必修5不等式专题复习

必修5 不等式专题复习

不等式与不等关系 题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①2

2

,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2

2

； ③2

2

,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b

a

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，1

2

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系

是 .

（一） 解不等式 题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123

x

x x -<---

8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集为

10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

—

题型四：恒成立问题

11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

13. 已知0,0x y >>且

19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

（三）基本不等式2

a b

ab +≤

题型五：求最值

14. （直接用）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

x

15. （配凑项与系数）

（1）已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. （耐克函数型）求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。 17. （用耐克函数单调性）求函数22

4

y x =+的值域。

18. （条件不等式）

—

（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

（2） 已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋

y 2

2

＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式

19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

21. 已知a 、b 、c R +

∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥

???????????

题型七：均值定理实际应用问题：

22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如

图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

23. 满足不等式组??

?

??>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值

24.

已知实系数一元二次方程2

(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且

102x <<,22x >．则

1b

a -的取值范围是

25. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥??

+≥??≥? ,则

22

2x y x ++的最小值是

26. 已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤??

+-≥??-≤?

满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，

0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。

27. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥??

≤-??+≤?

，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于

（ ）

题型九：实际问题

28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

复习――不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式

1. ②③⑥⑦⑧；

2. p q >；

3.

当01x <<或43x

>

时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43

x =时，1+3log x ＝2log 2x

4.

∵1>>b a ∴

0lg ,0lg >>b a 2

1

=

Q （p b a b a =?>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2

1lg )2lg( ∴R >Q >P 。

5.

6. {|1x x ≥或2}x =-；

7. (1,1)(2,3)-U ）

； 8. 不等式2

120ax

bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =___-6____, b=__6_____

9.

),2()1,(+∞--∞Y ）.

10. 解：当a ＝0时，不等式的解集为{}

1x x >； 2分

当a ≠0时，a (x －

a

1)(x －1)＜0；当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1

)(x －1)＞0

不等式的解集为11x x x a ?

?>

?或； ............................................................................... 6分

当0＜a ＜1时，1＜

a 1，不等式的解集为11x x a ?

?<

?； ............................................. 8分

当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解集为11x x a ??

<

； .................................................. 10分

当a ＝1时，不等式的解为φ． ............................................................................................ 12分

11. _____0≤x ＜4________ 12. 1

2

m >-

） 13.

(],16m ∈-∞

14. 解：（1）y ＝3x 2＋

1

2x 2

≥23x 2·1

2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）

（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x

≥2

x ·1

x

＝2；

当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1

x ）≤－2

x ·1

x

=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

15. （1）解5,5404x x <

∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??

231≤-+=

当且仅当1

5454x

x

-=

-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

（2）

当

，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，

(82)y x x =-的最大值为8。

16. 解析一：

当

,即

时,

4

21)591

y x x ≥+?

+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t

-+-++==++）

当,即t =时,4

59y t t

≥?=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

17. 24(2)x t t +=≥，则2

24

y x +221

4(2)4

x t t t x =+=+≥+

因10,1t

t t >?=，但1

t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5

2

y ≥。

所以，所求函数的值域为

5,2??

+∞????

。 18. （条件不等式） （1） 解： b a

33

和都是正数，b a 33+≥632332==?+b a b a

当b a

33

=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．

（2）

解：19

0,0,1x y x y >>+=Q

，()1991061016y x x y x y x y x y

??∴+=++=++≥+= ???

当且仅当

9y x

x y

=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += （3）

解：x 1＋y 2 ＝x

2·1＋y 2

2

＝ 2 x ·

12 ＋y 22

下面将x ，

12 ＋y 2

2 分别看成两个因式： x ·

12 ＋y 2

2 ≤x 2＋(

12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝3

4

即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x

12 ＋y 22 ≤ 34

2

（4） 解：法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b

b ＋1

由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16

t

≥2

t ·16

t

＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥

1

18

当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab

令u ＝ab 则u 2

＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2

∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1

18

19. 已知

c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222

20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 21. 已知a 、b 、c R +

∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥

???????????

证明：Q a 、b 、c R +

∈，

1a b c ++=。∴

1121a b c bc a a a a -+-==≥。同理

121ac

b b

-≥，

121ab

c c

-≥

。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bc ac ab a b c a b c ??????---≥= ???????????

g g 。当且仅当13a b c ===时取等号。 22. 解： 若设污水池长为x 米，则宽为

（米）

水池外圈周壁长： （米）

中间隔墙长：

（米）

池底面积：200（米2）

目标函数：

≥

23. 4

24. )21

,3(-

-

25. 1 26.

),2

1

(+∞ 。 27. 5

28. 解：设一盒內放入x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为z 元

则x，y必须满足，

目标函数为z＝15x＋10y

在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，

所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。