200人，列联表如下；

所以

K2()()()()22

2

()300705545130) 2.820 2.706115185200100

n ad bc K a b c d a c b d -?-?=

=≈>++++???(， ∴有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关； （2）根据题意平均值为：17785

154575105135801030303030

x =?

+?+?+?+?=；

（3）日均阅读时间不低于120分钟的学生共5人，其中男生2人女生3人，设两个男生分别为,A B ，三个女生为,,C D E ，则从中随机选取两个人，有

()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E 共十种

选择，满足两个均为女生的有()()(),,,,,C D C E D E 三种，所以这两人都是女生的概率3

10

P =

. 【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用、根据频率求一组数据的平均值以及利用列举法求概率.

22．已知椭圆22

2210x y a b a b +=>>（）的离心率e =，过点()()0,,,0A

b B a -的直线

与原点的距离为

2

. （1）求椭圆方程；

（2）若直线2y kx +＝与椭圆交于,P Q 两点，试求OPQ △面积的范围.

【答案】(1)2

213

x y +=（2）(0,2)

【解析】（1） 根据题意，求出直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式，列出

,a b

的等式关系，再结合离心率c a

=222a b c =+联立方程求解，即可求出椭圆

方程.

（2） 设出,P Q 的坐标，将直线2y kx =+与椭圆方程联立，得到联立方程，根据

>0?求出2k 的范围，再利用弦长公式表达出PQ 作为三角形的底，再求出原点到直

线PQ 的距离作为三角形的高，从而表达出三角形的面积关于k 的函数，结合2k 的范围即可求出OPQ △面积的范围. 【详解】

（1）由题意可知，直线AB 的方程为

1x y

a b

-=，即0bx ay ab --=， ∵过点()0,,(,0)A b B a -

2

=

， ∴

由222c a a b c

=?=??=+????

，解得1a b c ?=?=??

=?，

∴椭圆方程为：2

213

x y +=；

（2）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，

联立方程22

213

y kx x y =+???+=??，消去y 得：22(13)1290k x kx +++=， ()()2

2123610k k ∴?=-+>，解得21k >

1221213k x x k +=-

+，12

2

9

13x x k ?=+， 2

2

6(1)

13k PQ k

-∴==+， 又∵原点到直线PQ 的距离

d =，

∴S △OPQ

222

22221616123188=2213131313k k k PQ d k k k k --+-====-++++（）（）（）， ∵21k >，∴2143k +>，∴211

0134

k <<+，

∴02OPQ S <

∴OPQ △面积的范围为(0,2). 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求解以及与椭圆与直线相关的应用，考查了韦达定理与弦长公式的应用，解题时，用到了“设而不求”以及数形结合的思想方法.